Chuyên đề Phương trình đường tròn - Hình học Lớp 10

 HÌNH HỌC 10. 
CHƯƠNG 
BÀI 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
DẠNG 2: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 
Phương pháp: 
 Phương pháp tìm tập hợp các tâm I của đường tròn C 
  Bước 1. Tìm giá trị của m để tồn tại tâm I . 
 x f m 
  Bước 2. Tìm toạ độ tâm . Giả sử: I . 
 y g m 
  Bước 3. Tìm mối liên hệ giữa x và y theo m ta được phương trình F x;0 y . 
  Bước 4. Dựa vào điều kiện của m ở bước 1 để giới hạn miền của hoặc y . 
  Bước 5. Tập hợp điểm là F x;0 y cùng với phần giới hạn ở bước 4. 
 VÍ DỤ 1 
Cho đường tròn (C ) : x22 y 2 x 4 y 1 0 có tâm I . Tìm điểm M là hình chiếu vuông góc của 
 lên trục Ox . 
 Lời giải 
Ta có: có tâm I(1;2) 
Suy ra: M (1;0) . 
 VÍ DỤ 2 
Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d: x y 1 0 và I 1; 0 . Tìm điểm M thuộc d sao 
cho MI 2 . 
 Lời giải 
Cách 1: 
+ M d:1 y x M m;1 m MI 1 m ; m 1 
+ MI 2 2 1 mm 1 2 2 
 2 m 0
 mm 20 M 0 ;1 ; M 2 ; 1 . 
 m 2
Cách 2: 
+ Ta có IM 2 M thuộc đường tròn (C) có tâm I 1;0 , bán kính 
 2
R 2 C : x 1 y2 2 
1 | 
 9 107
Phương trình (*) là phương trình đường tròn có tâm I ;1 , bán kính R 
 2 4
 VÍ DỤ 5 
 23
Trong mặt phẳng Oxy , cho C:x 22 y 2m1x4m2ym 0 . 
 m 4
Tìm điểm cố định mà Cm luôn đi qua. 
 Lời giải 
+ Giả sử điểm cố định là A xAA ;y 
 22 23
 x y 2 m 1 x 4 m 2 yA m 0 
 AAA 4
 23
 x22 y 8y 2mx 4my m 0 
 AAA 4 AA
 m 2xAA 4y 1 0 m 
 2x 4y 1 0 1 
 AA
 22 23
 xAAAA y 2x 8y 0 2 
 4
 1 4y
 1x A thế vào (2) ta được: 
 A 2
 2
 1 4yAA2 1 4y 23
 yA 2. 8yA 0 
 224
 5
 20y2 40y 20 0 y 1 x 
 AAA A 2
 5
Vậy điểm cố định Cm luôn đi qua là A ;1 . 
 2
 VÍ DỤ 6 
Trong mặt phẳngOxy , tìm điểm cố định mà đường tròn 
 22
 Cm :x y 2mx4m1y10 luôn đi qua khi m thay đổi. 
 Lời giải 
Giả sử điểm cố định mà Cm luôn đi qua là A a;b 
 phương trình a22 b 2am4bm1 10 đúng với 
 2a4bm a22 b 4b1 0 đúng với 
 a2
 b1 
 2a 4b 0 a 2b 
 2 
 22 2 a 
 a b 4b 1 0 5b 4b 1 0 5
 1
 b 
 5
3 | 
 tM 2 1 2; 2 1 
- Do đó : 2t 2 8 12 t 2 2 . 
 tM 2 2; 2 1
 2 
 VÍ DỤ 9 
 22
Cho đường tròn C: x 1 y 1 25 và hai điểm AB7;9 , 0;8 . Tìm M trên 
đường tròn để MA2 MB đạt giá trị lớn nhất. 
 Lời giải 
Ta có (C) có tâm I 1;1 và R 5 . 
 B
 I
 M
 J
 A
Dễ thấy điểm A và B nằm ngoài đường tròn. 
 5 5
Lấy J ;3 suy ra J thuộc thuộc đoạn IA,IJ và IA4 IJ (*). 
 2 2
Với mọi M thuộc (C) ta có 
 2 2 2 2
MA2 MJ MA 4 MJ MI IA 4 MI IJ
 MI22 MI . IA IA 2 4 MI 2 8 MI . IJ 4 IJ 2 
Đẳng thức này đúng vì MI R 5 , IA 10 và đẳng thức (*). 
Ta có: MA2 MB 2 MJ MB 2. JB 
Dễ thấy điểm J nằm trong đường tròn do đó dấu "=" xảy ra khi M là giao của JB và (C), M nằm 
giữa JB. 
 xt
Phương trình đường thằng JB là M t;8 2 t 
 yt82
5 | 
 Lời giải 
Cách 1: 
 Oxy
+Đường tròn (C) có tâm I 2 ; 2 , bán kính R2 
 1
+ dC tại hai điểm AB, S IAB .IA.IB.sin AIB 
 2
 11 1
 .R22 .sin AIB .R MaxS R2 khi sin AIB 1 AIB 900 . 
 22 IAB 2
 2
 AIH 450 ( H là trung điểm AB ) IH AI.cos450 2. 1 
 2
 m 0 tm 
 2 2m 2m 3 
 d I;d IH 1 1 8 
 1m22 m ktm 
 15
 d : x 3 0 
 x3 
 d x3 y1 
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ 
 22 
 C x y 4x 4 y 6 0 x3 
 y3 
Vậy AB 3 ; 1 , 3 ; 3 hoặc AB 3 ; 3 , 3 ; 1 . 
Cách 2: 
 1 AH22 IH AI22 R
+ S AB.IH AH.IH 
 IAB 2 2 22
 R2
MaxS AH IH IAH vuông cân tại H 
 IAB 2
 R
 IH 1 
 2
Tới đây ta làm tương tự như trên. 
 VÍ DỤ 12 
 Trong mặt phẳng , cho đường tròn C : x22 y 4x 10y 4 0. Đường thẳng d đi qua 
 M 1;3 cắt C tại hai điểm phân biệt AB, . Tìm tọa độ điểm H a; b là trung điểm của AB 
 khi diện tích IABđạt giá trị lớn nhất . 
 Lời giải 
7 | 
 x22 y 2 mx 4 m 1 y 3 m 14 0.
a) Tìm tham số để C là đường tròn. 
b) Tìm quỹ tích điểm là tâm của đường tròn C .
 Lời giải 
a) Tìm tham số để C là đường tròn. 
 222 m 1
Điều kiện để C là đường tròn : m 4 m 1 31405 m m 5100 m (1) 
 m 2
b) Tìm quỹ tích điểm là tâm của đường tròn C . 
 I
 xmI 
  Tâm I m;2 m 2 yII 2 x 2 . 
 ymI 22
  Theo điều kiện (1) (câu a), ta được quỹ tích tâm I của C là một phần đường thẳng có 
 phương trình : yx 22 ứng với xx 2; 1. m
 Ví DỤ 2 
 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm là tâm của đường tròn C , biết C tiếp xúc với 
 đường thẳng d: 6 x 8 y 15 0 và có bán kính R 3. 
 Lời giải 
  Gọi tâm I xII; y của đường tròn C . 
  C tiếp xúc với đường thẳng d: 6 x 8 y 15 0 và có bán kính R 3, nên: 
 6xyII 8 15 6xyII 8 15 0
 d I,3 d R . 
 10 6xyII 8 45 0
  Quỹ tích tâm của đường tròn C là hai đường thẳng song song có phương trình : 
 6xy 8 15 0 và 6xy 8 45 0 . 
 Ví DỤ 3 
 Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm là tâm của đường tròn C có bán kính R 2 , biết 
 C tiếp xúc tiếp xúc với đường tròn C' : x22 y 4 x 6 y 3 0 . 
 Lời giải 
  Gọi tâm I xII; y của đường tròn C . 
 I ' 2; 3 
  C tiếp xúc với C ' và có bán kính R 2 , nên: 
 R '4 
9 | 
 xmI
 Khi đó, có tâm I yx2 * .Tọa độ tâm I thỏa mãn . 
 C 2 II *
 ymI
 Vậy I nằm trên Parabol có phương trình yx2 . 
 Ví DỤ 7 
Tìm tập hợp tâm I của đường tròn C biết C tiếp xúc với 2 đường thẳng 1 :xy 2 3 0 
 và 2 :xy 2 6 0 . 
 Lời giải 
 có tâm I xII; y . Theo giả thiết dII ;12 d ; 
 x2 y 3 x 2 y 6
 IIII 
 55
 xIIII2 y 3 x 2 y 6 
 2xyII 4 9 0 * . Tọa độ tâm thỏa mãn * 
 Vậy tâm I nằm trên đường thẳng 2xy 4 9 0 . 
 Ví DỤ 8 
Cho đường tròn C: x22 y 2 m 1 x 4 my 3 m 11 0 . Tìm quỹ tích tâm I của đường 
 tròn. 
 Lời giải 
 có dạng x22 y2 ax 2 by c 0 với a m1; b 2 m ; c 3 m 11 
 22
 là phương trình đường tròn a22 b c 0 m1 2 m 3 m 11 0 
 m 2
 5mm2 5 10 0 
 m 1
 xmI 1
 Khi đó, có tâm I 2xyII 2 0 * .Tọa độ tâm I thỏa mãn . 
 ymI 2
 m 2 x 1
 Với điều kiện 
 m 1 x 2
 Vậy nằm trên đường thẳng 2xy 2 0 với x 1 hoặc x 2 
 Ví DỤ 9 
 Tìm tập hợp tâm của đường tròn biết tiếp xúc ngoài với đường tròn 
11 |