Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz - Toán 12

 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng 
Cho đường thẳng . Vectơ u 0 gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá 
của nó song song hoặc trùng với .
Chú ý:
 k.u 
* Nếu u là VTCP của thì k.u k 0 cũng là VTCP của . 
 u
  
 * Nếu đường thẳng đi qua hai điểm A, B thì AB là một VTCP. 
   
 * Ta chứng minh được nếu hai véc tơ không cùng phương a, b có giá cùng vuông góc 
   
với đường thẳng thì a, b là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng .
2. Phương trình tham số của đường thẳng 
Cho đường thẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có VTCP u a;b;c . Khi đó phương trình 
 x x0 at
đường thẳng có dạng: y y0 bt t ¡ 1 .
 z z0 ct
 1 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng , t được gọi là tham số.
Chú ý: Cho đường thẳng có phương trình 1 
● u a;b;c là một VTCP của .
● Điểm M , suy ra M x0 at; y0 bt; z0 ct .
3. Phương trình chính tắc 
Cho đường thẳng đi qua M x0 ; y0 ; z0 và có VTCP u a;b;c với abc 0 . Khi đó 
 x x y y z z
phương trình đường thẳng có dạng: 0 0 0 2 .
 a b c
 2 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng .
4. Hình chiếu của điểm trên đường thẳng
Định nghĩa 1: Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d .
- Nếu M d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là chính nó.
- Nếu M d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là điểm H d sao cho 
 MH  d d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương 
  
 u,u .MM '
 u và d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương u là d( d,d ) 
 u,u 
6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, 
đường thẳng và mặt cầu. 
a) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
  
  1 u 1
 M ' a M  M
 0 0 u 0
  1
 M '  
 b  0 M0 u u' 
 u' 1 2 u'
 2 2 '
 ' M0
 M0 M0 2
 x x y y z z
Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : 0 0 0 đi qua 
 1 a b c
  , , ,
 x x0 y y0 z z0 , , ,
 M1 x0 ; y0 ; z0 có VTCP u1 a;b;c và d2 : đi qua M 2 x0 ; y0 ; z0 
 a ' b' c '
  
có VTCP u2 a ';b';c ' .
Để xét vị trị tương đối của d1 và d2 , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
   a1 a2 a3
     u Pu 
• d  d u ,u u , M M 0 hoặc 1 2 b b b .
 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3
 M1 d2 
 M1 d2
     
 a1 a2 a3
 u1,u2 0 
 u1 Pu2 
• d1 Pd2   hoặc b1 b2 b3 .
 M d
 u1, M1M 2 0 1 2 
 M1 d2
   
 u ,u 0
 1 2 
• d1 cắt d2    .
 u ,u .M M 0
 1 2 1 2 Aa Bb Cc t D Ax0 By0 Cz0 . * 
Phương trình * là phương trình bậc nhất, ẩn t . Ta có
•Nếu phương trình * vô nghiệm t thì d P .
•Nếu phương trình * có nghiệm t duy nhất thì d cắt .
•Nếu phương trình * có vô số nghiệm t thì d  .
Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta giải phương trình bậc nhất 
theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x; y; z .
c) Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
 x x0 at
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng và mặt cầu d : y y0 bt , t ¡ 
 z z0 ct
và S : x a 2 y b 2 z c 2 R2 .
Để xét vị trị tương đối của d và , ta sử dụng hai phương pháp sau:
Phương pháp hình học:
•Bước 1. Tính khoảng cách từ tâm I của S đến d .
•Bước 2. + Nếu d I,d  R thì d không cắt S .
 + Nếu d I,d  R thì d tiếp xúc S .
 + Nếu d I,d  R thì d cắt S .
Phương pháp đại số:
• Bước 1. Thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình S , khi đó ta 
được phương trình bậc hai theo t .
• Bước 2. + Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm t thì d không cắt S .
 + Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm t thì d tiếp xúc S .
 + Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm t thì d cắt S . 
Chú ý : Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai 
theo t , sau đó thay giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm x; y; z .
7. Góc
a) Góc giữa hai véctơ 1. Phương pháp. Để tìm véc tơ chỉ phương của đường thẳng dựa vào định nghĩa, ta tìm một 
véc tơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng, véc tơ đó chính là véc tơ chỉ phương của 
đường thẳng.
Chú ý: 
  
+ Đường thẳng d đi qua A và B thì AB là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d 
  
+ Đường thẳng d song song với đường thẳng thì u là một véc tơ chỉ phương của đường 
thẳng d 
+ Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì n(P) là một véc tơ chỉ phương của đường 
thẳng d 
2. Ví dụ minh họa
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;2 , B 2; 1;0 . Viết 
phương trình đường thẳng AB ?
 x 2 k x 1 3t
 x y 3 z 4 x y 1 z 2
A. y 1 2k . B. y 1 2t . C. .D. .
 1 2 2 1 2 2
 z 2k z 2 2t
 Lời giải
Chọn A
  
Ta có AB 1; 2; 2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB .
  
Đường thẳng AB đi qua điểm B 2; 1;0 và nhận AB 1; 2; 2 là một vectơ chỉ phương 
 x 2 k
có phương trình tham số là y 1 2k ,k ¡ .
 z 2k 
Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng x 3y 4z 2 0 nhận một vectơ u 1; 3;4 hay 
  
u 1;3; 4 làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm A 0;3; 1 nên có phương trình 
 x 1 y z 3
 .
 1 3 4
Câu 5: Trong không gian Oxyz , phương trình của trục z Oz là
 x t x 0 x t x 0
A. y t . B. y t . C. y 0 . D. y 0 .
 z 0 z 0 z 0 z t
 Lời giải
Chọn D
Trục z Oz đi qua điểm O 0;0;0 và có một VTCP là k 0;0;1 .
 x 0
Suy ra phương trình của trục z Oz là y 0.
 z t
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A 0; 1;3 , B 1;0;1 , C 1;1;2 . 
Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song 
với đường thẳng BC ?
 x 2t
 x y 1 z 3 x 1 y z 1
A. y 1 t . B. x 2y z 0 .C. . D. .
 2 1 1 2 1 1
 z 3 t
 Lời giải
Chọn C
  
Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận BC 2;1;1 làm vecto chỉ phương
 x y 1 z 3
 Phương trình đường thẳng cần tìm: .
 2 1 1
Chú ý:Đáp án A không nhận được, vì đó là phương trình tham số của đường thẳng cần tìm, 
chứ không phải phương trình chính tắc.
Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng trong trường hợp véctơ chỉ phương của đường 
thẳng được tìm dựa vào tích có hướng.