Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học 12

 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 I. Phương trình đường thẳng: 
 Cho đường thẳng đi qua điểm M0 x 0;; y 0 z 0 và nhận vectơ a a1;; a 2 a 3 với 
 2 2 2
 a1 a 2 a 3 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó có phương trình tham số là : 
 x x01 a t
 y y02 a t; t 
 z z02 a t
 Cho đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ a a1;; a 2 a 3 sao 
 cho a1 a 2 a 3 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó có phương trình chính tắc là : 
 x x y y z z
 0 0 0 
 a1 a 2 a 3
 II. Góc: 
 1. Góc giữa hai đường thẳng: 
 1 có vectơ chỉ phương a1 
 2 có vectơ chỉ phương a2 
 aa12.
 Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có: cos 
 aa12.
 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 có vectơ chỉ phương a 
 có vectơ chỉ phương n 
 an . 
 Gọi là góc giữa hai đường thẳng và () . Ta có: sin 
 an . 
III. Khoảng cách: 
 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : 
 đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a 
 a, M M
 0
 dM , 
 a 
 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a1 
 2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương a2 Lấy một điểm bất kì trên , bằng cách cho một ẩn bằng một số tùy ý. 
 Xác định vectơ chỉ phương của là a n, n , với nn, lần lượt là 
  
 vectơ pháp tuyến của  , . 
8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng 
 d1,, d 2 A d 1 A d 2 . 
 Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của là a n, n , với nn, lần lượt là 
 12 12
 vectơ pháp tuyến của mp A,,, d12 mp A d . 
9. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường 
 thẳng dd12, . 
 Cách giải: Xác định vectơ chỉ phương của là a AB , với 
 A d12  , B d  
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , vuông góc và cắt d . 
 Cách giải: 
 Xác định Bd  . 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua AB, . 
11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với d1 và 
 cắt d2 , với Ad 2 . 
 Cách giải: 
 Xác định Bd  2 . 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua . 
12. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt đường thẳng d và 
 song song với mặt phẳng . 
 Cách giải: 
 Xác định Bd  . 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua . 
13. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng cắt và 
 vuông góc đường thẳng d . 
 Cách giải: 
 Xác định Ad  . 
 Đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương của là a a, n , 
 d 
 với ad là vectơ chỉ phương của d , n là vectơ pháp tuyến của . 
14. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của đường thẳng 
 d và mặt phẳng , nằm trong và vuông góc đường thẳng (ở đây 
 không vuông góc với ) . 
 Cách giải: 
 Xác định . 2. Học sinh biết cách chuyển từ phương trình tham số qua phương trình chính tắc và 
 ngược lại. 
 3. Học sinh lập được phương trình chính tắc và phương trình tham số. 
 4. Học sinh tìm được hình chiếu, điểm đối xứng. 
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
 xt 22 xt 6 2 '
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : yt 32 và d’: yt 3 2 ' . Xét 
 zt 13 zt 7 9 '
 các mệnh đề sau: 
 (I) d đi qua A(2 ;3 ;1) và có véctơ chỉ phương a 2;2;3 
 (II) d’ đi qua A’ (0;-3;-11) và có véctơ chỉ phương a' 2;2;9 
 (III) a và a ' không cùng phương nên d không song song với d’ 
 (IV) Vì a; a ' . AA ' 0 nên d và d’ đồng phẳng và chúng cắt nhau 
 Dựa vào các phát biểu trên, ta kết luận: 
 A. Các phát biểu (I), (III) đúng, các phát biểu (II), (IV) sai. 
 B. Các phát biểu (I), (II) đúng, các phát biểu (III), (IV) sai. 
 C. Các phát biểu (I) đúng, các phát biểu (II), (III), (IV) sai. 
 D. Các phát biểu (IV) sai, các phát biểu còn lại đúng. 
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số 
 xt 2
 yt 3 . Phương trình chính tắc của đường thẳng là? 
 zt 15 
 x 21 y z
 A. x 2 y z 1. B. . 
 1 3 5
 x 21 y z x 21 y z
 C. . D. .
 1 3 5 1 3 5 
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng có phương trình chính 
 x 31 y z
 tắc . Phương trình tham số của đường thẳng là? 
 2 3 1
 xt 32 xt 23 xt 32 xt 32 
 A. yt 1 3 . B. yt 3. C. yt 1 3 . D. yt 1 3 .
 zt zt zt zt 
 x 2 y 1 z 3
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng d : . Đường 
 2 1 3
 thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ad có tọa độ là: 
 A. Ma 2; 1;3 ,d 2;1;3 . B. Ma 2; 1; 3 ,d 2; 1;3 . 
 C. Ma 2;1;3 ,d 2; 1;3 . D. Ma 2; 1;3 ,d 2; 1; 3 .
 xt 12
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng d: y t . Phương 
 zt 32 
 trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A 3;1; 1 và song song với d là 
 x 3 y 1 z 1 x 3 y 1 z 1
 A. . B. . 
 2 1 2 2 1 2
 x 2 y 1 z 2 x 2 y 1 z 2
 C. . D. .
 3 1 1 3 1 1 
 x 2 y 1 z 3
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng d : . 
 2 1 3
 Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 1;3; 4 và song song với 
 d là 
 xt 2 xt 12 xt 12 xt 12
 A. yt 1 3 . B. yt 3. C. yt 3. D. yt 3.
 zt 34 zt 43 zt 43 zt 43 
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng P : 2 x y z 3 0 . Phương 
 trình chính tắc của của đường thẳng đi qua điểm M 2;1;1 và vuông góc với P 
 là 
 x 2 y 1 z 1 Oxyz, x 2 y 1 z 1
 A. . B. . 
 2 1 1 2 1 1
 x 2 y 1 z 1 x 2 y 1 z 1
 C. . D. .
 2 1 1 2 1 1 
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng :x 2 y 2 z 3 0 .Phương 
 trình tham số của đường thẳng d đi qua A 2;1; 5 và vuông góc với là 
 xt 2 xt 2 xt 2 xt 12
 A. yt 1 2 . B. yt 1 2 . C. yt 1 2 . D. yt 2. 
 zt 52 zt 52 zt 52 zt 25
Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ phương trình đường thẳng đi qua điểm 
 A 2; 1;3 và vuông góc với mặt phẳng Oxz là. 
 x 2 x 2 x 2 xt 2
 A. yt 1. B. yt 1. C. yt 1. D y 1.
 z 3 z 3 z 3 zt 3
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ cho tam giác ABC có 
 ABC 2;1; 2 , 4; 1;1 , 0; 3;1 . Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và 
 vuông góc với mặt phẳng ABC là