Chuyên đề Phương trình đường thẳng - Hình học 12

 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
 3 TRONG KHƠNG GIAN 
 CHƯƠNG
 BÀI 3 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 I. Phương trình đường thẳng: 
 Cho đường thẳng đi qua điểm M0 x 0;; y 0 z 0 và nhận vectơ a a1;; a 2 a 3 với 
 2 2 2
 a1 a 2 a 3 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đĩ cĩ phương trình tham số là : 
 x x01 a t
 y y02 a t; t 
 z z02 a t
 Cho đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ a a1;; a 2 a 3 sao 
 cho a1 a 2 a 3 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đĩ cĩ phương trình chính tắc là : 
 x x y y z z
 0 0 0 
 a1 a 2 a 3
 II. GĨC: 
 1. Gĩc giữa hai đường thẳng: 
 1 cĩ vectơ chỉ phương a1 
 2 cĩ vectơ chỉ phương a2 
 aa12.
 Gọi là gĩc giữa hai đường thẳng và . Ta cĩ: cos 
 aa12.
 2. Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 
 cĩ vectơ chỉ phương a 
 cĩ vectơ chỉ phương n 
 an . 
 Gọi là gĩc giữa hai đường thẳng và () . Ta cĩ: sin 
 an . 
 III. KHOẢNG CÁCH : 
 1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : 
 đi qua điểm M 0 và cĩ vectơ chỉ phương a 
1 
  Hệ vơ nghiệm d và d ' song song hoặc chéo nhau 
  Hệ vơ số nghiệm d và d ' trùng nhau 
 Lưu ý: Chỉ sử dụng cách này khi cần xác định giao điểm của d và d '. 
  Chú ý: 
 add ka 
  d song song d 
 Md 
 add ka 
  d trùng d 
 Md 
 add không cùng phương a 
  d cắt d 
 a, a  . MN 0
  d chéo d add, a  . MN 0 
 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: 
 x x01 a t
 Cho đường thẳng: d: y y02 a t và mp ( ) :Ax By Cz D 0 
 z z03 a t
 x x01 a t (1)
 y y02 a t (2)
 Xé hệ phương trình: (*) 
 z z03 a t (3)
 Ax By Cz D 0 (4)
  (*) cĩ nghiệm duy nhất d cắt () 
  (*) cĩ vơ nghiệm d // () 
  (*) vơ số nghiệm d  () 
 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu 
Cho mặt cầu ()S cĩ tâm I , bán kính R và đường thẳng . 
Để xét vị trí tương đối giữa và ()S ta tính dI , rồi so sánh với bán kính R . 
 d I, R : khơng cắt ()S 
 d I, R : tiếp xúc với ()S . 
Tiếp điểm J là hình chiếu vuơng gĩc của tâm I lên đường thẳng . 
 AB2
 d I, R: cắt ()S tại hai điểm phân biệt A, B và Rd 2
 4 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
 DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 VÍ DỤ 1 
 Ví 
3 
Đường thẳng song song với d nên cĩ vectơ chỉ phương u 2:3;1 . Mặt khác, đi qua
 xy 16
M 1;6; 2 nên cĩ phương trình: z 2 . 
 23
 VÍ DỤ 6 
 Ví 
 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 3;5;0 . Viết phương trình đường thẳng d đi 
 qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng Oxy . 
 Bài giải 
Mặt phẳng Oxy cĩ vectơ pháp tuyến là k 0;0;1 . 
Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng Oxy nên nhận k 0;0;1 làm vectơ chỉ phương. 
Vậy đường thẳng đi qua và nhận k 0;0;1 làm vectơ chỉ phương nên cĩ phương 
 x 3
trình: y 5 , t . 
 zt 
 VÍ DỤ 7 
 Ví 
 Trong khơng gian với hệ toạ độ , cho điểm và mặt phẳng (P ) : 2 x 3 y z 1 0. 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng P . 
 Bài giải 
+Mặt phẳng P cĩ vectơ pháp tuyến n 2;3; 1 . 
+Vì đường thẳng d đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng P nên nhận n làm vectơ chỉ phương 
 x 35 y z
 Phương trình đường thẳng d : . 
 2 3 1
 VÍ DỤ 8 
 Ví 
 Trong khơng gian với hệ toạ độ , cho điểm M 1;5;3 . Lập phương trình đường thẳng d đi 
 qua M và vuơng gĩc với mặt phẳng Oyz . 
 Bài giải 
+Mặt phẳng Oyz cĩ vectơ pháp tuyến i 1;0;0 . 
+Vì đường thẳng đi qua M và vuơng gĩc với mặt phẳng Oyz nên nhận i 1;0;0 làm 
 xt 1 
vectơ chỉ phương Phương trình đường thẳng : yt 5 . 
 z 3
 VÍ DỤ 9 
 Ví 
 Trong khơng gian với hệ toạ độ , viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua 
 B 1;0; 1 và vuơng gĩc với mặt phẳng : 2x y z 9 0 . 
 Bài giải 
+Mặt phẳng cĩ vectơ pháp tuyến n 2; 1;1 . 
5 
 VÍ DỤ 13 
 Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng , lần lượt cĩ phương trình là 
 , . Viếp phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai 
 mặt phẳng và . 
 Lời giải 
Phương pháp 1: Ta cĩ vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là : n 1;2;1 ,
 n 5;1;0 Véc tơ chỉ phương của d là : ud n   n 1;5; 9 . 
 x 2 y z 4 0
Mặt khác xét hệ phương trình . 
 5xy 6 0
Ta chọn x 1 thay vào hệ phương trình ta được y 1, z 1 M 1;1;1 d . 
 xt 1
Do đĩ ta cĩ phương trình tham số của d: y 1 5 t t . 
 zt 19
Phương pháp 2: Xét hệ phương trình , ta chọn xt thay vào hệ phương trình 
 xt 
ta được yt 65 , zt 8 9 . Do đĩ phương trình tham số của y 6 5 t t . 
 zt 89 
 VÍ DỤ 14 
 Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng , lần lượt cĩ phương trình là 
 và điểm . Viết phương trình đường thẳng đi qua 
 đồng thời cắt hai đường thẳng và . 
 Lời giải 
 d
Phương pháp 1 : Giả sử 1 cắt và d 2 lần lượt tại A và B , khi đĩ ta cĩ A t;1 t ;1 t , 
B 1 2 s ;2 s ; s , ts, . 
 MA t ; t 2; t 6 
  MAMB , 648;8126; ts stt s stts 242 
 MB 1 2 s ; s 1; s 7  
7 
 x 2 y 2 z 5 0
 x 5
 xs 53
 yB 0 5;0;0 . 
 ys 
 z 0
 zs 
 xt 14
Khi đĩ vectơ chỉ phương của d: ud AB 4; 1; 1 . Phương trình của d:1 y t t . 
 zt 1
 VÍ DỤ 16 
 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng cĩ phương trình là và 
 . Viết phương trình đường thẳng đi qua vuơng gĩc và đồng thời cắt . 
 Lời giải 
Giả sử cắt tại B , khi đĩ ta cĩ : B 22;2 t t ;3 t , AB 12;1 t t ;1 t 
Vectơ chỉ phương của : u 2; 1; 1 . 
Vì d AB  udd ABu. 0 t 0 B 2;2;3 . Do đĩ Vectơ chỉ phương của 
d: ud AB 1;1;1 . 
 xt 1
Phương trình của d:1 y t t . 
 zt 2
 VÍ DỤ 17 
 Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng , lần lượt cĩ phương trình là , 
 và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt đường 
 thẳng đồng thời vuơng gĩc với . 
 Lời giải 
 d1
Gọi là mặt phẳng đi qua A và vuơng gĩc với d1 . Khi đĩ ta cĩ vectơ pháp tuyến của 
 :nu (2;2;1) Phương trình của : 2x 2 y z 4 0 . 
 d1 
9