Chuyên đề Phương trình đường thẳng dạng tổng hợp - Hình học 12

 BÀI TẬP TỔNG HỢP 
 CÂU 1 
 Ví 
 Trong không gian Oxyz , cho A 1;2;3 và B 2; 1;2 . Viết phương trình đường thẳng AB . 
 Lời giải 
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A 1;2;3 và có VTCP AB 1; 3; 1 nên có phương trình tham 
 xt 1
số là: y 23 t t . 
 zt 3
 CÂU 2 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua 
 A và song song với trục Ox . 
 Lời giải 
 Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A 1;2;3 và có VTCP i 1;0;0 nên có phương trình tham số 
 xt 1
 là: yt 2 . 
 z 3
 CÂU 3 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua 
 A và song song với trục Oy . 
 Lời giải 
 Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A 1;2;3 và có VTCP j 0;1;0 nên có phương trình tham số 
 x 1
 là: y 2 t t . 
 z 3
 CÂU 4 
 Ví 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 2;3 . Viết phương trình đường thẳng đi 
 qua A và song song với trục Oz . 
 Lời giải 
Đường thẳng cần tìm đi qua điểm A 1; 2;3 và có VTCP k 0;0;1 nên có phương trình tham 
 x 1
số là: yt 2 . 
 zt 3
 CÂU 5 
 Ví 
1 
 x 1 y 3 z 1 x 5 y 1 z 3
 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d: và d: 
 1 1 1 1 2 2 2 1
 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho. 
 Lời giải 
 Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 1;3; 1 có vectơ chỉ phương u1 1; 1;1 . 
 Đường thẳng d 2 đi qua điểm M2 5; 1;3 có vectơ chỉ phương u2 2; 2;1 . 
 uu, 1;1;0
 12 
 Ta có 
 M12 M 4; 4;4 
 uu; .M M 0, nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau. 
 1 2 1 2
 CÂU 9 
 Ví 
 x 1 at xt 1 
 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y t ; d2 : y 2 2 t ; (;)tt . 
 zt 12 zt 3 
 Tìm a để hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau. 
 Lời giải 
 11 at t 
Xét hệ phương trình tt 22 . Ta tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. 
 1 2tt 3 
 t 2
Từ phương trình thứ hai và thứ ba của hệ suy ra thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được 
 t 0
1 2a 1. Do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì a 0. 
Vậy a 0là giá trị cần tìm. 
 CÂU 10 
 Ví 
 xt 1
 x 1 y z 
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : , d2 :2 y t . 
 2 1 3 
 zm 
 Tìm tất cả các số m sao cho d1 và d 2 chéo nhau. 
 Lời giải 
 Đường thẳng d1 đi qua điểm M1 1;0; 0 và có VTCP u1 2;1;3 . 
 Đường thẳng d 2 đi qua điểm Mm2 1;2; và có VTCP u2 1;1;0 . 
 Ta có: M M 0;2; m ; uu, 3;3;1 . Do đó u,6 u M M m . 
 12 12  1 2 1 2
 Do đó, để d1 và d 2 chéo nhau thì: u1, u 2 M 1 M 2 m 6 0 m 6 . 
 CÂU 11 
 Ví 
3 
 x 2 y 1 z 3
Vậy phương trình là: . 
 1 1 1
 CÂU 14 
 Ví 
 xt 3
 Trong không gian với hệ tọa độ P cho điểm I 1;1;2 , hai đường thẳng 1 : yt 1 2 và
 z 4
 x 22 y z
 : . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng 
 2 1 1 2
 12, . 
 Lời giải 
Gọi 1 là mặt phẳng qua I và 1 
 đi qua M 3; 1;4 và có vectơ chỉ phương a 1;2;0 ; IM 2; 2;2
 1 1 1 1 
 có vectơ pháp tuyến n a, IM 4; 2; 6 
 1 1 1 1 
Gọi 2 là mặt phẳng qua I và 2 
 đi qua M 2;0;2 và có vectơ chỉ phương a 1;1;2 ; IM 3; 1;0
 2 2 2 2 
 có vectơ pháp tuyến n a, IM 2; 6;2 . 
 2 2 2 2 
 nn12, 40; 20; 20 20(2;1;1)
d đi qua điểm I 1;1;2 và có vectơ chỉ phương ad (2;1;1). 
 xt 12
Vậy phương trình đường thẳng d là yt 1 . 
 zt 2
 CÂU 15 
 Ví 
 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 , d 2 và mặt phẳng ( ) có phương trình: 
 xt 13
 x 24 y z
 d1 :2 y t t , d2 : , ( ) :x y z 2 0 . 
 3 2 2
 zt 12 
 Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ), cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 . 
 Lời giải 
Vì đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d1 và d 2 nên ta gọi M và N lần lượt là giao điểm của 
với d1 và d 2 . Hơn nữa, vì đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) nên MN, . 
* Tìm tọa độ điểm M . 
Vì Md 1 nên tọa độ điểm M có dạng M 1 3 t ;2 t ; 1 2 t với t . 
Vì M 1 3 t ;2 t ; 1 2 t nên 1 3t 2 t 1 2 t 2 0 t 1. 
Do đó M 2;1; 3 . 
* Tìm tọa độ điểm N . 
5 
 CÂU 18 
 xt 14
 Ví x 12 y z 
 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và d2 : y 1 2 t , t . 
 2 1 1 
 zt 22
 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho. 
 Lời giải 
Đường thẳng d1 đi qua điểm M 1; 2;0 và có một vectơ chỉ phương u1 2; 1;1 . 
Đường thẳng d 2 đi qua điểm N 1; 1;2 và có một vectơ chỉ phương u2 4; 2;2 . 
MN 0;1;2 . 
Do u1 cùng phương với u2 và Md 2 nên dd12// . Suy ra: 
 u, MN 222
 1 3 4 2 174
 d d1;; d 2 d N d 1 . 
 2 2 6
 u1 2 1 1
 174
Vậy d d; d . 
 12 6
 CÂU 19 
 Ví 
 x 33 y z
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : , mặt phẳng 
 1 3 2
 P : x y z 3 0 và điểm A 1;2; 1 . Cho đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với 
 mặt phẳng P . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến . 
 Lời giải 
 Mặt phẳng P có một véctơ pháp tuyến là n 1;1; 1 . 
 Gọi Md  M 3 t ;3 3 t ;2 t AM 2 t ;1 3 t ;2 t 1 . 
 Đường thẳng đi qua A , cắt d và song song với mặt phẳng P nên AM n AM.0 n 
 2 t 1 3 t 1 2 t 1 0 t 1. 
 Khi đó, đường thẳng đi qua A và nhận AM 1; 2; 1 làm véctơ chỉ phương. 
 22
 AM, OA 4 4 4 3
Suy ra dO , . 
 AM 6 3
 CÂU 20 
 Ví 
 x 11 y z
 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm AB 0; 1;2 , 1;1;2 và đường thẳng d : . 
 1 1 1
 Biết điểm M a;; b c thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. Tính 
 giá trị của T a 23 b c 
 Lời giải 
 1
Ta có S .;. d M AB AB nên MAB có diện tích nhỏ nhất khi d M; AB nhỏ nhất. 
 MAB 2
7