Chuyên đề Phương trình đại số - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 Chủ đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
Để giải một phương trình bậc lớn hơn 3. Ta thường biến đổi phương trình 
đó về một trong các dạng đặc biệt đó là:
1. Phương pháp đưa về dạng tích: Tức là biến đổi phương trình:
 f x 0
 F x 0 f x .g x 0 
 g x 0
Đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau:
Cách 1: Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng: a2 b2 0,a3 b3 0,...
Cách 2: Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a là một nghiệm của 
phương trình f x 0 thì ta luôn có sự phân tích: f x x a g x . Để 
dự đoán nghiệm ta dựa vào các chú ý sau:
Chú ý: 
Cách 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta thường áp dụng cho 
phương trình bậc bốn.
Đặc biệt đối với phương trình bậc 4: Ta có thể sử dụng một trong các cách 
xử lý sau:
 • Phương trình dạng: x4 ax2 bx c
Phương pháp: Ta thêm bớt vào 2 vế một lượng: 2mx2 m2 khi đó phương 
trình trở thành: (x2 m)2 (2m a)x2 bx c m2
Ta mong muốn vế phải có dạng: (Ax B)2 
 2m a 0
 m
 2 2 
 b 4(2m a)(c m ) 0 a) x4 10x2 x 20 0 x4 10x2 x 20
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2mx2 m2
Khi đó phương trình trở thành: x4 2mx2 m2 (10 2m)x2 x m2 20
 9
Ta có 1 4(m2 20)(10 2m) 0 m . Ta viết lại phương trình 
 VP 2
thành:
 2 2 2
 4 2 9 2 1 2 9 1 
 x 9x x x x x 0
 2 4 2 2 
 1 17 1 21
 (x2 x 5)(x2 x 4) 0 x . và x .
 2 2
 b) x4 22x2 8x 77 0 x4 22x2 8x 77
Ta thêm vào 2 vế phương trình một lượng: 2mx2 m2
Khi đó phương trình trở thành: x4 2mx2 m2 (22 2m)x2 8x m2 77
.
 2
Ta có VP 1 4(22 2m)(m 77) 0 m 9.
Ta viết lại phương trình thành:
 2
 x4 18x2 81 4x2 8x 4 x2 9 2x 2 2 0
 x 1 2 2
 (x2 2x 7)(x2 2x 11) 0 
 x 1 2 3
 c) Phương trình có dạng: 
 x4 6x3 8x2 2x 1 0 x4 6x3 8x2 2x 1
Ta tạo ra vế trái dạng: (x2 3x m)2 x4 6x3 (9 2m)x2 6mx m2 a) Ta có phương trình x4 2x 3 2 0 (1.1)
 x2 2x 3 0
 x2 2x 3 x2 2x 3 0 x 1; x 3. Vậy 
 2
 x 2x 3 0
phương trình có hai nghiệm x 1; x 3
 b) Phương trình x4 4x2 4 9x2 18x 9 0
 2
 x2 2 3x 3 2 0 x2 3x 5 x2 3x 1 0
 3 29
 2 x 
 x 3x 5 0 2
 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 
 2
 x 3x 1 0 3 5
 x 
 2
 3 29 3 5
x ; x .
 2 2
 c) Ta có phương trình
 2 2
 2 5 1 1 2 3 9 1 3 2 1 2
 x x x x x x 2x x 3x 1 0
 2 4 4 4 16 2 4 2 
 2 2
 2 x 
 2x 4x 1 0 2
 .
 2
 x 3x 1 0 3 13
 x 
 2
2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Là phương pháp khá hữu hiệu đối với các bài toán đại số, trong giải phương 
trình bậc cao cũng vậy, người ta thường đặt ẩn phụ để chuyển phương trình 
bậc cao về phương trình bậc thấp hơn.
Một số dạng sau đây ta thường dùng đặt ẩn phụ.
Dạng 1: Phương trình trùng phương: ax4 bx2 c 0 a 0 (1) 4 4 a b
Dạng 5: Phương trình x a x b c . Đặt x t ta đưa về 
 2
phương trình trùng phương 
Ví dụ 1: Giải các phương trình:
1) 2x4 5x3 6x2 5x 2 0 2) x 1 4 x 3 4 2
3) x x 1 x 2 x 3 24 4) 
 x 2 x 3 x 4 x 6 6x2 0
Lời giải: 
1) Ta thấy x 0 không là nghiệm phương trình nên chia hai vế pương trình 
cho x2 ta được:
 2 1 1 
2 x 2 5 x 6 0 . Đặt 
 x x 
 2
 1 2 1 1 2
t x , t 2 x 2 x 2 t 2 . Ta có:
 x x x 
 t 2
 2 2
2 t 2 5t 6 0 2t 5t 2 0 1 . Với 
 t 
 2
 1
t 2 x 2 x2 2x 1 0
 x
2) Đặt x t 2 ta được:
 t 1 4 t 1 4 2 t 4 6t 2 0 t 0 x 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2.
Chú ý: Với bài 2 ta có thể giải bằng cách khác như sau: Trước hết ta có 
BĐT: b) Giải phương trình: x6 3x5 6x4 21x3 6x2 3x 1 0
 c) Giải phương trình: x 1 x 2 x 3 2 x 4 x 5 360
 3
 d) Giải phương trình: x3 5x 5 5x3 24x 30 0 .
Lời giải:
 a) Vì x 1 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho 
 x3 1 ta được:
 x2 x 1 x 1
3 2 . Đặt 
 x 1 x2 x 1
 x2 x 1 2 1
t 3t 5 3t 2 5t 2 0 t 2,t 
 x 1 t 3
 3 13
* t 2 x2 3x 1 0 x 
 2
 1
* t 3x2 2x 4 0 phương trình vô nghiệm
 3
b) Đây là phương trình bậc 6 và ta thấy các hệ số đối xứng do đó ta có thể 
áp dụng cách giải mà ta đã giải đối với phương trình bậc bốn có hệ số đối 
xứng.
Ta thấy x 0 không là nghiệm của phương trình. Chia 2 vế của phương 
trình cho x3 ta được:
 3 1 2 1 1 1
x 3 3 x 2 6 x 21 0 . Đặt t x , t 2. Ta có:
 x x x x
 2 1 2 3 1 2
x 2 t 2; x 3 t t 3 nên phương trình trở thành:
 x x
t t 2 3 3 t 2 2 6t 21 0 ax bx
 a) Phương trình: c với abc 0 .
 x2 mx p x2 nx p
Phương pháp giải: Nhận xét x 0 không phải là nghiệm của phương trình. 
Với x 0 , ta chia cả tử số và mẫu số cho x thì thu được:
 a b k k 2
 c . Đặt t x t 2 x2 2k 2 k 2k . 
 p p 2
x m x n x x
 x x
Thay vào phương trình để quy về phương trình bậc 2 theo t .
 2
 2 ax 
 b) Phương trình: x b với a 0, x a . 
 x a 
Phương pháp : Dựa vào hằng đẳng thức a2 b2 a b 2 2ab . Ta viết lại 
phương trình thành: 
 2 2
 ax x2 x2 x2 x2
 x 2a. b 2a b 0 . Đặt t quy 
 x a x a x a x a x a
về phương trình bậc 2. 
Ví dụ 1) Giải các phương trình: 
 25x2
 a) x2 11 . (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh 
 x 5 2
 Hóa 2013).
 12x 3x
 b) 1. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Đại 
 x2 4x 2 x2 2x 2
 học Vinh 2010).
 x2
 c) 3x2 6x 3 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHSP Hà 
 x 2 2
 Nội 2008).
 x3 3x2
 d) x3 2 0
 x 1 3 x 1 d) Sử dụng HĐT a3 b3 a b 3 3ab a b ta viết lại phương trình 
thành: 
 3 2 3 2 2
 3 x 3x x x x 3x
x 2 0 x 3 x 2 0 
 3 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
hay 
 2 3 2 2 2 2 3 2
 x x 3x x x 2
 3 2 0 1 1 1 1 x 2x 2 0
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
 BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Giải các phương trình sau:
 1) x2 x 2 x2 x 3 6 .
 2) 6x 7 2 3x 4 x 1 1.
 3) x 1 4 x 3 4 82 .
 4) x 1 x 2 x 4 x 5 10 .
 5) x2 x 2 x2 2x 2 2x2 .
 6) x 2 x 1 x 8 x 4 4x2 .
 2 2
 7) 3 x2 2x 1 2 x2 3x 1 5x2 0 .
 8) 3x4 4x3 5x2 4x 3 0 .
 9) 2x4 21x3 34x2 105x 50 0 .
 1 1 1 1 1
 10) 0 .
 x x 1 x 2 x 3 x 4
 x 4 x 4 x 8 x 8 8
 11) .
 x 1 x 1 x 2 x 2 3 2 t 3
t 36x 84x 48 thì phương trình trên thành t t 1 12 . 
 t 4
 3
Với t 3 thì 36x2 84x 48 3 36x2 84x 45 0 x hoặc 
 2
 5
x . Với t 4 thì 36x2 84x 48 4 36x2 84x 52 0 , 
 6
phương trình này vô nghiệm. 
 5 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ;  . 
 6 2
 3) Đặt y x 1 thì phương trình đã cho thành 
 4 2 y 1 x 0
24y 48y 216 82 . 
 y 1 x 2
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S 2;0. 
 x 1 x 2 x 4 x 5
 4) Đặt y x 3 thì phương trình trở thành: 
 4
 y 6 x 6 3
 y2 4 y2 1 10 y4 5y2 6 0 . 
 y 6 x 6 3
Vậy tập nghiệm của phương trình là S 6 3; 6 3.
 5) Do x 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia hai vế cho 
 2 2 2 2
x ta được x 1 x 2 2 . Đặt y x thì phương trình trở 
 x x x
 2
 x 0
 y 0 x x 1
thành y 1 y 2 2 .
 y 3 2 x 2
 x 3 
 x
 6) Biến đổi phương trình thành 
 x 2 x 4 x 1 x 8 4x2 x2 6x 8 x2 9x 8 4x2 . 
Do x 2 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta 
được: