Chuyên đề Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8

 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
A. BÀI GIẢNG 
1. NHẮC LẠI VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Với số a, ta có: 
 a nÕu a 0
a 
 a nÕu a 0
Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng có: 
 fx( ) nÕu fx ( ) 0
f( x ) 
 fx( ) nÕu fx ( ) 0
Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức: 
 a. C 3 x 7 x 4 khi x 0 
 b. D 5 4 x x 6 khi x 6 
 Giải 
a. Với x 0 thì 3x 0 nên ta nhận được: 
 C 3 xx 7 4 4 x 4 
b. Với x 6 thì x 6 0 nên ta nhận được: 
 D 5 4 xx 6 11 5 x . 
2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta sẽ chỉ quan tâm tới ba dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt 
đối, bao gồm: 
 Dạng 1: Phương trình: 
 fx( ) k , với k là hằng số không âm. 
 Dạng 2: Phương trình: 
 fx() gx () 
 Dạng 3: Phương trình: 
 fx() gx () 
Ví dụ 2. Giải các phương trình: 
 ax. 5 3 x 1 b. 5 x 2 x 21 
 Giải 
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau: 
Cách 1: Ta có: 
 x 5 khi x 5
 x 5 . 
 x5 khix 5
Xét hai trường hợp: aAx. 3 2 5 x trong hai trường hợp x 0 và x 0 . 
 bB. 4 x 2 x 12 trong hai trường hợp x 0 và x 0 . 
 cCx. 4 2 x 12 khi x 5. 
 dD. 3 x 2 x 5 
 Giải 
a. Ta có: 
 5x khi x 0 
 5x 
 5x khi x 0
Do đó: 
 325x xkhix 08 x 2 khix 0
 A 
 325x xkhix 0 22 x khix 0
b. Ta có: 
 4x khi x 0 
 4x 
 4x khi x 0
Do đó: 
 4x 2 x 12 khi x 0 6 x 12 khi x 0
 B 
 4x 2 x 12 khix 0 2 x 12 khix 0
c. Ta có: 
 x 4 x 4 khix 5 
Do đó: 
 Cx 4 2 x 12 x 8 
d. Ta có: 
 x 5 khi x 5 
 x 5 
 x5 khix 5
Do đó: 
 32x x 5 khi x 547 x khi x 5
 D 
 3x 2 x 5 khix 5 2 x 3 khix 5
Ví dụ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức: 
 a. A x 2 3 x 2 khi x 2 
 b. B x 3 3 2 x x 8 khi x 3 
 Giải 
a. Với giả thiết x 2 , ta suy ra: 
 x 2 0 xx 2 2 
Do đó, A được viết lại: 2x 3 1 2 x 1 3 x 2
 2x 3 1 . 
 2x 3 1 2 x 1 3 x 1
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 2 và x 1. 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
 x 2
 1. 
 x 2
 Giải 
Điều kiện xác định của phương trình là x 2 . 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: 
Cách 1: Biến đổi tương đương phương trình: 
 x 2
 1
 x 2 x 2 x 2 x 2
 1 x 0 
 x 2 x 2 xx 2 ( 2)
 1 
 x 2
Vậy, phương trình có nghiệm x 0 . 
Cách 2: Biến đổi tương đương phương trình: 
 x 2 x 2 x 2
 1xx 2 2 x 0 
 x 2 x 2 ( x 2)
Vậy, phương trình có nghiệm x 0 . 
Dạng toán 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 
 fx() gx () 
Phương pháp 
Thực hiện theo các bước: 
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần). 
Bước 2: Khi đó: 
 fx() gx ()
 fx() gx () => nghiệm x. 
 fx() gx ()
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình. 
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 
 x2 x 2
 ax. 2 3 x 3 b. x 0 
 x 1
 Giải 
a. Biến đổi tương đương phương trình: 
 2xx 3 3 2 xx 3 3 x 6
 2x 3 x 3 
 2x 3 ( x 3) 2 xx 3 3 x 0
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 6 và x 0 . fx() gx ()
 fx() gx () => nghiệm x. 
 fx() gx ()
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình. 
Ví dụ 1. Giải phương trình: x 4 3 x 5 
 Giải 
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: 
Cách 1: Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu x 4 0 x 4 . (1) 
Khi đó, phương trình có dạng: 
 1
 x 4 3 x 5 4 x 1 x , thỏa mãn điều kiện (1). 
 4
Trường hợp 2: Nếu x 4 0 x 4 (2) 
Khi đó, phương trình có dạng: 
 9
 (x 4) 3 x 5 2 x 9 x , không thỏa mãn (2) 
 2
 1
Vậy, phương trình có nghiệm x . 
 4
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: 
 x 4 5 3 x . 
Với điều kiện: 
 5
 5 3x 0 x . 
 3
Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 1
 x 
 x 4 5 3 x 4
 x 4 5 3 x 
 x 4 (5 3 x ) 9
 x lo¹i 
 2
 1
Vậy, phương trình có nghiệm x . 
 4
Chú ý: Qua ví dụ trên, chúng ta thấy rằng “Cả hai cách giải được trình bày đều có độ phức tạp như 
 nhau”. Chính vì vậy, tại đây đặt ra một câu hỏi “Trong trường hợp nào cách 1 tỏ ra hiệu quả 
 hơn cách 2 và ngược lại?” – Câu trả lời chúng ta sẽ nhận được trong ví dụ 3. 
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 
 a. 2 x x 6 b. 4 x 2 x 12 
 c. 3 xx 8 dx. 5 16 3 x 
 Giải 3x khi x 0
 3x 
 3x khi x 0
 Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình có dạng: 
 3xx 8 2 x 8 x 4 , không thỏa mãn điều kiện. 
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình có dạng: 
 3xx 8 4 x 8 x 2 , không thỏa mãn điều kiện. 
 Vậy, phương trình vô nghiệm. 
Cách 2: Với điều kiện: 
 x 8 0 x 8 (*) 
 Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 3xx 8 2 x 8 x 4
 , không thỏa mãn (*). 
 3xx ( 8) 4 x 8 x 2
 Vậy, phương trình vô nghiệm. 
d. Viết lại phương trình dưới dạng: 
 5x 3 x 16 
 Ta có thể trình bày theo các cách sau: 
Cách 1: Ta có: 
 5x khi x 0
 5x 
 5x khi x 0
 Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu x 0 phương trình có dạng: 
 5xx 3 16 2 x 16 x 8, thỏa mãn điều kiện. 
Trường hợp 2: Nếu x 0 phương trình có dạng: 
 5xx 3 16 8 x 16 x 2 , thỏa mãn điều kiện. 
 Vậy, phương có hai nghiệm x 8 và x 2. 
Cách 2: Với điều kiện: 
 16
 3x 16 0 x (*) 
 3
 Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 5xx 3 16 2 x 16 x 8
 , thỏa mãn (*). 
 5xx (3 16) 8 x 16 x 2
 Vậy, phương có hai nghiệm x 8 và x 2. 
Ví dụ 3. Giải các phươn g trình sau: 
 ax. 7 2 x 3 bx. 4 2 x 5 Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 x 9 
 xx 4 2 5 x 9 
 1 
 x 4 (2 x 5) 3 x 1 x (lo¹i) 
 3
 Vậy, phương có nghiệm x 9 . 
c. Ta có thể trình bày theo các cách sau: 
Cách 1: Ta có: 
 x 3 khix 3
 x 3 
 x3 khix 3
 Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu x 3 phương trình có dạng: 
 x 3 3 x 1 2 x 4 x 2 , thỏa mãn điều kiện. 
Trường hợp 2: Nếu x 3 phương trình có dạng: 
 1
 xx3 3 1 4 x 2 x , không thỏa mãn điều kiện. 
 2
 Vậy, phương có nghiệm x 2 . 
Cách 2: Với điều kiện: 
 1
 3x 1 0 x (*) 
 3
 Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 x 2 
 xx 3 3 1 2 x 4 
 1 
 x 3 (3 x 1) 4 x 2 x (lo¹i) 
 2
 Vậy, phương có nghiệm x 2 . 
d. Viết lại phương trình dưới dạng: 
 x 4 5 3 x . 
 Ta có thể trình bày theo các cách sau: 
Cách 1: Ta có: 
 x 4 khi x 4
 x 4 
 x4 khi x 4
 Xét hai trường hợp: 
Trường hợp 1: Nếu x 4 phương trình có dạng: 
 9
 x 4 5 3 xx 4 9 x , không thỏa mãn điều kiện. 
 4
Trường hợp 2: Nếu x 4 phương trình có dạng: 
 1
 x4 5 3 xx 2 1 x , thỏa mãn điều kiện. 
 2 1. Trong câu a), chúng ta đã lựa chọn cách 1 để thực hiện là bởi nếu sử dụng cách 2 chúng ta sẽ gặp một 
bất lợi khi phải giải bất phương trình x2 x 0 . Tuy nhiên, cũng có thể khắc phục được vấn đề này 
bằng việc “Không đi giải điều kiện mà cứ tiếp tục thực hiện sau đó thử lại”, cụ thể: 
Với điều kiện: 
 x2 x 0 (*) 
Khi đó, phương trình được biến đổi: 
 x 1 xx2 
 2
 x 1 xx x2 1 x 1 x 1
 2 2 2 x 1
 x 1 xx x 2 x 1 0 (x 1) 0 
Thử lại: 
 . Với x 1 ta được x2 x 1 2 1 2 0 luôn đúng. 
 . Với x 1 ta được x2 x ( 1) 2 1 0 0 luôn đúng. 
Vậy, phương trình có hai nghiệm x 1. 
2. Trong câu b), chúng ta đã lựa chọn cách 2 để thực hiện bởi nếu sử dụng cách 1 chúng ta sẽ gặp một 
 bất lợi khi phải giải bất phương trình x2 2 x 0 và x2 2 x 0 . Tuy nhiên, cũng có thể khắc phục 
 được vấn đề này bằng việc “Không đi giải điều kiện mà cứ tiếp tục thực hiện sau đó thử lại” – Đề 
 nghị bạn đọc tự làm. 
3. Một câu hỏi sẽ được đặt ra tại đây là ‘Với một phương trình có dạng đặc biệt hơn một chút (thí dụ: 
 2x 1 x2 2 x 2 ) thì ngoài việc lựa chọn một trong hai cách giải thì còn có một phương pháp 
 giải khác không?” – Câu trả lời “Đương nhiên sẽ có”. 
Chú ý: Tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng một ví dụ để minh họa phương pháp giải phương trình chứa nhiều 
 hơn 1 dấu giá trị tuyệt đối. 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
 x 1 x 3 2 
 Giải 
Nhận xét rằng: 
 x 1 0 x 1, 
 x 3 0 x 3 , 
Do đó, để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối cho phương trình chúng ta cần phải xét ba trường hợp. 
Trường hợp 1: Nếu x 1 (1) 
 Khi đó, phương trình có dạng: 
 (xx 1) ( 3) 2 2 x 4 2 
 x 1, thỏa mãn điều kiện (1). 
Trường hợp 2: Nếu 1 x 3 (2)