Chuyên đề Phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 8

 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC 
I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các 
mẫu thức của phương trình khác 0). Viết tắt: ĐKXĐ. 
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. 
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. 
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định 
chính là nghiệm của phương trình đã cho. 
 A x 0 x x x x
 Chú ý. Nếu tại 1 hoặc 2 thì 
A x 0 x x x x
 khi 1 và 2 
II.BÀI TẬP MINH HỌA 
A.DẠNG BÀI CƠ BẢN 
Phương Pháp 
Vận dụng phương pháp giải phưng trình chứa ẩn ở mẫu, đưa về phương trình bậc nhất đã biết 
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 
 3x 2 6 x 1
a. ; 
 x 7 2 x 3
 x 1 x 1 4
b. . 
 x 1 x 1 x 2 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 
 6 2 18
a. 1 ; 
 x 5 x 8 x 5 8 x 
 3 1 9
b. ; 
 x 1 x 2 x 1 x 2 
 x2 x x 27 x 2 3 x
c. . 
 x 3 x 3 9 x 2
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 
 1 3 5
a. ; 
 2x 3 x 2 x 3 x
 3 2 1
b. . 
 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 
 1 1 2
a. 2 2 x 1 ; 
 x x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 
 6 2 18
a. 1 ; 
 x 5 x 8 x 5 8 x 
 3 1 9
b. ; 
 x 1 x 2 x 1 x 2 
 x2 x x 27 x 2 3 x
c. . 
 x 3 x 3 9 x 2
Lời giải 
a. ĐKXD của phương trình là x 5, x 8 . 
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x 5 x 8 . 
Với điều kiện đó phương trình trở thành 
6 x 8 2 x 5 18 x 5 x 8 0 . 
Phương trình tương đướng với x x 5 0 . 
Phương trình cuối có hai nghiệm x 0 và x 5 . 
So với điều kiện thì giá trị x 5 bị loại. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 0 . 
b. ĐKXĐ của phương trình là x 1, x 2 . 
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x 1 x 2 . 
Với điều kiện đó phương trình trở thành 3 x 2 x 1 9, hay 2x 16 . 
Phương trình này có ngiệm x 8 , giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của 
phương trình đã cho. 
c. ĐKXĐ của phương trình là x 3 . 
Mẫu số chung ở hai vế của phương trình là x 3 x 3 x 2 9 . 
Với điều kiện đó phương trình trở thành 
 x2 x x 3 x 2 x 3 7 x 2 3 x 0 . 
Biến đổi phương trình trở thành 0 0 . 
Phương trình này nghiệm đúng với mọi giá trị x thỏa mãn điều kiện nên nghiệm của 
phương trình đã cho là mọi x 3 . 
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: 
 1 3 5
a. ; 
 2x 3 x 2 x 3 x
 3 2 1
b. . 
 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 
Lời giải 
 3
a. ĐKXĐ của phương trình là x 0, x . 
 2 Với điều kiện đó, MSC là x3 1 x 1 x 2 x 1 . Quy đồng mẫu số, ta có 
 1 3x2 2 x
x 1 x3 1 x 2 x 1
 x2 x 1 3 x 2 2x x 1 
 x 1 x2 x 1 x 1 x 2 x 1 
 4x2 3 x 1 0 4 x 1 x 1 0 
 1
 x 1; x . 
 4
 1
So với ĐKXĐ giá trị x 1 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x . 
 4
 13 1 6
b. . 
 x 3 2 x 7 2x 7 x 3 x 3 
 2
ĐKXĐ của phương trình là x 3; x . Với điều kiện này, ta có 
 7
 13 1 6
 x 3 2 x 7 2x 7 x 3 x 3 
 13 x 3 x 3 x 3 6 2 x 7 
 x 3 2 x 7 x 3 x 3 2 x 7 x 3 
 13x 39 x2 9 12 x 42 
 x2 x 12 0 x 3 x 4 0 
 x 3; x 4 . 
So với ĐKXĐ giá trị x 3 bị loại, vậy phương trình đã cho có nghiệm x 4 . 
Ví dụ 6. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2 . 
 3x 1 x 3
a.A ; 
 3x 1 x 3
 10 3x 1 7 x 2
b.B . 
 3 4x 12 6 x 18
Lời giải 
 1
a. Ta thấy ĐKXĐ của biểu thức A là x 3, x . 
 3
Với điều kiện đó, ta biến đổi biểu thức A trở thành: 
 3x 1 x 3 x 3 3 x 1 
A 
 3x 1 x 3 
 3x2 8 x 3 3 x 2 8 x 3
 3x 1 x 3 
 6x 2 6
 . 
 3x 1 x 3 
Để biểu thức có giá trị bằng 2, ta có: 1 1 5aa 3 x x
Ví dụ 4. Cho phương trình x với a là hằng số. 
 2 2 
 x a x a 4 x a x a
a) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình 
 3 2 29
 2 ; 
xx 5 5 25 x
b) Giải phương trình với a = 6. 
Ví dụ 5. Giải phương trình 
 3 2
 3 x3 x
a. x 3 2 0 
 x 1 x 1
 1 1 1 1 1
b. 2 2 2 2 
 x 5x 6 x 7 x 12 x 9 x 20x 11 x 3 0 8
 HƯỚNG DẪN DẠNG BÀI NÂNG CAO 
 2 2
 xx 6 x 5 xx 6 x 4
Ví dụ1. Cho A x và B x 
 2 3 2
 xx 2 x 2 3x 6 x 6 x
c) Tìm x để giá trị của hai biểu thức A(x) và B(x) bằng nhau; 
 A x 
d) Tìm x để 5 
 B x 
Lời giải 
 2 2
 xx 6 x 5 xx 6 x 4 
a) Để A(x) = B(x) thì 2 2 
 xxx 2 2 3 xxx 2 2 
 2 3 2 2
ĐKXĐ: xx 2 x 2 0 và 3x 6 x 2 x 0 hay 3xx 2 x 2 0 
 2 2
Do xxx 2 2 1 1 0,  x nên ĐKXĐ là x 0 . 
 2 2
Từ phương trình trên suy ra: 3 x x 6 x 5 x x 6 x 4 
 2 2
 xx 6 3 x 15 xxx 6 4 0 
 2
 xx 6 3 x 15 x 4 0 
 x 3 0 x 3
 x 3x 2 2x 11 0 xx 2 0 2 
 2x 11 0 x 5,5
Cả ba giá trị này đều thỏa mãn ĐKXĐ Lời giải 
xm 2 x 5 xm 2 x 5
 1 1 2 
 x 5 2mx x 5x 2 m
 x 10 x 5
a) --------------------------------Khi m = 5 ta có: 2 1 
 x 5 x 10
Với ĐKXĐ x 5 và x 10 thì 
 22 2
từ 1 xx 1 00 25 2x 3 0 x 100 
 30x 225 x 7,5 (thỏa mãn ĐKXĐ) 
 10 2m 15
b) Nếu x 10 ta có ( 2 2 
 5 10 2m
 2
Với ĐKXĐ m 5 2 100 4m 75 100 2 0 m 
 2
 4m 2 0 m 75 0 
 2m 15 0 m 7,5
 2m15 2 m 5 0 
 2m 5 0 m 2,5
c) Điều kiện của nghiệm nếu có là x 5 và x 2 m 
 x 2 m x 5
Biến đổi phương trình 2 thành 
 x 5 x 2 m
 xmx 2 2m x 5 x 5 2 x 5 x 2m 
 2 2 2 2
 x 4mx 25 2 xmx 4x 10 2 0 m 
 2 2
 4mx 10xmm 4 20 25 2 xm 2 5 2 m 5 * 
 2m 5
Nếu m 2,5 thì x . Giá trị này là nghiệm của phương trình nếu 
 2
2m 5
 2mm 2 5 4 mm 2,5 
 2 
 2m 5
và 5 2m 510 m 2 , 5 
 2 
 Nếu m 2,5 thì (*) có dạng 0x 0 . Phương trình nghiệm đúng x 5 
 2m 5
Kết luận: Nếu m 2,5 phương trình có nghiệm duy nhất là x 
 2
Nếu m 2,5 phương trình vô nghiệm; 
Nếu m 2,5 phương trình nghiệm đúng x 5 Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 5. 
 1 1 5aa 3 x x
Ví dụ 4. Cho phương trình x với a là hằng số. 
 2 2 
 x a x a 4 x a x a
c) Tìm a để phương trình trên có nghiệm là nghiệm của phương trình 
 3 2 29
 2 ; 
xx 5 5 25 x
d) Giải phương trình với a = 6. 
Lời giải 
a.ĐKXĐ: x a 
Với ĐKXĐ trên ta biến đổi phương trình thành: 
 2
 x2 x 5 a 15 ax
 2 2 . Quy đồng và khử mẫu được phương trình 
x a x a 4 x a 
 2
4x x a 8 x x a 5 a 15 ax 
 2 22 2
 12x 11 ax 5 a 0 12x 4 ax 15 ax 5 a 0 3x a 4 x 5 a 0 
 3 2 29
Giải phương trình 2 với x 5 ta có nghiệm x 4 
 xx 5 5 25 x
 a 1,2
Với x 4 ta có: 12a 16 5 a 0 
 a 3,2
 x 2
b.Khi a 6 thì 3x6 4 x 3 0 0 thỏa mãn ĐKXĐ. 
 x 7,5
Ví dụ 5. Giải phương trình 
 3 2
 3 x3 x
a. x 3 2 0 
 x 1 x 1
 1 1 1 1 1
b. 2 2 2 2 
 x 5x 6 x 7 x 12 x 9 x 20x 11 x 3 0 8
Lời giải 
 33 3 3 3 3
a.Từ a b a b 3 ab a b a b a b 3ab a b 
Áp dụng để giải phương trình. Ta có ĐKXĐ: x 1 
 x3 x xx3 2
PTx 3 x . x 2 0
 x 1 x 1 xx 1 1