Chuyên đề Phương trình bậc nhất với Sin-Cosin và phương trình lượng giác khác - Toán 11

 PHẦN I: ĐỀ BÀI
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
 Có dạng: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
 Chia hai vế phương trình cho a2 b2 ta được: 
 a b c
 (1) sin x cos x 
 a2 b2 a2 b2 a2 b2
 a b
 Đặt: sin , cos 0, 2 
 a2 b2 a2 b2
 c
 phương trình trở thành: sin .sin x cos .cos x 
 a2 b2
 c
 cos(x ) cos  (2)
 a2 b2
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
 c
 1 a2 b2 c2.
 a2 b2
 (2) x  k2 (k Z)
Lưu ý: 
 1 3 
 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x )
 2 2 3
 3 1 
 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x )
 2 2 6
 1 1 
 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) .
 2 2 4
Cách 2: 
 x 
a) Xét x k2 k có là nghiệm hay không?
 2 2
 x
b) Xét x k2 cos 0.
 2
 x 2t 1 t2
 Đặt: t tan , thay sin x , cos x , ta được phương trình bậc hai theo t: 
 2 1 t2 1 t2
 (b c)t2 2at c b 0 (3)
 Vì x k2 b c 0, nên (3) có nghiệm khi: 
 ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2.
 x
 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan t .
 2 0
 Ghi chú: 
 1) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
 Trang 1 C. 2 sin x cos x 1. D. 3 sin x cos x 2 .
Câu 12: Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm:
 1 1
 A. 3 sin x 2. B. cos 4x .
 4 2
 C. 2sin x 3cos x 1. D. cot2 x cot x 5 0 .
Câu 13: Phương trình nào dưới đây vô nghiệm? 
 A. cos3x 3 sin 3x 2. B. cos3x 3 sin 3x 2 .
 C. sin x . D. 3sin x 4cos x 5 0 .
 3 3 3 
Câu 14: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là:
 A. x k2 ; x k2 . B. x k ; x k2 .
 2 2
 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k .
 6 4
Câu 15: Nghiệm của phương trình cos x sin x 1 là:
 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 .
 2 2
 C. x k ; x k2 . D. x k ; x k .
 3 6
Câu 16: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là:
 5 3 
 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 .
 12 12 4 4
 2 5 
 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 .
 3 3 4 4
Câu 17: Nghiệm của phương trình sin x – 3 cos x 0 là:
 A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k .
 6 3 6 3
Câu 18: Phương trình lượng giác: cos x 3 sin x 0 có nghiệm là
 A. x k . B. Vô nghiệm. C. x k . D. x k .
 6 6 2
Câu 19: Số nghiệm của phương trình sin x cos x 1 trên khoảng 0; là
 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3 .
Câu 20: Nghiệm của phương trình: sin x cos x 1 là :
 x k2 x k2 
 4
 A. x k2 . B. . C. x k2 . D. .
 x k2 4 
 2 x k2 
 4
Câu 21: Nghiệm của phương trình sin x 3 cos x 2 là:
 5 5 
 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k2 .
 6 6 6 6
Câu 22: Phương trình 3 1 sin x 3 1 cos x 3 1 0 có các nghiệm là
 Trang 3 m 4
 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. .
 m 4
Câu 31: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x cos x m có nghiệm:
 A. 2 m 2 . B. m 2 . C. 1 m 1. D. m 2 .
Câu 32: Cho phương trình: m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 . Để phương trình có nghiệm thì giá trị 
thích hợp của tham số m là
 1 1 1 1
 A. 1 m 1. B. m . C. m . D. | m | 1.
 2 2 4 4
 m
Câu 33: Tìm m để pt sin 2x cos2 x có nghiệm là
 2
 A. 1 3 m 1 3 . B. 1 2 m 1 2 .
 C. 1 5 m 1 5 . D. 0 m 2 .
Câu 34: Điều kiện có nghiệm của pt asin 5x bcos5x c là
 A. a2 b2 c2 . B. a2 b2 c2 . C. a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 .
Câu 35: Điều kiện để phương trình msin x 8cos x 10 vô nghiệm là
 m 6
 A. m 6 . B. . C. m 6 . D. 6 m 6 .
 m 6
Câu 36: Điều kiện để phương trình 12sin x mcos x 13 có nghiệm là
 m 5
 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 .
 m 5
Câu 37: Tìm điều kiện để phương trình msin x 12cos x 13 vô nghiệm.
 m 5
 A. m 5 . B. . C. m 5 . D. 5 m 5 .
 m 5
Câu 38: Tìm điều kiện để phương trình 6sin x mcos x 10 vô nghiệm.
 m 8
 A. . B. m 8 . C. m 8 . D. 8 m 8 .
 m 8
Câu 39: Tìm m để phương trình 5cos x msin x m 1 có nghiệm
 A. m 13 . B. m 12 . C. m 24 . D. m 24 .
Câu 40: Tìm điều kiện của m để phương trình 3sin x mcos x 5 vô nghiệm.
 m 4
 A. . B. m 4 . C. m 4 . D. 4 m 4 .
 m 4
Câu 41: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là
 m 4
 A. m 4 . B. 4 m 4 . C. m 34 . D. .
 m 4
Câu 42: Tìm m để phương trình 2sinx mcosx 1 m (1) có nghiệm x ; .
 2 2 
 A. 3 m 1 B. 2 m 6 C. 1 m 3 D. 1 m 3 
Câu 43: Tìm m để phương trình msinx 5cosx m 1 có nghiệm.
 A. m 12 B. m 6 C. m 24 D. m 3 
Câu 44: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x 5 có nghiệm là :
 m 4
 A. . B. m 4 . C. m 34 . D. 4 m 4 .
 m 4
 Trang 5 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COSIN
 2
Câu 1: Giải phương trình 5sin 2x 6cos x 13 .
 A. Vô nghiệm. B. x k , k ¢ . 
 C. x k2 , k ¢ . D. x k2 , k ¢ .
Câu 2: Phương trình sin x cos x 2 sin 5x có nghiệm là
 x k x k
 4 2 12 2
 A. ,k ¢ . B. ,k ¢ .
 x k x k
 6 3 24 3
 x k x k
 16 2 18 2
 C. ,k ¢ . D. ,k ¢ .
 x k x k
 8 3 9 3
Câu 3: Phương trình 2sin2 x 3 sin 2x 3 có nghiệm là
 2 4 
 A. x k ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k ,k ¢ . D. 
 3 3 3
 5 
x k ,k ¢ .
 3
Câu 4: Phương trình sin8x cos6x 3 sin 6x cos8x có các họ nghiệm là:
 x k x k x k x k 
 4 3 5 8
 A. . B. . C. . D. .
 x k x k x k x k
 12 7 6 2 7 2 9 3
Câu 5: Phương trình: 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin3 3x có các nghiệm là:
 2 2 2 
 x k x k x k
 6 9 9 9 12 9
 A. . B. . C. . D. 
 7 2 7 2 7 2 
 x k x k x k
 6 9 9 9 12 9
  
 x k
 54 9 3 1
 .Câu 6: Phương trình 8cos x có nghiệm là:
 2 sin x cos x
 x k
 18 9
 x k x k x k x k
 16 2 12 2 8 2 9 2
 A. . B. . C. . D. .
 4 2 
 x k x k x k x k 
 3 3 6 3
Câu 7: Phương trình sin 4x cos7x 3(sin 7x cos4x) 0 có nghiệm là
 Trang 7