Chuyên đề Phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức - Đại số 12

 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC-CÓ GIẢI CHI TIẾT 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn zw2 được gọi là một căn 
 bậc hai của .. 
 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực 
 Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a , b , c ; a 0 . Xét b2 4 ac , ta có 
 b
 0:phương trình có nghiệm thực x . 
 2a
 b 
 0: phương trình có hai nghiệm thực được x|c định bởi công thức: x . 
 1,2 2a
 bi || 
 0 : phương trình có hai nghiệm phức được x|c định bởi công thức: x . 
 1,2 2a
  Chú ý. 
 nn 1
  Mọi phương trình bậc n : Ao z A11 z ... A n z A n 0 luôn có n nghiệm phức (không 
 nhất thiết phân biệt). 
  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai 
 2
 ax bx c 00 a có hai nghiệm phân biệt xx12, (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–
 b
 S x x 
 12 a
 ét 
 c
 P x. x
 12 a
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 
 Tìm căn bậc hai của một số phức 
 Trường hợp là số thực: Nếu a là một số thực 
 + a 0, có c|c căn bậc hai là ia||. 
 + a 0 , a có đúng một căn bậc hai là 0. 
 + a 0 , a có hai căn bậc hai là a . 
 Trường hợp w a bi a, b , b 0 
 Gọi z x yi x, y là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi zw2 , tức là 
 22
 2 22 x y a
 x yi a bi x y 2 xyi a bi 
 2xy b
 Mỗi cặp số thực xy; nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x yi của số 
 phức w a bi . 
 23i . 
 Chọn đ|p |n A 
Câu 3. Cho zi 1 . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z : 
 4 4 77 
 A. 2 cos i sin và 2 cos i sin 
 88 88
 B. 2 cos i sin
 44 
 C. 2 cos i sin 
 44
 4 4 
 D. 2 cos i sin và 2 cos i sin
 88 88 
 Hướng dẫn giải: 
 Ta có z 1 i 2 cos i sin có c|c căn bậc hai là: 
 44 
 44 77 
 w12 2 cos i sin ; w 2 cos i sin 
 8 8 8 8 
 Ta chọn đ|p |n A. 
 Sử dụng máy tính casio 
 w21pqbq23= Chuyển về tọa độ cực 
 →căn bậc hai cần tìm là 
 4 
 2 2 cos i sin có nghĩa l{ 
 4.2 8 8
 44 77 
 2 cos( ) ii sin( ) 2 cos sin cũng l{ căn bậc hai cần tìm. 
 8 8 8 8 
Câu 4. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm  4 3ii ; 2 là: 
 A. z2 2 4 i z 11 2 i 0 B. z2 2 4 i z 11 2 i 0
 C. z2 2 4 i z 11 2 i 0 D. z2 2 4 i z 11 2 i 0
 Hướng dẫn giải: 
 Si  24 
 Áp dụng định lý Viet, ta có: . 
 Pi . 11 2
 Do đó , là hai nghiệm của phương trình: z22 Sz P 0 z 2 4 i z 11 2 i 0 
 Ta chọn đ|p |n A. 
 4
 z 1
Câu 7. Gọi z1,,, z 2 z 2 z 4 là các nghiệm phức của phương trình 1. Giá trị của 
 2zi 
 2222
 P z1 1111 z 2 z 3 z 4 là: 
 17 17 9 17i
 A. B. C. D. 
 8 9 17 9
 Hướng dẫn giải: 
 i
 Với mọi z , ta có: 
 2
 zi 1 
 zi 11
 4 1 z 
 z 1 23zi 
 1 
 2zi zi 1 2 4
 iz 
 25zi 
 z 0
 1 ii22 2 4 
 2222 2 
 P z11 z 2 1 z 3 1 z 4 1 1 i 1 1 1 
 9 25
 9 2ii 13 16 425 17
 1 2i . 
 9 25 9.25 9
 Đến bước tính P các em có thể sử dụng máy tính. 
 Ta chọn đ|p |n A. 
 Câu 11. Trong , nghiệm của phương trình zz2 4 5 0 là: 
 zi 2 
 A. zi 2 B. zi 2 C. D. zi 2 
 zi 2 
Câu 12. Trong , nghiệm của phương trình z2 2 z 1 2 i 0 là 
 zi 2 zi 2 zi 2 zi 2
 A. zi1 1 B. 1 C. 1z D. 1
 zi zi zi 2 zi 
 4 2 24 77 2 2 
 2 cos i sin 2 cos i sin
Câu 13. Cho zi 3488. Tìm căn bậc hai c ủa z . 88
 A. 2 i và 2 i B. 2 i và 2 i 
 2 cos i sin
 44
 C. 2 i và 2 i D. 32 i và 32i 
Câu 14. Cho 2 cos. Tìm i sin căn bậc hai dạng lượng giác của : 
 44
 4 4 
 A. 2 cos i sin và2 cos i sin 
 88 88
 B. 
 C. 
 D. và 
Câu 15. Trong , phương trình z22 i z 2 iz 1 0 có nghiệm là: 
 3 3
 C. 12 i ; 2 i ; 4i B. 1 i ; 1 i ; 2i 
 2 2
 21 i 2
 A. , 1 i , i D. 12 i ; 15i ; 3i 
 2 2
Câu 16. Trong , phương trình zz42 6 25 0 có nghiệm là: 
 A. 8; 5i B. 3; 4i C. 5; 2i D. 2 ii ; 2 
 1
Câu 17. Trong , phương trình zi 2 có nghiệm là: 
 z
 A. 13 i B. 52 i C. 12 i D. 25 i 
Câu 18. Trong , phương trình z3 10 có nghiệm là: 
 23 i 13 i 15 i 53 i
 A. 1; B. ; C. ; D. ; 
 2 2 4 4
Câu 19. Trong , phương trình z4 10 có nghiệm là: 
 A 1; 2i B. 2; 2i C. 3; 4i D. 1; i 
Câu 20. Trong , căn bậc hai của 121 là: 
 A. 11i B. 11i C. 11 D. 11i và 11i Câu 34. Tập nghiệm trong của phương trình z32 z z 10 là: 
 A. i;i;1; 1 B. ii; ;1 C. i;1 D. ii; ; 1 
Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là: 
 A. B. 
 C. D. 
Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện z22 || z z ? 
 A. 3 B. 0 C. 1 D. 2 
Câu 37. Phương trình 2 i z2 az b 0 a , b có hai nghiệm là 3 i và 12 i . Khi đó a ? 
 A. 92i B. 15 5i C. 92 i D. 15 5i 
 6
Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn zz2 6 13 0 . Tính z 
 zi 
 A. 17 và 4 B. 17 và 5 C. 17 và 3 D. 17 và 2 
 2
Câu 39. Gọi zz12, là các nghiệm phức của phương trình z 1 3 i z 2 1 i 0 . Khi đó 
 22
 w z1 z 2 3 z 1 z 2 là số phức có môđun l{: 
 A. 2 B. 13 C. 2 13 D. 20 
Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: 4z22 8| z | 3 0 là: 
 A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 
Câu 41. Tìm số phức z để z z z2 . 
 A z 0; z 1 i B. z 0; z 1 i 
 C. z 0; z 1 i ; z 1 i D. z 1 i ; z 1 i 
Câu 42. Với mọi số ảo z, số z22 | z | là: 
 A. Số thực âm B. Số 0 C. Số thực dương D. Số ảo khác 0 
Câu 43. Trong trường số phức phương trình z3 10 có mấy nghiệm? 
 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 
Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 bz  c 40 nh 3ii ;ận số 2ph ức zi 1 làm một 
 nghiz2ệ m là:2 4 i z 11 2 i 0 z2 2 4 i z 11 2 i 0
 2b 2 b 2 b2 2 b 2
 A. z 2 4 i z 11 2 iB. 0 C. z 2 4 i z 11 D. 2 i 0 
 c 2 c 2 c 2 c 2
 2
Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình zz 7 15 0 có hai nghiệm zz12, . Giá trị biểu thức 
 z1 z 2 z 1 z 2 là: 
 A. –7 B. 8 C. 15 D. 22 
Câu 46. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn zi3 18 26