Chuyên đề Phương trình bậc hai và định lí Viet - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 DẠNG III:PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIÉT
I. VÍ DỤ 
Đề bài 1: Cho phương trình x2 – (2m-1)x + m – 1 = 0
 5
 a. Giải phương trình với m 
 3
 b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
 c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
 e. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
 f. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
 g. Tìm m để phương trình có nghiệm dương
 h. Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
 i. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1
 2 2
 j. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 1
 k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình 
 l. Tìm GTNN của x1 x2
 2 2 2 2
 m. Tìm GTLN của x1 1 x2 x2 1 4x1 
 n. Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , chứng minh biểu thức sau không 
 phụ thuộc vào m
 x1 1 x2 1
 B 2 2
 x1x2 x2x1
Giải :
 5
a. Giải phương trình với m 
 3
 5 7 2
Với m ta có phương trình : x2 x 0 3x2 7x 2 0
 3 3 3
 2
 7 4.3.2 49 24 25 0; 5 phương trình có hai nghiệm phân biệt :
 7 5 1 7 5
 x ; x 2
 1 6 3 2 6
 5 1
Vậy với m phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là vµ 2
 3 3
 b. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
 Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
 2 2
 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1
 2 2
Vì 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt với mọi m
 c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 Kết hợp cả ba trường hợp ta có với mọi m thì phương trình đã cho có nghiệm 
dương
 h. Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
 2 2
 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1
 2 2
Vì 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m
 c
Theo định lí Viet ta có x1.x2 = m 1
 a
Phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi x1.x2 = 1 
 m 1 1 m 2
Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của 
nhau.
 i. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 5x2 = -1
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
 2 2
 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1
 2 2
Vì 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m
 x x 2m 1 (1)
 1 2
Theo định lí Viet và đề bài ta có : x1.x2 m 1 (2)
 2x1 5x2 1 (3)
Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tương ứng cho (3) ta được : 
 10m 4
5x1 + 5x2 – 2 x1 – 5x2 = 10m – 5 + 1 3x 10m 4 x (4)
 1 1 3
Thay (4) vào (1) ta có : 
 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m
 x 2m 1 x 2m 1 (5)
 3 2 2 3 3 3
Thay (4) và (5) vào (2) ta được phương trình :
 10m 4 1 4m
 . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m2 4 16m 9m 9
 3 3
 40m2 17m 5 0
 2
 17 4.40. 5 1089 0; 33
 17 33 1 17 33 5
 m ; m 
 1 80 5 2 80 8
 1 5
Vậy với m hoÆc m thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều 
 5 8
kiện đề bài.
 2 2
 j. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn x1 x2 1
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
 2 2
 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1
 2 2
Vì 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m x x 2m 1 (1)
Theo định lí Viet ta có : 1 2
 x .x m 1 (2)
 1 2
 2
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Ta có A x1 1 x2 x2 1 4x1 x1 x2 5x1 x2 x1 x2 2x1x2 5 x1x2 (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta được :
 2 2
 A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m2 4m 1 5m2 10m 5 2m 2 m2 4m 2
 2
 2 m2 4m 4 2 m 2 
 2 2
 Vì m 2 0 víi mäi m A 2 m 2 2 víi mäi m
Dấu bằng xảy ra khi (m – 2)2 = 0 hay m = 2
 2 2 2 2
Vậy GTLN của A x1 1 x2 x2 1 4x1 là 2 khi m = 2
 n. Khi phương trình có hai nghiệm x1 và x2 , 
 x1 1 x2 1
 chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào m : B 2 2
 x1x2 x2x1
Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1
 2 2
 2m 1 4.1. m 1 4m2 4m 1 4m 4 4m2 8m 4 1 2m 2 1
 2 2
Vì 2m 1 0víi mäi m 2m 1 1 1 0víi mäi m nên phương trình luôn 
có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : 
 x1 x2 2m 1 (1)
 x .x m 1 (2)
 1 2
 x2 x2 x x
 x1 1 x2 1 x1 1 .x1 x2 1 .x2 1 2 1 2 
 Ta cã: B 2 2 2 2 2 2
 x1x2 x2x1 x1 x2 x1 x2
 2 2
 x1 x2 x1 x2 2x1x2 2m 1 2m 1 2 m 1 
 2 2 2
 x1 x2 m 1 
 2
 4m2 4m 1 2m 1 2m 2 4m2 8m 4 4 m 1 
 2 2 2 4
 m 1 m 1 m 1 
Vậy biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của m.
Đề bài 2. Cho phương trình (m+1)x2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0
 a. Giải phương trình với m = -5
 b. Tìm m để phương trình có nghiệm
 c. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
 d. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
 e. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 f. *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
 g. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 3x2 = 4
 h. Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà tích của chúng bằng -1
 2 2
 i. Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 .Tính theo m giá trị của A x1 x2
 j. Tìm m để A = 6 1
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 2m 1 0 m 
 2
 1
 Tóm lại phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m vµ m 1
 2
 e. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
 • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một 
 nghiệm duy nhất x = 2
 • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) 
 , c = m+5
Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0
 m 1 0 m 1 (v« nghiÖm)
 m 5 0 m 5
 m 1 m 5 0 5 m 1
 m 1 0 m 1
 m 5 0 m 5
Vậy với -5 < m < -1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu
 Chú ý :
 Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn như sau :
 Để (1) xảy ra thì m + 1 và m + 5 là hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 
 m + 1 <0 m <-1 5 m 1
 5 nên (1) xảy ra khi m + 5 >0 m >-5
 Trường hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng như (1), hãy học thuộc 
 từ “ngoài cùngtrong khác” và dịch như sau : ngoài khoảng hai nghiệm thì 
 vế trái cùng dấu với hệ số a, trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu 
 với hệ số a ( hệ số a là hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, 
 nghiệm ở đây là nghiệm của đa thức vế trái ) 
 Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm là -1 và -5 , dạng khai triển là 
 m2 + 6m + 5 nên hệ số a là 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức là khác dấu với hệ 
 số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức là -5 < m < -1. Còn BPT ( m 
 + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoài khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ 
 số a), tức là m -1
 Một số ví dụ minh họa : 
 m 3 m 7 0 m 7hoÆc m 3; 2m 4 3m 9 0 3 m 2
 2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4 hoÆc m 5
 f. *Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương
 • Với m = -1 phương trình trở thành -2x + 4 = 0 x 2 . P.trình có một 
 nghiệm duy nhất x = 2
 • Với m -1 phương trình là phương trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) 
 , c = m+5
 2
 ' m 2 m 1 m 5 m2 4m 4 m2 6m 5 2m 1
Phương trình có hai nghiệm cùng dương khi