Chuyên đề Phương trình bậc 2 và ứng dụng hệ thức Viet - Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 
VÀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT 
 3 
 tương đương 
 Dạng 12. Ứng dụng của hệ thức vi-et các bài toán số học 44 
 Dạng 13. Ứng dụng của hệ thức vi-et giải phương trình, hệ phương trình 46 
 Dạng 14. Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm 51 
 GTLN và GTNN 
 Dạng 15. Vận dụng định lý vi-et vào các bài toán hàm số 54 
 Dạng 16. Ứng dụng địng lý Vi-ét trong các bài toán hình học 57 
 Bài tập rèn luyện tổng hợp 60 
 Hƣớng dẫn giải 68 
 Bài tập không lời giải 98 
 5 
 2.3 Trường hợp đặc biệt có thể nhẩm nhanh nghiệm: 
 Phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 bx c 00 a 
 c
 - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm xx12 1; .
 a 
 c
 - Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm xx 1; . 
 12a
 B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG 
 1. Giải phƣơng trình bậc hai một ẩn 
 Thí dụ 1. Giải phương trình: mx2 2( m 3) x m 4 0 (m là tham số) (1) 
 a) Giải phương trình với m = 1. 
 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
 c) Tìm m để tập nghiệm của phương trình có một phần tử. 
 Hƣớng dẫn giải 
 a) Với m = 1 ta có: xx2 4 3 0 
 Ta có: ' 22 1. 3 4 3 7 
 2 7 2 7
 Do đó: xx12 2 7 ; 2 7
 11 
 Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm l|: xx12 2 7 ; 2 7 
 b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt l|: 
 am 00 m 0 9
 2 0 m 
 ' 0 m 3 m m 4 0 2m 9 0 2 
 9
 Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt l|: 0 m 
 2
 c) Để phương trình (1) chỉ có một phần tử thì hoặc (1) có nghiệp kép hoặc l| phương trình 
 bậc nhất. 
 2
 Với m = 0 phương trình có dạng: 6xx 4 0 
 3
 Với m ≠ 0 thì (1) l| phương trình bậc 2, có nghiệm kép khi: 
 2 2
 ' 0 m 3 m m 4 0 2 m 9 0 m (thỏa mãn m ≠ 0) 
 9
 2
 Vậy khi m = 0 hoặc m thì tập nghiệm của phương trình (1) có một phần tử. 
 9
 7 
 Do đó phương trình luôn có nghiệm. 
 Nhận xét: 
 - Nếu ac ≤ 0 v| a ≠ 0 thì ≥ 0 chúng ta cũng có thể kết luận được phương trình 
 ax2 bx c 0 có nghiệm nghiệm. 
 - Nếu chỉ mỗi ac ≤ 0 chúng ta chưa thể kết luận được phương trình có nghiệm, chẳng hạn 
 với phương trình m2 x mx 10 có ac = - m2 ≤ 0 nhưng với m = 0 thì phương trình đó có 
 dạng 0x = 1 (vô nghiệm). 
 2. Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phƣơng trình bậc hai 
 Thí dụ 4. Cho phương trình x2 2 mx m 4 0 . Tìm m nguyên để phương trình có hai 
 nghiệm nguyên. 
 (Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) 
 Hƣớng dẫn giải 
 Ta có: ' m22 m 4 m m 4
 Để phương trình có nghiệm nguyên thì ' phải l| số chính phương. 
 Do đó: 
 m22 m 4 k k Z 
 4m22 4 m 16 4 k
 2mk 1 2 42 15 
 2m 1 2 k 2 m 1 2 k 15
 Do k2 luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới gi{ trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0, khi đó 
 ta có: (2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k). 
 Vì thế ta có c{c trường hợp sau: 
 2m 1 2 k 1 m 4
 ) 
 2m 1 2 k 15 k 4
 2m 1 2 k 3 m 1
 ) 
 2m 1 2 k 5 k 2
 2m 1 2 k 5 m 0 
 ) 
 2m 1 2 k 3 k 2
 2m 1 2 k 15 m 3
 ) 
 2m 1 2 k 1 k 4
 9 
 n 3 0 -3 
 Thử lại c{ gi{ trị n = - 3, 0, 3 ta thấy đều thỏa mãi điều kiện phương trình có nghiệm 
 nguyên. 
 Vậy n = - 3, 0, 3 l| c{c gi{ trị cần tìm. 
 Thí dụ 5. Cho phương trình a(a + 3)x2 - 2x - (a + 1)(a + 2) = 0 (a l| tham số, nguyên). 
 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ. 
 b) X{c định a để phương trình có c{c nghiệm đều nguyên. 
 (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) 
 Hƣớng dẫn giải 
 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ: 
 - Với a(a+3) = 0 hay a = 0 hoặc a = -3: 
 Phương trình trở thành: -2x -2 = 0 có nghiệm là x = -1 
 - Với a(a+3) 0 hay a 0 và a -3 thì phương trình cho l| phương trình bậc hai. 
 a( a 3) x2 2 x ( a 1)( a 2) 0
 a2 3 a x 2 2 x 1 a 2 3 a 0
 a2 3 a x 1 x 1 2 x 1 0
 2
 x 1 a 3 a x 1 2 0
 Nên phương trình cho có 2 nghiệm: 
 x1 1
 (aa 1)( 2) 2 
 x 1 
 2 a( a 3) a ( a 3)
 Vì a nguyên nên suy ra phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ. 
 --------------------------- 
 22
 Cách khác: Nếu thí sinh tính ' (a 3 a 1) 0,  a 
 Vì a nguyên nên ' aa2 3 1 là số nguyên 
 Vậy phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ. 
 b) X{c định a để các nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên: 
 - Nếu a = 0 hoặc a = -3: phương trình có 1 nghiệm nguyên x = -1. 
 - Nếu a 0, a -3 phương trình đã cho l| phương trình bậc 2, ta có: 
 11 
 x2 m 4 x m 5 0 1 
 x2 m 2 x m 1 0 2 
 Hƣớng dẫn giải 
 Giả sử x0 l| nghiệm chung của hai phương trình (1) v| (2), khi đó: 
 2
 x00 m 4 x m 5 0 1 
 2
 x00 m 2 x m 1 0 2 
 Trừ theo vế (1) v| (2) ta được: 
 2xx00 4 0 2
 Thay x0 = 2 v|o hệ ta được: m = 1. 
 Thay m = 1 v|o phương trình (1) v| (2) ta được phương trình: 
 xx2 6 7 0 và xx2 4 3 0
 hai phương trình trên có nghiệm chung l| 2. 
 Vậy m = 1 l| gi{ trị cần tìm. 
 Thí dụ 5. Cho hai phương trình: 
 x2 mx 1 0 3 
 x2 x m 04 
 Tìm gi{ trị của m để: 
 a) Hai phương trình có nghiệm chung. 
 b) Hai phương trình tương đương.
 Hƣớng dẫn giải 
 a) Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình (3) v| (4), khi đó: 
 2
 x00 mx 1 0 3 
 2
 x00 x m 04 
 Trừ theo vế (3) v| (4) ta được: 
 x0 1
 mx0 1 x 0 m 0 x 0 1 m 1 0 
 m 1 
 Thay x0 = 1 v|o hệ ta được: m = -2. 
 Thử lại: 
 13 
 3. Chứng minh trong một hệ các phƣơng trình bậc hai có ít nhất một phƣơng trình có 
 nghiệm. 
 Phƣơng pháp: Để chứng minh có ít nhất một phương trình bậc hai trong hệ phương trình 
 bậc hai có nghiệm ta chứng minh tổng c{c biệt thức delta lớn hơn hoặc bằng 0. 
 Thí dụ 5. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng ít nhất một 
 phương trình sau có nghiệm: 
 x2 ax 1 0 1 ;
 x2 bx 1 0 2 ;
 x2 cx 1 0 3 .
 Hƣớng dẫn giải 
 Ba phương trình lần lượt có: 
 2 2 2
 1 a 4, 2 b 4, 3 c 4 
 2 2 2
 Do đó: 1 2 3 abc 12 
 Theo bất đẳng thức AM-GM thì: 
 2 2 2
 1 2 3 abc 12
 abc2 4 2 4 2 4 24
 2 2abc 2 2 2 2 24
 4 abc 24 
 4 abc 24
 4.6 24
 0
 Do đó: 1 2 3 0. tổng 3 biệt số delta của 3 phương trình bằng lớn hơn 0 nên có ít 
 nhất một biệt số delta lớn hơn bằng 0. 
 Vậy trong 3 phương trình có một phương trình có nghiệm. 
 Thí dụ 5. Cho hai phương trình x2 6 ax 2 b 0 và x2 4 bx 3 a 0 với ab, l| c{c số 
 thực. Chứng minh nếu 3ab 2 2 thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có 
 nghiệm. 
 (Chuyên Tây Ninh năm 2019-2020)