Chuyên đề Phương tích và ứng dụng trong Toán 9

PHƯƠNG TÍCH Đnh ngh ĩa 2.1: Đưng th ng MH đưc g i là tr c đng ph ươ ng c a hai đưng tròn. 
Cách d ng tr c đng ph ươ ng: 
Tr ưng h p 1 : (O 1) giao (O 2) t i 2 đim phân bi t A,B. Đưng th ng AB chính là tr c 
đng ph ươ ng c a (O 1) và (O 2) 
Tr ưng h p 2 : (O 1) và (O 2) ch  có m t đim chung X. Ti p tuy n chung t i X c a hai 
đưng tròn là tr c đng ph ươ ng c a (O 1) và (O 2) 
Tr ưng h p 3 : (O 1) và (O 2) không có đim chung, d ng đưng tròn (O 3) có hai đim 
chung v i (O 1) và (O 2). D  dàng v  đưc tr c đng ph ươ ng c a (O 1) và (O 3), (O 2) và 
(O 3). Hai đưng th ng này giao nhau t i M. T  M k  MH ⊥ O1O2. MH chính là tr c đng 
ph ươ ng c a (O 1) và (O 2). 
 4 B.Ví d : 
1. Ch ng minh các h  th c hình h c: 
Ví d  1: 
 Cho tam giác ABC n i ti p (O,R), ngo i ti p (I,r). CMR OI 2=R 2-2Rr ( h th c Ơ-le ) 
Li gi i: 
 Kéo dài BI c t (O) t i M. K  đưng kính MK c a (O). (I) ti p xúc v i BC t i D. 
Ta có △BDI~ △ KCM (.) g g 
 BI ID ID
⇒ = = 
 KM MC MI
⇒ IB.IM=ID.KM=2Rr 
Mà IB.IM=R 2-OI 2 
Vy OI 2=R 2-2Rr ( đpcm) 
Ví d  2: 
Cho t  giác ABCD v a n i ti p (O,R), v a ngo i ti p (I,r). Đt OI=d. CMR: 
 1 1 1
 + = ( Đ nh lý Fuss) 
(Rd− )(2 Rd + ) 2 r 2
Li gi i: 
 6 
D th y B là trung đim AC. 
 2 1
Ta có P A/(C 2)= AE. AF= AB = AB.2 AB= AD . AC 
 2
Suy ra t  giác DCFE n i ti p.Do đ ó M là tâm đưng tròn ngo i ti p t  giác DCFE. Mà M 
 1
nm trên AC nên MD=MC= DC 
 2
 5 3
T đ ó tính đưc AM= AB và MC= AB 
 4 4
 AM 5
⇒ = 
 MC 3
3. Ch ng minh t p h p đi m cùng thu c m t đ ưng tròn: 
Ví d  1 (IMO 2008): 
Cho tam giác ABC, tr c tâm H.M 1,M 2,M 3 ln l ưt là trung đ i m BC,CA,AB. 
(M 1,M 1H) ∩ BC={A1,A 2 }, (M 2,M 2H) ∩ AC={B1,B 2 }, (M 3,M 3H) ∩ AB={C1,C 2 }. CMR 
A1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2 cùng thu c m t đưng tròn. 
Li gi i: 
 8 
 AK DL
T gi  thi t, = suy ra AD,BC,KL đng quy t i E. 
 BK CL
Dng đưng tròn (O 1) đi qua hai đim C,D và ti p xúc v i BC, (O 2) đi qua hai đim AB 
và ti p xúc v i BC. Khi đ ó ∠ DQC = ∠ ABC= ∠ DCE nên Q ∈(O 1), t ươ ng t  P ∈(O 2). 
Gi F là giao đim th  hai c a EQ v i (O 1). Ta có: 
 2
EF. EQ= EC (1) 
Mt khác, d  dàng có ∠ O1CD= ∠ O2BA do đ ó △ AO 2B~ △ DO 1C 
 O C DC EC EO  
⇒ 1 ⇒ 1 ⇒
 = = =k E,O 1,O 2 th ng hàng và = k EO1= k EO 2 
 O2 B AB EB EO 2
Suy ra phép v  t  H (E,k) : (O 1) →(O 2). Mà E,F,P th ng hàng, F ∈(O 1), P ∈(O 2) nên 
  EF EC
EF= k EP⇒ = k = (2) 
 EP EB
T (1),(2) suy ra EP. EQ= EC . EB . 
Vy 4 đim P,Q,B,C cùng thu c m t đung tròn ( đpcm) 
4.Ch ng minh s th ng hàng, đng quy: 
Ví d  1: 
Cho tam giác ABC. Các phân giác ngoài góc A,B,C l n l ưt c t c nh đi di n t i 
A1,B 1,C 1. CMR A 1,B 1,C 1 th ng hàng và n m trên đưng vuông góc v i đưng th ng n i 
tâm đưng tròn n i ti p và tâm đưng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 
Li gi i: 
 10 
 1 1
Ta có ∠ NTS= sdNA + sdAS = sdNM + sdAS =∠ NIM 
 2( ) 2 ( )
⇒
 ∠Ia TS = ∠ I a IS 
Suy ra t  giác I aTIS n i ti p (w1) 
 o
Mt khác, ∠ IBI a= ∠ ICI a=90 nên t  giác IBI aC n i ti p (w2) 
Ta th y II a là tr c đng ph ươ ng c a (w1) và (w2), BC là tr c đng ph ươ ng c a (O) và 
(w2), TS là tr c đng ph ươ ng c a (O) và (w1) 
Theo đnh lý v  tâm đng ph ươ ng thì II a, TS, BC đng quy t i A’. 
Vy T,A’,S th ng hàng ( đpcm) 
Ví d  3(Đ nh lý Brianchon): 
 Cho l c giác ABCDEF ngo i ti p (O). CMR AD,BE,CF đng quy. 
Li gi i: 
 12 
Gi E là giao đim th  hai khác P c a PQ v i đưng tròn ngo i ti p tam giác PAB. CD 
giao PQ t i F. 
Ta có OQ2− R 2 = QAQB. = QP . QE , mà P,Q c  đnh nên QP =const, suy ra QE =const, 
do đ ó E c  đnh. 
Mt khác ∠PDC =∠ PBA =∠ PEA nên t  giác DAEF n i ti p. 
Suy ra PO2− R 2 = PD. PA = PE . PF . Do P,E c  đnh nên PE =const, suy ra PF =const 
Do đ ó F c  đnh. 
Vy CD luôn đi qua đim F c  đnh ( đpcm) 
Ví d  2 (Vi t Nam 2003): 
Cho (O 1, R1) ti p xúc ngoài v i (O 2,R 2) t i M (R 2>R 1). Xét đim A di đng trên đưng 
tròn sao cho A,O 1,O 2 không th ng hàng.T  A k  ti p tuy n AB,AC t i (O 1).Các đưng 
th ng MB,MC c t l i (O 2) t i E,F.D là giao đim c a EF v i ti p tuy n t i A c a 
(O 2).CMR D di đng trên m t đưng th ng c  đnh. 
Li gi i: 
 14 
Kí hi u (A,0) là đưng tròn tâm A, bán kính b ng 0. 
Do EB 2=EA 2-02=EA 2 và FC 2=FA 2 nên EF là tr c đng ph ươ ng c a (A,0) và (O). 
⇒ DA 2=DP 2=DQ 2 ⇒ D là tâm đưng tròn ngo i ti p tam giác APQ. 
Li có M n m trên tr c đng ph ươ ng c a (A,0) và (O) nên MA 2=MP.MQ 
Suy ra MA là ti p tuy n c a (D,DA). 
Vy ∠DAM = 90 o (đpcm) 
Ví d  2 (Russian 2005): 
Cho tam giác ABC, WB, W C là các đưng tròn bàng ti p đi di n đnh B,C. W’B, W’C l n 
lưt là đ ưng tròn đi x ng v i WB, W C qua trung đim c nh AC, AB. CMR tr c đng 
ph ươ ng c a W’B và W’C chia đ ôi chu vi tam giác ABC. 
Li gi i: 
 16 
Gi G là tr ng tâm tam giác ABC. 
   BD  CD   CE  AE  AF  BF  
Ta có: GD++= GE GF GC + GB  + GA + GC  + GB + GA  
 BC CB  CA AC  AB BA 
 BD AE  CDAF   CE BF      
=+ GC ++  GB ++  GA =GA+ GB + GC = 0 
 BC AC  CB AB  CA BA 
Suy ra hai tam giác ABC và DEF có chung tr ng tâm G. Mà chúng l i chung tr c tâm H 
nên d a vào tính ch t c a đưng th ng Ơ-le: OH=2OG suy ra chúng có chung tâm đưng 
tròn ngo i ti p O. 
Gi (O) là đưng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 
Do OD=OE nên P D/(O)=P E/(O) 
⇒ DB. DC= EC . EA 
 DB EA
⇒ = 
 EC DC
 DB EC EA EC
Mt khác = ⇒ = 
 DC EA DC DB
 DB EC
⇒ = ⇒ DB2= EC 2
 EC DB 
⇒ DB= EC
 DB EC
Mà = ⇒ BC= AC . T ươ ng t  AB=AC suy ra tam giác ABC đu. 
 BC CA
7. Kh o sát v  trí hai đ ưng tròn: 
Ví d  1: 
Ch ng minh r ng n u hai đưng tròn đng nhau thì hai đưng tròn đ ó n m v  m t phía 
vi tr c đng ph ươ ng. N u hai đưng tròn n m ngoài nhau thì chúng n m v  hai phía c a 
tr c đng ph ươ ng. 
 18 C.Bài t p: 
1.Ch ng minh các h  th c hình h c: 
Bài 1: Cho t  giác ABCD n i ti p (O). CD ∩ AB={M}, AD ∩ BC={N}. CMR 
 2
MN =P M/(O)+P N/(O) 
Bài 2(Romani TST 2006): Cho (O) và m t đ i m A n m ngoài (O). T  A k  cát tuy n 
ABC, ADE (B ∈[AC], D ∈[AE]. Qua D k  đưng th ng song song v i AC c t (O) l n th  
 1 1 1
2 t i F. AF c t (O) t i G. EG c t AC t i M. CMR = + 
 AM AB AC
Bài 3:Cho t  giác ABCD n i ti p (O). P n m trên cung CD không ch a A,B. 
 MD. NC
PA,PB ∩ DC l n l ưt t i M,N. CMR = const 
 MN
Bài 4 (Đ  ngh  Olympic 30-4): Cho tam giác ABC n i ti p (O,R). G i G là tr ng tâm 
tam giác. Gi  s  GA,GB,GC c t (O) l n th  hai t i A’,B’,C’. CMR: 
 1 1 1 27
 + + = 
GA'2 GB ' 2 GC ' 2222 a+ b + c
Bài 5:Cho tam giác ABC n i ti p đưng tròn (O). Đưng tròn (O’) ti p xúc v i đưng 
tròn (O) t i m t đim thu c cung BC không ch a A. T  A,B,C theo th  t  k  t i (O’) các 
ti p tuy n AA’,BB’,CC’. CMR: BC.AA’’=CA.BB’’+AB.CC’’ ( đnh lý Ptô-lê-mê m  
rng ) 
Bài 6:Cho tam giác ABC v i di n tích S n i ti p (O,R). Gi s  S 1 là di n tích c a tam 
giác t o b i các chân đưng vuông góc h  xu ng các c nh c a tam giác ABC t  m t 
 1 d 2
đ i m M n m cách O m t kho ng d. CMR S= S 1 − ( H th c Ơ-le ) 
 1 4 R2
2.Tính các đ i l ưng hình h c: 
Bài 7:Cho tam giác đu ABC c nh a n i ti p (O). Đưng tròn (O’,R) ti p xúc v i c nh 
BC và ti p xúc v i cung BC nh . Tính AO’ theo a và R 
Bài 8 (All-Russian MO 2008 ): Cho tam giác ABC n i ti p (O,R), ngo i ti p (I,r). (I) ti p 
xúc v i AB,AC l n l ưt t i X,Y. G i K là đim chính gi a cung AB không ch a C. Gi  
s XY chia đ ôi đon AK. Tính ∠ BAC? 
Bài 9 (All-Russian MO 2007): Hai đưng tròn (O 1) và (O 2) giao nhau t i A và B. PQ, RS 
là 2 ti p tuy n chung c a 2 đưng tròn (P,R ∈(O 1), Q,S ∈(O 2)). Gi  s  RB//PQ, RB c t 
 RB
(O 2) l n n a t i W. Tính ? 
 BW
3.Ch ng minh t p h p đi m cùng thu c m t đ ưng tròn: 
Bài 10: Cho t  giác ABCD n i ti p (O) (AB ≠ CD). D ng hai hình thoi AEDF và BMCN 
có c nh b ng nhau. CMR 4 đim E,F,M,N cùng thu c m t đưng tròn. 
Bài 11 (IMO Shortlist 1995): Cho tam giác ABC v i (I) là đưng tròn n i ti p. (I) ti p 
xúc v i 3 c nh BC,CA,AB l n l ưt t i D,E,F.X là m t đim n m trong tam giác ABC sao 
cho đưg tròn n i tip tam giác XBC ti p xúc v i XB,XC,BC l n l ưt t i Z,Y,D.CMR t  
giác EFZY n i ti p. 
 20