Chuyên đề Phương tích, trục đẳng phương 4 - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX
 CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG
 Nguyễn Quỳnh, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
 Đào Văn Lương, Chuyên Lào Cai
 Hoàng Thông, Chuyên Lê Quý Đôn, Điện Biên
 HÒA BÌNH, THÁNG 8 NĂM 2013 PHẦN A: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn
1.1 Bài toán
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi qua M cắt 
đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó MA.MB MO2 R2 d 2 R2.
Chứng minh
 A
 B
 M
 O
 C
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB  AM hay B là hình chiếu của C trên AM. 
         
Khi đó ta có MA.MB MA.MB MC.MA MO OC MO OA 
      2  2
 MO OA MO OA MO OA
 OM 2 OA2 d 2 R2.
1.2 Định nghĩa 
Đại lượng không đổi MA.MB d 2 R2 trong Bài toán 1.1 được gọi là phương tích của 
điểm M đối với đường tròn (O), kí hiệu PM/(O). Ta có:
 2 2
 PM / O MA.MB d R .
1.3 Tính chất
1.3.1 Tính chất 1
Điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0.
Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0.
Điểm M nằm bên trong đường tròn (O) khi và chỉ khi PM / O 0.
 Trang 2 M
 I O
 O1 2
 H
 2 2
 2 2 R1 R2
 O2O1.2HI R1 R2 IH .
 2O1O2
Do H cố định, suy ra tập hợp các điểm M có cùng phương tích đối với hai đường tròn là 
đường thẳng qua H và vuông góc với O1O2. 
2.2 Tính chất
Cho hai đường tròn (O1) và (O2). Từ định lý 2.1 ta có các tính chất sau:
2.2.1 Tính chất 1
Trục đẳng phương của hai đường tròn vuông góc với đường thẳng nối tâm. 
2.2.2 Tính chất 2
Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
2.2.3 Tính chất 3
Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O 1) và (O2) thì đường thẳng qua M vuông góc 
với O1O2 là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.4 Tính chất 4
Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN chính 
là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2.5 Tính chất 5 
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
2.2.6 Tính chất 6
Nếu (O1) và (O2) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với O1O2 chính 
là trục đẳng phương của hai đường tròn.
2.2 Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm
 Trang 4 d12
 O1
 O2
 M
 d23
 d13
 O3
Từ đây suy ra nếu có hai đường thẳng trùng nhau thì đó cũng là trục đẳng phương của cặp 
đường tròn còn lại. 
Nếu hai trục đẳng phương chỉ cắt nhau tại một điểm thì điểm đó cũng thuộc trục đẳng 
phương còn lại
3.2 Tính chất 
3.2.1 Tính chất 1:
Nếu 3 đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
3.2.2 Tính chất 2:
Nếu 3 trục đẳng phương song song hoặc trùng nhau thì tâm của 3 đường tròn thẳng hàng.
3.2.3 Tính chất 3:
Nếu 3 đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàng thì các trục đẳng 
phương trùng nhau.
 Trang 6 Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) tại 
M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc một đường 
thẳng cố định. 
Lời giải 
 A
 C
 M
 B
 I
 O
 N
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. AB cắt (I) tại điểm thứ hai C. Ta có
 PA/ I AC.AB AM.AN PA/ O (không đổi vì A, (O) cố định). 
 P
Suy ra AC A/ O 
 AB
Vì A, B cố định và C thuộc AB nên từ hệ thức trên ta có C cố định.
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC cố định. 
 AB.AC
Suy ra AK là hằng số nên điểm K cố đinh. Bài tập được chứng minh
 AI
Bài tập 1.3
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O). Từ 
điểm E chính giữa cung lớn AB kẻ đường kính EF cắt dây AB tại D. Tia CE cắt (O) tại 
điểm I. Cho A, B, C cố định, chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi 
qua A, B thì đường FI luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
 Trang 8 2. CÁC BÀI TẬP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
Bài tập 2.1
 (IMO 2013 Problem 4)
Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Cho W là một điểm tùy ý trên cạnh BC, khác với 
các điểm B và C. Các điểm M và N tương ứng là chân các đường cao hạ từ B và C. Kí 
hiệu 1 là đường tròn ngoại tiếp tam giác BWN, và gọi X là điểm trên 1 sao cho WX là 
đường kính của 1 . Tương tự, kí hiệu 2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác CWM, và gọi 
Y là điểm trên 2 sao cho WY là đường kính của 2 . Chứng minh rằng các điểm X,Y và H 
thẳng hàng.
Lời giải
 A
 M
 N Y
 H Z
 X
 O2
 O1
 B C
 P W
 w1
 w2
Gọi P là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC, O1,O2 là tâm các đường tròn 1,2 , 
Z là giao điểm thứ hai của 1 và 2. 
     
Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn đường kính BC nên AN.AB AM.AC hay A thuộc 
trục đẳng phương của 1 và 2. Suy ra A, Z, W cùng nằm trên một đường thẳng vuông 
góc với O1O2 và XY (1)
       
Tứ giác BNHP nội tiếp nên AH.AP AN.AB AZ.AW , từ đó PHZW là tứ giác nội tiếp 
hay HZ vuông góc với ZW (2)
 Trang 10 LB1.LA1 LB2.LA2
Suy ra KL là trục đẳng phương của O1 và O2 
 KL  O1O2
 0
3 điểm A1, B1, P nhìn đoạn O1K dưới góc 90 nên tứ giác A1B1PK nội tiếp, tương tự tứ 
giác A2B2PK nội tiếp
Bài tập 2.4
 (IMO 1995)
Trên đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Các đường tròn đường kính 
AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt BC tại Z. Trên đường thẳng XY lấy 
một điểm P không trùng với Z, đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm 
thứ hai M, đường thẳng BP cắt đường tròn đường kính BD tại điểm thứ hai N. Chứng 
minh AM, DN, XY đồng quy.
Lời giải
Gọi J, J ,Z lần lượt là giao của AM, DN, AD với XY
Tứ giác JMCK nội tiếp nên PJ.PK PM.PC
Tương tự PJ .PK PN.PB
Do P nằm trên trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường 
kính BD nên PM.PC PN.PB PJ.PK PJ .PK hay P  P 
Vậy AM, DN, XY đồng quy (đpcm).
Bài tập 2.5
Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H, M là trung điểm BC, EF 
cắt BC tại I, J là trung điểm của MH. Chứng minh IH vuông góc với OJ.
Lời giải
Gọi O, J lần lượt là trung điểm AH, MH.
Ta có EFD 2HFD 2EBM EMC
Suy ra tứ giác FEMD nội tiếp.
 IE.IF IM.ID
Do đó I nằm trên trục đẳng phương của O,OA và J, JH 
 Trang 12 Suy ra A , B ,C cùng thuộc trục đẳng phương của (O) và (I,0), đường thẳng này vuông 
góc với OI (đpcm).
Bài tập 2.8
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ điểm K thay đổi 
trên tiếp tuyến tại B của O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và D. Chứng minh rằng 
CD luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
 C
 K
 A O M
 H B I
 D
Gọi I là điểm đối xứng của H qua B, suy ra I cố định và thuộc (K). 
Gọi M là giao điểm của CD và AB.
Vì CD là trục đẳng phương của (O) và (K) nên ta có: 
 MH.MI MC.MD MA.MB
 MB BH MB BI MB MB BA 
 2
 MB BH MB BH MB MB.BA
 2 2 2
 MB BH MB MB.BA
 BH 2
 BM 
 BA
Vì A, B, H cố định suy ra M cố định. 
 Trang 14 Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại điểm thứ hai là M, và BP cắt đường 
tròn đường kính BD tại điểm thứ hai là N. Chứng minh rằng AM, DN và XY đồng qui. 
 Lời giải
Gọi Q, Q’ lần lượt là giao điểm của DN và AM với XY. Ta cần chứng minh Q  Q . 
Tứ giác QMCZ nội tiếp, suy ra PM.PC PQ.PZ
Tứ giác NQ’ZB nội tiếp, suy ra PQ .PZ PN.PB
Mà P thuộc XY là trục đẳng phương của đường tròn đường kính AC và đường tròn đường 
kính BD nên PN.PB PX.PY PM.PC P
 X
 N
 M
 Q
 A B Z C D
 Y
Suy ra PQ.PZ PQ .PZ Q  Q 
Vậy XY, AM và DN đồng quy. 
 Bài tập 2.11
Cho H là trực tâm tam giác ABC không cân góc A nhọn; Hình chiếu vuông góc của H trên 
AB, AC theo thứ tự là E, F. Gọi D là trung điểm BC; P, Q là giao điểm của hai đường tròn 
đường kính AD và BC. Chứng minh H, P, Q thẳng hàng và các đường thẳng BC, EF, PQ 
đồng quy.
Lời giải 
Gọi G là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 
Ta có PH /BC HE.HC HG.HA PH / AD suy ra H nằm trên trục đẳng phương của hai 
đường tròn đường kính BC và AD. Suy ra H, P, Q thẳng hàng.
 Trang 16