Chuyên đề Phương tích, trục đẳng phương 3 - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 PHƯƠNG TÍCH – TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
A. LỜI NĨI ĐẦU
 Phương tích, trục đẳng phương là một trong những cơng cụ đã rất quen thuộc trong giải 
tốn hình học phẳng. Kiến thức liên quan đến chúng khá đơn giản nhưng lại cĩ nhiều ứng 
dụng mạnh trong các bài tốn hình học phẳng, cĩ thể xử lý các bài tốn khĩ với cách xử lí đẹp 
và ấn tượng. 
 Trong bài viết này, tác giả đề cập đến một số ứng dụng cơ bản của phương tích, trục 
đẳng phương như bài tốn chứng minh tứ giác nội tiếp; vuơng gĩc, song song; thẳng hàng, 
đồng quy; các yếu tố cố địnhnhằm giúp các em học sinh nắm bắt được phần nào ứng dụng 
của chúng.
B. KIẾN THỨC CƠ SỞ
I. Phương tích của một điểm đối với một đường trịn
1. Định lí 1
Cho đường trịn (O; R) và điểm P cố định, OP = d. Một đường thẳng thay đổi qua P cắt đường 
 2 2 2 2
trịn tại hai điểm M và N. Khi đĩ: PA.PB PO R d R .
Chứng minh
Gọi M là điểm đối xứng của M qua O. Ta cĩ
MN  NM N
Khi đĩ:   
PM.PN PM.PN PM .PN công thức hình chiếu M
 PO OM PO OM P O M'
 PO OM PO OM 
 PO2 OM 2
 PO2 R2
2. Định nghĩa
Phương tích của điểm M đối với đường trịn (O;R), kí hiệu  , được xác định bởi 
 P/ O 
 OP2 R2 .
 P/ O 
3. Các tính chất
Tính chất 1:
 • Nếu A, B cố định và AB.AM const thì M cố định.
 1 2. Các tính chất
 • Trục đẳng phương của hai đường trịn vuơng gĩc với đường nối tâm.
 • Nếu hai đường trịn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương.
 • Nếu điểm M cĩ cùng phương tích với hai đường trịn thì đường thẳng qua M và vuơng 
 gĩc với đường nối tâm là trục đẳng phương.
 • Nếu hai điểm M, N cĩ cùng phương tích đối với hai đường trịn thì đường thẳng MN là 
 trục đẳng phương.
 • Nếu ba điểm cĩ cùng phương tích với hai đường trịn thì chúng thẳng hàng.
 • Nếu O1 , O2 cắt nhau tại A thi đường thẳng qua A vuơng gĩc với O1O2 là trục đẳng 
 phương.
3. Cách xác định trục đẳng phương của hai đường trịn khơng đồng tâm
Cho hai đường trịn (O 1) và (O2) khơng cắt nhau, ta cĩ cách dựng trục đẳng phương của hai 
đường trịn như sau:
 ✓ Dựng đường trịn (O3) cắt cả hai đường trịn (O1) và (O2) lần lượt tại A, B và C, D.
 ✓ Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M
 ✓ Đường thẳng qua M vuơng gĩc với O1O2 chính là trục đẳng phương của (O1) và (O2). 
 M
 A D
 O
 O1 2
 C
 B
 O3
4. Tâm đẳng phương của ba đường trịn
a) Định lí
Cho 3 đường trịn O1 , O2 và O3 . Khi đĩ 3 trục đẳng phương của các cặp đường trịn trùng 
nhau hoặc song song hoặc cùng đi qua một điểm, điểm đĩ được gọi là tâm đẳng phương của ba 
đường trịn.
b) Các tính chất
 • Nếu 3 đường trịn đơi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng đi qua một điểm
 3 Vì B· HA Cµ B· A A BHA cân tại B 
 KH KA KA 2KH 2.BH.cos B· HA 2R cosB.cosC 
Do tam giác ABC nhọn nên  HA.HA HA.HA 8R2 cos A.cos B.cosC. 
 H / O 
Trường hợp tam giác ABC vuơng hay tù chứng minh tương tự.
Nhận xét
 OH 2 R2 8R2 cos A.cos B.cosC OH 2 R2 1 8cos A.cos B.cosC . 
 H / O 
Bài 3. (Hệ thức Euler)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; R) và ngoại tiếp đường trịn (I; r). Đặt OI = d. 
Chứng minh rằng OI 2 R2 2Rr .
Giải
 A
 E
 I
 O
 B C
 A'
Gọi E là tiếp điểm của AB và (I; r), A là giao điểm củaAI và (O; R). Ta cĩ
 IE r
IA .
 · A
 sin IAE sin
 2
 A B A B
Vì I·BA ; B· IA 1800 ·AIE B· IE nên A IB cân tại A IA BA . 
 2 2 2 2
 A A
Áp dụng định lí sin cho tam giác BAA , BA 2Rsin IA 2Rsin . 
 2 2
 r A
Do điểm I nằm trong (O; R) nên  IA.IA .2Rsin 2Rr OI 2 R2 2Rr.
 I / O A 2
 sin
 2
 5 IB2 IC 2 BC 2 4R2 b2 4R2 c2 a2 2b2 2c2 a2
c) Ta cĩ MI 2 4R2 .
 2 4 2 4 4
 2b2 2c2 a2 2b2 2c2 a2
Suy ra  MI 2 R 2 4R2 4R2 .
 M / I 4 4
Bài 5. Cho hai đường trịn O1 , O2 khơng đồng tâm và M là một điểm tùy ý. Gọi d là trục 
đẳng phương của O1 và O2 , H là hình chiếu vuơng gĩc của M trên d . Chứng minh rằng 
  2O O .MH .
 M / O1 M / O2 1 2
Giải
 M H
 O
 O1 K 2
 d
Giải
Ta cĩ
 2
 2 2 2 2 2 2
 M / O O1M R1 HM HO1 R1 HM HO1 2HM.HO1 R1
 1 
 HM 2  2HM.KO
 H / O1 1
Tương tự,  HM 2  2HM.KO .
 M / O2 H / O2 2
Do đĩ, M / O M / O H / O H / O 2HM KO1 KO2 2HM.O2O1 2MH.O1O2 .
 1 2 1 2
Bài 6. (USA MO 2008) Cho hai đường trịn C1 và C2 cĩ cùng tâm ( C2 chứa C1 ) và 
một điểm A trên C1 . Tiếp tuyến tại A của đường trịn C1 cắt đường trịn C2 tại hai điểm B 
và C. Gọi D là trung điểm của AB. Một đường thẳng qua B cắt C1 tại hai điểm E, F. Biết rằng 
các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại một điểm I trên đường thẳng BC. Tính tỉ số 
 IB
 .
 IC
 7 Mà MG.ME MB.MC 2 . Từ (1) và (2) suy ra 
MA2 MB.MC MA2 AB MA AC MA AB.AC MA AB AC MA2 
 AB.AC 1 1 1
 MA 
 AB AC AM AB AC
Nhận xét
 1 1 1 2 1 1
Gọi N là điểm đối xứng của A qua M. Khi đĩ 
 AM AB AC AN AB AC
 ANBC 1
Bài 8. (Russian MO 2008) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O, R , ngoại tiếp đường 
trịn I,r . Đường trịn I tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại X, Y. Gọi K là điểm chính giữa 
cung AB khơng chứa C. Giả sử XY chia đơi đoạn AK. Tính B· AC
 A
 S
 Y
 K X
 I
 C
 B
 O
Gọi S là giao điểm của XY và AK. Ta cĩ 
 AX.BC
K· AB K· CB; S· XA 1800 ·AXY B· IC AXS : CIB AS 
 CI
 1 AX.BC
hay AK KI.CI 2AX.BC 
 2 CI
 9 TB DC
Từ (1) và (2) suy ra 3 
 TC DB
 T B DC
Gọi T là giao điểm của BC và YZ. Tương tự ta cũng cĩ 4 
 T C DB
Từ (3) và (4) suy ra T  T . Khi đĩ TE.TF TD2 TZ.TY , suy ra tứ giác EFZY nội tiếp.
Bài 2. Cho hai đường trịn O1 , O2 ngồi nhau, A1 A2 là tiếp tuyến chung của hai đường trịn 
 A1 O1 , A2 O2 . K là trung điểm của A1 A2 . Từ K lần lượt kẻ hai tiếp tuyến KB1, KB2 tới 
 O1 , O2 , A1B1  A2B2 L, KL  O1O2 P . Chứng minh rằng B1, B2 , P, L cùng thuộc một 
đường trịn.
 A1
 K
 A2
 P
 O2
 O1
 B2
 B1
 L
Do KA1 KA2 KB1 KB2 nên tứ giác A1B1B2 A2 nội tiếp, suy ra LB1.LA1 LB2.LA2 
 KL là trục đẳng phương của hai đường trịn O1 , O2 KL  O1O2 .
Dễ thấy các tứ giác KPB1 A1, KPB2 A2 . Khi đĩ áp dụng định lí Miquel cho tam giác A1 A2L ta cĩ 
điều phải chứng mịnh.
Bài 3. (IMO shortlist 2006) Cho hình thang ABCD, AB / /CD , AB CD . Gọi K, L lần lượt là 
 AK DL
hai điểm trên AB, CD sao cho . Giả sử P, Q là hai điểm nằm trên đường thẳng KL 
 BK CL
sao cho ·APB B· CD,C· QD ·ABC . Chứng minh rằng P, Q, B, C cùng thuộc một đường trịn.
 11