Chuyên đề Phương tích, trục đẳng phương 2 - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 PHƯƠNG TÍCH- TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
 Lê Xuân Đại, THPT Chuyên Vĩnh Phúc
 A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Phương tích và trục đẳng phương là chủ đề đề đã rất quen thuộc và quan trọng 
trong hình học phẳng. Cho dù lý thuyết về phần này khá đơn giản nhưng lại có nhiều 
ứng dụng quan trọng trong hình học phẳng. Nhiều bài toán khó trong các đề thi học 
sinh giỏi về toán có thể được giải quyết một cách đơn giản nhờ sử dụng các tính chất 
của phương tích, trục đẳng phương mà điển hình nhất là các bài toán về quan hệ 
vuông góc, bài toán về sự đồng quy, thẳng hàng, về các điểm và đường cố định
 Chuyên đề này tác giả muốn đưa ra một số ứng dụng của phương tích- trục 
đẳng phương thông qua một số bài toán điển hình, các nhận xét quan trọng và hệ 
thống bài tập tương tự, hy vọng phần nào chia sẻ và giúp các em học sinh nắm bắt thật 
tốt các ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương.
 Nội dung của bài viết này được chia làm ba phần, đầu tiên tóm tắt lại lý thuyết 
cơ bản về phương tích, phần thứ hai là một số ứng dụng của phương tích- trục đẳng 
phương và phần cuối là một số bài tập áp dụng.
2. Mục đích của đề tài
 Đề tài "Phương tích-trục đẳng phương" được tác giả chọn viết nhằm giới 
thiệu với các thầy cô và các em học sinh những kinh nghiệm và phương pháp của 
chúng tôi khi giảng dạy về chủ đề phương tích- trục đẳng phương trong chương trình 
chuyên toán THPT, qua đó cũng nhấn mạnh tầm quan trọng và vẻ đẹp hình học qua 
các ứng dụng của nó, đặc biệt là các bài toán về quan hệ vuông góc, các điểm cùng 
thuộc một đường tròn và một số dạng toán khác thường xuất hiện trong các kì thi học 
sinh giỏi (HSG) về toán. Các bài toán được giải quyết bằng phương tích thường là 
những lời giải hay và đẹp đẽ.
 1 B. PHẦN NỘI DUNG
I. Lý thuyết
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn 
1.1. Định lý 1. Cho đường tròn O bán kính R và một điểm P. Một đường thẳng 
   
thay đổi đi qua P và cắt O tại hai điểm M , N . Khi đó tích MA.MB không đổi và 
bằng d 2 R2 (d là khoảng cách từ điểm P đến tâm O).
1.2. Định nghĩa 1. Phương tích của điểm P đối với đường tròn O , kí hiệu PP/(O) , 
 2 2
được định nghĩa là giá trị PP/ O d R
Nhận xét. Xét điểm P nằm ngoài đường tròn O . Từ P kẻ tiếp tuyến PT đến O (T 
 2 2 2
là tiếp điểm). Khi đó PP/ O OP R PT
1.3. Định lý 2. Cho đường tròn O và một điểm P. d1,d2 là hai đường thẳng bất kì đi 
qua P và cắt O lần lượt ở A,B và C,D . Khi đó tích PA.PB PC.PD .
 2
Trong trường hợp nếu d2 tiếp xúc với O tại điểm E thì ta có PA.PB PE .
2. Trục đẳng phương, tâm đẳng phương
2.1. Định nghĩa trục đẳng phương của hai đường tròn
 Cho hai đường tròn O1 và O2 không cùng tâm. Khi đó quỹ tích các điểm có 
cùng phương tích đối với chúng là một đường thẳng vuông góc với nối tâm O1O2 . 
Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương của O1 và O2 .
2.2. Xác định trục đẳng phương.
a) Nếu hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại hai điểm A,B . Lúc đó A,B đều có 
cùng phương tích bằng 0 đối với O1 và O2 . Suy ra trục đẳng phương của O1 và 
 O2 là đường thẳng AB.
 3 II. Ứng dụng của phương tích- trục đẳng phương
1. Ứng dụng trong tính toán và chứng minh các hệ thức hình học
 Một ứng dụng đơn giản nhất của phương tích là tính toán độ dài các đoạn thẳng 
hoặc chứng minh các đẳng thức hình học. Chú ý rằng nếu M nằm ngoài đường tròn 
 O;R và qua M vẽ hai cát tuyến MAB,MCD thì MA.MB MC.MD MO2 R2 . 
Còn nếu M nằm trong đường tròn O;R và qua M vẽ hai dây MAB,MCD thì 
 MA.MB MC.MD R2 MO2 .
Bài toán 1.1 (Hệ thức Euler). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O;R và ngoại 
tiếp đường tròn I;r . Chứng minh rằng OI 2 R2 2Rr .
Lời giải. Giả sử BI cắt O tại điểm thứ hai M, vẽ đường kính MN của O . Đường 
tròn I tiếp xúc với BC tại D. 
 A
 M
 I O
 C
 B D
 N
 BI ID ID
Khi đó BDI : NCM , suy ra . Do đó IB.IM ID.NM 2Rr . 
 NM MC MI
Mặt khác IB.IM R2 OI 2 , suy ra R2 OI 2 2Rr , hay OI 2 R2 2Rr (đpcm).
Bài toán 1.2 (RMO 2006). Cho điểm A nằm ngoài đường tròn O . Hai cát tuyến qua 
A là ABC, ADE theo thứ tự. Vẽ dây cung DF song song BC. AF cắt O tại G; BC cắt 
 1 1 1
GE tại M. Chứng minh rằng .
 AM AB AC
 5 Gọi M là giao điểm hai đường chéo A1A3 và A2 A4 , B1 là giao điểm thứ hai của A1A3 
với đường tròn 1 ngoại tiếp tam giác A2 A3 A4 .
 yt
Ta có O A2 r 2 A B .A A và MB .MA MA .MA MB . Do đó
 1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 4 1 z
 2 2 yt z x
 O1A1 r1 x z x yt xz 
 z z
Cùng các đẳng thức tương tự ta được
 4 1 1 z t x y 
 0 .
  2 2 
 i 1 Oi Ai ri yt xz z x t y x z y t 
Bài 1.4. Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì trên đường tròn O . Giả sử AC,BD cắt 
 2
nhau tại M và AD,BC cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN PM / O PN / O .
Lời giải. 
 N
 B
 A
 M
 P
 D
 C
Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD, khi đó 
 NM.NP NA.ND PN / O 
Ta có PM ,PD  AM , AD  AC, AD  BC,BD  BN,BD (mod ) , suy ra 
 P,D, N,B đồng viên, suy ra MN.MP MB.MD PX / O .
 2
Do đó PM / O PN / O MN. MP NP MN (đpcm).
 7 Bài 1.6. Cho hai đường tròn O1 và O2 không đồng tâm và M là một điểm tùy ý, d 
là trục đẳng phương của O1 , O2 . Gọi H là hình chiếu của M trên d. Chứng minh 
rằng P P 2O O .HM .
 M / O1 M / O2 1 2
Lời giải. Gọi H' và M' lần lượt là hình chiếu của H và M trên O1O2 .
 d
 M H
 O
 H' 2
 O1 M1
Ta có P P , suy ra 
 H / O1 H / O2 
 P P P P P P
 M / O1 M / O2 M / O1 H / O1 M / O2 H / O2 
 2 2 2 2
 MO1 HO1 MO2 HO2 
 2 2 2 2
 MO1 MO2 HO1 HO2 
 2O1O2.IM ' 2O1O2.HM '
 2O1O2.HM '
 2O1O2.HM
Nhận xét. Công thức trên thường được gọi là hiệu số phương tích của một điểm đối 
với hai đường tròn, nó có ứng dụng rất tốt để giải quyết các bài toán khi đã có trước 
hai đường tròn và trục đẳng phương của hai đường tròn đó được xác định. Ta có thể 
đưa ra vài bài toán ứng dụng kết quả này.
 9 O
 Y
 I
 C
 B
 A X
Áp dụng hiệu số phương tích của điểm I đối với hai đường tròn O và O' ta được
 PI / O PI / O ' 2OO'.IX 2OO'.r
 2
Mặt khác PI / O không đổi và PI / O ' IC.IA 2IH.IA 2r . Do đó OO' không đổi, từ 
đó suy ra đpcm.
Bài 1.7 (THTT 2014). Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AA1,BB1,CC1 của tam 
giác đồng quy tại H. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là 
 2 2 2 2 2 2
 HA HB HC 4 HA1 HB1 HC1 
Lời giải. 
 A
 F E
 B1
 O
 C1
 H
 C
 B A1
 A2
 D
 11 2 2 2 2 2 2
Từ (2) và (3) suy ra HA HB HC 4 HA1 HB1 HC1 . Từ đó ta thấy điều kiện 
 2 2 2 2 2 2
cần và đủ để tam giác ABC đều là HA HB HC 4 HA1 HB1 HC1 (đpcm).
2. Ứng dụng trong bài toán chứng minh quan hệ vuông góc
 Một tính chất cơ bản và quan trọng bậc nhất của trục đẳng phương là nó vuông 
góc với đường nối tâm của hai đường tròn đó. Do đó có thể nói ứng dụng của phương 
tích, trục đẳng phương trong bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc là phổ 
biến và tự nhiên nhất. Điều này thực sự có nguồn gốc từ định lý về quỹ tích hiệu bình 
phương mà ta cũng hay gọi là định lý bốn điểm. Định lý đó được phát biểu thật đơn 
giản như sau:
 Với 4 điểm bất kì A,B,C,D trong mặt phẳng, ta có
 AC  BD AB2 CD2 AD2 BC 2
Một hệ quả trực tiếp là: Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc khi và chi khi 
tổng bình phương các cặp cạnh đối bằng nhau. 
 Cũng dễ thấy rằng định lý bốn điểm vẫn đúng khi các điểm A,B,C,D bất kì 
trong không gian.
 Sau đây xin giới thiệu một số ứng dụng của định lí bốn điểm trong các bài toán 
về quan hệ vuông góc mà học sinh có thể giải nó khi chưa biết về phương tích, trục 
đẳng phương.
Bài 2.1. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia DA và tia đối của tia CB lần 
lượt lấy hai điểm F và E sao cho DF=CE=CD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao 
cho CH=CB. Chứng minh rằng AE vuông góc với FH.
Lời giải. Tất nhiên bài toán này có thể giải quyết khá đơn giản bằng bằng phương 
pháp toạ độ hoặc véc tơ. Tuy nhiên việc áp dụng định lý bốn điểm cho ta lời giải thật 
đẹp đẽ và ngắn gọn.
 13