Chuyên đề Phương tích, trục đẳng phương 1 - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TÍCH - TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG
 A.PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
 Hình học phẳng là một chuyên đề tương đối quan trọng của chương trình THPT chuyên 
Toán. Trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Thi Olympic Toán Quốc tế và khu vực, các 
bài toán về hình học phẳng luôn luôn xuất hiện một bài hoặc thậm chí hai bài. Có rất nhiều 
cách, có nhiều định lý, nhiều kiến thức để học sinh có thể xử lý các yêu cầu của bài toán 
như: Phép biến hình; hàng điểm điều hòa; định lýCeva, Menelauyt; các tính chất của đường 
thẳng Simson, SteinerTuy nhiên, trong nhiều năm trở lại đây , các bài toán hình học thi 
VMO thường xoay quanh các vấn đề về: Phương tích, trục đẳng phương; hàng điểm điều 
hòa hay các dạng biến đổi góc cơ bản. 
 Bên cạnh đó ta thấy, kiến thức về Phương tích và trục đẳng phương là một vấn đề quen 
thuộc trong hình học phẳng, học sinh được tiếp cận trong chương trình sách giáo khoa THPT 
Chuyên Toán 10. Lý thuyết, các tính chất về phần này tương đối đơn giản, dễ hiểu nhưng lại 
có nhiều ứng dụng trong các bài toán: Chứng minh sự đồng quy; ba điểm thẳng hàng; điểm 
cố định hoặc tính toán một số đại lượng trong tam giác và trong đường trònSử dụng 
phương tích và trục đẳng phương thường cho ta lời giải gọn gàng, dễ hiểu; tránh được một số 
bước vẽ hình phức tạp. Tuy nhiên, làm thế nào để học sinh phát hiện và vận dụng kiến thức 
về Phương tích - Trục đẳng phương vào trong các dạng toán chứng minh trên? Nếu dùng 
Trục đẳng phương thay một số kiến thức khác thì sẽ thu được điều gì? Giải quyết xong một 
bài toán, ta có thể dùng kiến thức đó để làm các bài toán mở rộng khác được không? Đó là 
những câu hỏi đặt ra và cần tìm hướng giải quyết. Sự đơn giản về kiến thức nhưng đem lại 
những ứng dụng hay đã hấp dẫn được nhiều học sinh và giáo viên khi học, giảng dạy về 
chuyên đề hình phẳng sử dụng tính chất trục đẳng phương, tâm đẳng phương. Từ những điều 
thú vị, hấp dẫn và một số câu hỏi đặt ra ở trên chúng tôi đã chọn đề tài “ Phương tích- Trục 
đẳng phương” làm chuyên đề hội thảo năm 2015-2016. 
2.Mục đích của đề tài
 Việc sử dụng kiến thức về phương tích - trục đẳng phương trong hình học phẳng được 
khai thác dưới nhiều khía cạnh khác nhau, tùy theo yêu cầu của mỗi bài toán. Tuy nhiên, 
nhằm khai thác thế mạnh của kiến thức này, đề tài “ Phương tích - Trục đẳng phương” tập 
trung vào một vài ứng dụng chính mà tần số các câu hỏi dạng đó xuất hiện trong các kì thi 
học sinh giỏi tương đối cao. Đó là: Chứng minh thẳng hàng; sự đồng quy; điểm cố định; quỹ 
tích điểm và một số bài toán khác. Nội dung đề tài là một số kinh nghiệm của chúng tôi khi 
giảng dạy chuyên đề này và được tham khảo qua một số đồng nghiệp các trường Chuyên 
khác. Với hi vọng giới thiệu, đem đến cho các thầy cô và các học sinh những ứng dụng thú vị 
của phương tích, trục đẳng phương; chúng tôi đã trình bày những phát triển , mở rộng từ 
 1 B. PHẦN NỘI DUNG
 I.Tóm tắt lý thuyết 
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn 
1.1.Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định, OM = d. Một đường thẳng thay đổi 
qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Khi đó MA.MB d 2 R2. 
Chứng minh:
 A
 B
 O
 M
 C
Gọi C là điểm đối xứng của A qua O. Ta có CB  AM hay B là hình chiếu của C trên AM. 
        2  2
Khi đó ta có MA.MB MA.MB (MO OC)(MO OA) (MO OA ) d 2 R2. 
1.2.Định nghĩa. Giá trị không đổi MA.MB d 2 R2 trong bài toán trên được gọi là phương 
tích của điểm M đối với đường tròn (O) và kí hiệu PM /(O) . 
 2 2
 Và PM / O MA.MB d R .
1.3.Định lý 1.1. Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P và PA.PB PC.PD thì 4 điểm 
A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. 
Chứng minh: Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại D’. Khi đó ta có theo 
định lý 1.1 ta có PA.PB PC.PD ' , suy ra PC.PD PC.PD ' D  D'. Suy ra 4 điểm A, B, C, 
D cùng thuộc một đường tròn. 
1.4.Nhận xét:
 a. Có các cách khai triển phương tích như sau
 +)Khai triển theo cát tuyến: Cho hai cát tuyến MAB, MCD của đường tròn (O). Khi đó 
 2 2
PM /(O) MA.MB MC.MD MO R . 
 B
 A
 O
 M
 C
 D
 +)Khai triển theo tam giác: Cho hai dây cung AB, CD của đường tròn (O)cắt nhau 
 2 2
tại điểm M. Khi đó PM /(O) MA.MB MC.CD R MO . 
 3 2.Nếu hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì AB chính là trục đẳng phương của chúng.
 M
 A
 O I
 B
 3.Nếu điểm M có cùng phương tích đối với (O) và (I) thì đường thẳng qua M vuông góc 
 với OI là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 4.Nếu hai điểm M, N có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì đường thẳng MN 
 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 5.Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
 6.Nếu (O) và (I) tiếp xúc nhau tại A thì đường thẳng qua A và vuông góc với OI chính là 
 trục đẳng phương của hai đường tròn.
 O I
 A
 M
 2.3.Cách xác định trục đẳng phương của hai đường tròn
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1) và (O2 ) . Xét các trường hợp sau:
 Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó đường thẳng AB 
 chính là trục đẳng phương của hai đường tròn.
 Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại T. Khi đó tiếp tuyến chung tại T chính là 
 trục đẳng phương của hai đường tròn.
 Trường hợp 3: Hai đường tròn không có điểm chung. Dựng đường tròn (O3 ) cắt cả hai 
 đường tròn ( O1,O2 ,O3 không thẳng hàng) . Trục đẳng phương của các cặp đường tròn 
 (O1)và (O3 ); (O2 )và (O3 ) cắt nhau tại K . Đường thẳng qua K vuông góc với O1O2 là trục 
 đẳng phương của (O1),(O2 ).
 O3
 O1 O2
 K
 5 II. Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương
 II.1.Ứng dụng của phương tích và trục đẳng phương trong chứng minh ba điểm thẳng 
hàng và ba đường thẳng đồng quy, chứng minh một đường đi qua điểm cố định.
 Có nhiều cách để chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy. Tuy 
nhiên trong một số bài toán mà giả thiết có sự xuất hiện của nhiều đường tròn thì việc liên hệ 
đến trục đẳng phương là có thể. 
 1.1.Giả sử cần chứng minh A, B, C thẳng hàng bằng cách sử dụng trục đẳng phương ta 
cần xây dựng mô hình bài toán như sau: Hai đường tròn (C1), (C2) có trục đẳng phương là 
đường thẳng d. Ta đi chứng minh P P ; P P ; P P . Khi đó A, 
 A/(C1 ) A/(C2 ) B/(C1 ) B/(C2 ) C/(C1 ) C/(C2 )
B, C cùng thuộc đường thẳng d.
 1.2.Giả sử cần chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy bằng cách sử dụng tâm đẳng 
phương ta cần xây dựng các đường tròn (C ), (I), (T) từng cặp nhận a, b, c làm trục đẳng 
phương và a, b cắt nhau tại K khi đó K là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Do đó c đi 
qua điểm K.
 1.3. Giả sử cần chứng minh một đường thẳng c đi qua điểm cố định M ta xây dựng mô 
hình bài toán theo các hướng sau:
 1.3.1.Ba đường thẳng a,b, c là trục đẳng phương của ba cặp đường tròn trong đó a, b cố 
định cắt nhau tại M, suy ra c qua M.
 1.3.2.Nếu A, B cố định và AB.AM là số không đổi, do đó M cố định. Khai thác tính 
chất này giúp ta giải các bài toán về đường thẳng đi qua điểm cố định. 
 1.4. Giả sử cần chứng minh một đường tròn (C) đi qua điểm cố định D ta xây dựng mô 
hình bài toán:Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P , đường tròn (ABC) thay đổi và 
PA.PB PC.PD thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. 
 Một số bài minh họa
Bài 1 (VMO- 2015). Cho đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định trên (O), BC không là 
đường kính. Một điểm A thay đổi trên (O) sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E, F là chân 
đường cao kẻ từ B, C của tam giác ABC. Cho (I) là đường tròn thay đổi đi qua E, F , I là tâm.
 DB cot B
 a. Giả sử (I) tiếp xúc với B C tại điểm D. Chứng minh rằng . 
 DC cot C
 b. Giả sử (I) cắt cạnh BC tại M, N. Gọi H là trực tâm tam giác ABC; P,Q là các giao 
 điểm của (I) với đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC. Đường tròn (K) đi qua P, Q và 
 tiếp xúc với (O) tại T ( T cùng phía A đối với PQ). Chứng minh rằng đường phân giác 
 trong của góc MTN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải: 
a.Gọi X, Y là giao điểm của (I) với BE, CF. Xét phương tích với đường tròn (I), ta có 
BD2 BX.BE;CD2 CY.CF .
 7 Do đó PQ, E F, BC đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn. Ta có 
GT 2 GP.GQ GM.GN nên đường tròn (TMN) tiếp xúc với đường tròn (O) tại T.
Do đó, ta có G· TM G· NT (cùng chắn T¼M của đường tròn (K)).
Mặt khác, theo tính chất góc ngoài của tam giác NCT thì G· NT N· TC N· CT. Hơn nữa, do 
GT tiếp xúc với (O) nên G· TB G· CT. Khi đó thu được B· TM C· TN. 
Từ đây dễ thấy phân giác của hai góc M· TN; B· TC trùng nhau hay phân giác góc M· TN đi qua 
trung điểm J của B»C không chứa A và J là điểm cố định. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: 
 1.Trong bài toán này xuất hiện khá nhiều đường tròn, trong đó có đường tròn thay đổi. Do 
đó với yêu cầu chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định việc nghĩ đến tâm đẳng phương 
là điều dễ hiểu. Tuy nhiên ta có thể giải bài toán này mà không cần sự có mặt điểm E, F.Xét 
trục đẳng phương của ba đường tròn (BHC),(O),(TPQ) thì sẽ có tiếp tuyến tại T đi qua giao 
điểm của BC, PQ và ta thu được kết quả bài toán.
 2.Vấn đề EF cũng đi qua G sẽ đưa ra bài toán khác để khai thác và mở rộng. 
 Bài 2 (Phát triển VMO 2015).Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Một đường tròn 
(I) bất kì đi qua B, C và (J ) là đường tròn khác thay đổi cắt BC tại M, N; và cắt (I) tại P, 
Q. Đường tròn đi qua P, Q và tiếp xúc với đường tròn (O) tại T nằm cùng phía với A so với 
BC. Chứng minh rằng phân giác M· TN luôn đi qua trung điểm cung BC không chứa A. 
 (Nguyễn Văn Linh) 
Lời giải:
Trước hết xét bổ đề về hai đường đẳng giác của một tam giác.
Bổ đề: Cho tam giác BCT, TM, TN là hai đường đẳng giác góc BTC
 BM BN BT 2
 . (*)
 CM CN CT 2
Trở lại bài toán: Gọi (K) đi qua P,Q tiếp xúc với (O) tại T . Kẻ ST là tiếp tuyến tại T của 
đường tròn (O),(K). ST là trục đẳng phương của (O),(K). PQ là trục đẳng phương của 
(I),(K). BC là trục đẳng phương của (I),(O) . Khi đó ST, PQ, BC đồng quy tại tâm đẳng 
phương S của ba đường tròn. Suy ra S, P,Q thẳng hàng.
 9