Chuyên đề Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng 
 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN
 VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
 Phần 1: TÓM TẮT
 --------------- ---------------
 Các bài toán hình học phẳng có liên quan đến đường tròn là những bài toán hay và 
thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi hoặc đề thi tuyển sinh Đại học. Một khái niệm 
rất quan trọng và có nhiều ứng dụng liên quan đến đường tròn đó là phương tích của một 
điểm đối với đường tròn. Đây là một khái niệm không khó nắm bắt, nhưng những ứng dụng 
của nó trong việc giải quyết các bài toán hình học phẳng là rất phong phú. Nhiều bài toán 
phức tạp có thể được giải quyết gọn gàng nhờ sử dụng các tính chất có liên quan đến phương 
tích. Bài viết nêu lên một số ứng dụng của phương tích trong việc giải một số bài toán hình 
học phẳng. Nội dung của bài viết này được chia làm 3 phần, đầu tiên là tóm tắt lại lý thuyết cơ 
bản về phương tích, phần thứ hai là một số bài toán áp dụng, được chia làm bốn loại, đó là 
các bài toán định lượng, định tính, dựng hình và biểu thức tọa độ. Phần cuối là một số bài tập 
vận dụng khác. 
 1 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng 
 • Nếu hai đường tròn (O ) và (O ) cắt nhau tại hai 
 1 2 A
 điểm A, B. Lúc đó A, B đều có cùng phương tích 
 bằng 0 đối với cả hai đường tròn (O ) và (O ) . O2
 1 2 O1
 Do đó trục đẳng phương của (O1) và (O2 ) chính 
 là đường thẳng AB. B
 • Nếu hai đường tròn (O1) và (O2 ) tiếp xúc với 
 nhau tại điểm T. Lúc đó T có cùng phương tích 
 O1 O2
 bằng 0 đối với (O1) và (O2 ) . Do đó trục đẳng 
 T
 phương của (O1) và (O2 ) là đường thẳng qua T và 
 vuông góc với O1O2 và đó chính là tiếp tuyến 
 chung của (O1) và (O2 ) tại điểm T.
3. Tâm đẳng phương của ba đường tròn
 Cho ba đường tròn (O ),(O ),(O ) có các tâm 
 1 2 3 d2 d3
 O1,O2 ,O3 không cùng thuộc một đường thẳng. Gọi 
 d1,d2 ,d3 lần lượt là các trục đẳng phương của (O2 ) 
và (O ) ,của (O ) và (O ) , của (O ) và (O ) . Khi đó O3
 3 3 1 1 2 O1
 K
ba đường thẳng d1,d2 ,d3 đồng quy tại một điểm K. K 
là điểm duy nhất có cùng phương tích đối với cả ba 
đường tròn (O1),(O2 ),(O3 ) và được gọi là tâm đẳng d1
 O2
phương của ba đường tròn này.
4. Phương trình đường tròn và biểu thức tọa độ của phương tích
a) Phương trình đường tròn 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I x0 ; y0 bán kính R. Khi 
đó điểm M (x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi IM R , tức là:
 2 2 2
 (x x0 ) (y y0 ) R . (1)
Phương trình (1) có thể được viết lại là: 
 2 2 2 2 2
 x y 2x0 x 2y0 y x0 y0 R 0. (2)
Phương trình (1) hoặc (2) đều được gọi là phương trình của đường tròn (C) đã cho. 
 Ngược lại, cho phương trình: x2 y2 2ax 2by c 0 (*). Khi đó có ba trường hợp sau 
 xảy ra:
 3 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng 
 Mục này được dành để trình bày một số bài toán mang tính định tính như tính phương tích 
của một số điểm đặc biệt trong tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác và một số bài 
toán tính toán khác có sử dụng phương tích của một điểm đối với đường tròn. Một số ví dụ 
dưới đây có sử dụng một tính chất quen thuộc của tích vô hướng là 
   AB2 AC 2 BC 2
 AB.AC . Một số kết quả có liên quan đến đường thẳng Euler, đường tròn 
 2
Euler, tính chất trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác cũng được sử dụng và không 
chứng minh lại.
Ví dụ 1 (Phương tích của trọng tâm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tính 
phương tích của trọng tâm G đối với (O) theo các cạnh BC a,CA b, AB c.
 Giải
  1    
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên OG OA OB OC . Suy ra:
 3 
 1       
 OG2 OA2 OB2 OC 2 2OAOB 2OB OC 2OC OA
 9 
 1
 OA2 OB2 OC 2 OA2 OB2 AB2 OB2 OC 2 BC 2 OA2 OC 2 AC 2 
 9
 1 1
 9R2 a2 b2 c2 R2 a2 b2 c2 .
 9 9
 2 2 1 2 2 2
Vậy SG /(O) OG R a b c .
 9
Ví dụ 2 (Phương tích của trực tâm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. 
Tính phương tích của trực tâm H đối với (O) theo R và các góc A,B,C.
 Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, theo tính chất về đường thẳng Euler ta có 
      
 OH 3OG OA OB OC . Suy ra:
       
 OH 2 OA2 OB2 OC 2 2OAOB 2OB OC 2OC OA
 OA2 OB2 OC 2 OA2 OB2 AB2 OB2 OC 2 BC 2 OA2 OC 2 AC 2
 9R2 a2 b2 c2 .
Vậy :
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 SH /(O) OH R 8R a b c 8R 4R sin A sin B sin C 
 R2 2 2(cos2A cos2B cos2C) 8R2 cos Acos BcosC.
Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra một công thức tính OH là: OH 2 R2 (1 8cos Acos BcosC).
Ví dụ 3 (Phương tích của tâm đường tròn nội tiếp đối với đường tròn ngoại tiếp). 
 5 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng 
 b) Gọi M là trung điểm BC, do I là trực tâm của tam giác ABC nên:
 AI 2OM AI 2 4OM 2 4 R2 BM 2 4R2 a2. Từ đây suy ra:
 R'2 IA2 a2 4R2 a2 a2 4R2 R' 2R.
 IB2 IC 2 BC 2 4R2 b2 4R2 c2 a2 2b2 2c2 a2
 c) Ta có IM 2 4R2 .
 2 4 2 4 4
 Suy ra:
 2 2 2 2 2 2
 2 2 2 2b 2c a 2 2b 2c a
 SM /(I ) IM R' 4R 4R .
 4 4
Ví dụ 5. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I và đường tròn O;R . Gọi 
 p1 SA /(O) , p2 SB /(O) , p3 SI /(O). Chứng minh rằng AB 2( p1 p2 2 p3 ).
 Giải:
 OA2 OB2 AB2
Ta có p OA2 R2 , p OB2 R2 , p OI 2 R2. Từ OI 2 suy ra
 1 2 3 2 2 4
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 AB 2OA 2OB 4OI 2(OA R ) 2(OB R ) 4(OI R ) 2( p1 p2 2 p3 ) .
Vậy AB 2( p1 p2 2 p3 ).
Ví dụ 6. Cho nửa đường tròn đường kính AB và hai điểm M, N thay đổi trên đó. Gọi I là giao 
điểm của AM và BN. Ký hiệu (O1) , (O2 ) là đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và ANP. 
Chứng minh rằng không đổi.
 SA /(O1 ) SA /(O2 )
 Giải:
Ta có:
     M
 AI.AM BI.BN
 SA /(O1 ) SA /(O2 )
         2 N
 AI.AB BI.BA AB. AI IB AB AB2. I
 O2 O
Vậy không đổi. 1
 SA /(O1 ) SA /(O2 )
 A B
Ví dụ 7. Cho hai đường tròn (O1) , (O2 ) có tâm O1 O2 và M là một điểm tùy ý. Ký hiệu d là 
trục đẳng phương của (O1) và (O2 ) , H là hình chiếu vuông góc của M trên d. Chứng minh 
 SM /(O ) SM /(O )
rằng 2O O .MH. Từ đây suy ra MH 1 2 .
 SM /(O1 ) SM /(O2 ) 1 2
 2O1O2
 Giải:
 7 Phương tích của một điểm đối với đường tròn và một số ứng dụng 
Giải
 A1
Gọi M là giao điểm của A1 A3 và A2 A4. Đặt 
 a MA , b MA ,c MA ,d MA .Gọi B là giao 
 1 2 3 4 1 B1
điểm của A A với đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 1 3 O3
 A A A . Khi đó ta có A4
 2 3 4 M
 A O4
 2 2 2
 O2 O
 O1 A1 r1 A1B1.A1 A3 MB1 MA1 . MA3 MA1 1
 MB1 a . c a .
 bd
Mặt khác MB .MA MA .MA MB . 
 1 3 2 4 1 c A3
Do đó
 2 2 bd (c a)
 O1 A1 r1 a (c a) bd ac .
 c c
 1 1 c 
Suy ra 2 2 . Tương tự ta cũng có:
 O1 A1 r1 bd ac c a 
 1 1 d 1 1 a 1 1 b 
 2 2 , 2 2 , 2 2 .
 O2 A2 r2 ac bd d b O3 A3 r3 bd ac a c O4 A4 r4 bd ac b d 
Vậy 
 1 1 1 1 1 c a d b 
 2 2 2 2 2 2 2 2 0.
 O1 A1 r1 O2 A2 r2 O3 A3 r3 O4 A4 r4 bd ac c a c a d b d b 
2. Một số bài toán định tính
 Trong các Ví dụ 1, Ví dụ 2 và Ví dụ 3 dưới đây, ta sẽ sử dụng phương tích để chứng minh 
số điểm nằm trên đường tròn. Một kết quả thường sử dụng để làm việc này là Hệ quả 2.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD (AB CD) nội tiếp (O) . Dựng hai hình thoi AEDF và BMCN có 
cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng bốn điểm EFMN cùng thuộc một đường tròn.
 Giải:
Gọi R là bán kính của đường tròn (O), I MN  BC và A
 J EF  AD. Do AB CD nên các điểm M, N, O, E, F 
không cùng nằm trên đường thẳng. B F
Ta có: E J
 M I
 OM.ON OI IM . OI IN OI IN . OI IN O
 N
 2 2 2 2 2 2
 OI IN OB BI BN BI C D
 R2 BN2.
Tương tự, OE.OF R2 AE2. Mà BN AE nên OM.ON OE.OF suy ra bốn điểm M, N, E, 
F cùng thuộc một đường tròn.
Ví dụ 2 (IMO Shortlist 1995). Cho tam giác ABC với đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba 
cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. X là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho đường 
 9