Chuyên đề Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
Loại 1: Tính góc giữa hai đường thẳng 
 I BÀI TẬP TỰ LUYỆN.LÝ THUYẾT. 
 I
1. TínhI chất 
- HaiI đư ờng thẳng 12, cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu không vuông góc với nhau thì góc 
 =
nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 . Kí hiệu 12,. 
 = 0
- Nếu 12  thì 12, 90 . 
 = 0
- Nếu song song hay trùng nhau thì 12, 0 . 
2. CôngI thức tính góc 
- Cho hai đường thẳng lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1 a 1; b 1 và n2 a 2; b 2 . 
Đặt 12, thì 
 nn12.
 cos cos nn12 , 
 nn11
 a a b b
 hay cos 1 2 1 2 
 2 2 2 2
 a1 b 1 a 2 b 2
- Chú ý: Có thể sử dụng vectơ chỉ phương của hai đường thẳng thay cho vectơ pháp tuyến trong 
công thức trên. 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 =
 =I Ví dụ 1 
 Ví 
Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng lần lượt có phương trình 1 : 4xy 2 1 0 và 
 2 :xy 3 5 0 
 Lời giải 
Hai đường thẳng lần lượt có vectơ pháp tuyến n1 4;2 và n2 1;3 . Do đó: 
 nn12. 2
 cos , cosnn , 
 1 2 1 2 2
 nn11 
 0
 12, 45 .
1 | 
 xt 72
Đường thẳng d1 : có vectơ chỉ phương u1 2; 1 nên nhận vectơ n1 1;2 làm vectơ 
 yt 3 
pháp tuyến. 
Đường thẳng d 2 có thể viết lại dưới dạng d2 : 2 x 3 y 6 0 . Khi đó nhận n2 2;3 làm 
vectơ pháp tuyến. 
 nn.
 12 8 0
Ta có: cos d1 , d 2 cos n 1 , n 2 d 1 , d 2 7,12 . 
 nn11 65
 Ví dụ 6 
 Ví 
Cho hai điểm AB 2;5 , 4;3 . Tính số đo của góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng
 d: y 2 x 6. 
 Lời giải 
 1
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương u AB 1; 1 . 
 1 2
Đường thẳng d: y 2 x 6 có thể viết lại dưới dạng d: 2 x y 6 0 nhận n2 2; 1 làm vectơ 
pháp tuyến nên có vectơ chỉ phương u2 1;2 . 
 1 0
Do đó: cos AB , d cos u12 , u AB , d 71,57 . 
 10
 Ví dụ 7 
 Ví 
Tìm m để góc giữa hai đường thẳng d1 : m 3 x m 1 y m 3 0 và d2 : x 2 y 5 m 7 0 
bằng 900 . 
 Lời giải 
Hai đường thẳng dd12, lần lượt có vectơ pháp tuyến n12 m 3; m 1 , n 1;2 . 
 0
Để dd12, 90 thì n12. n 01. m 32. m 10 m 5. 
BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Câu 1: Cho hai đường thẳng d1 : x 2 y 4 0 và d2 : 2 x y 6 0. Tính góc giữa hai 
 đường thẳng d1 và d2 . 
 A. 30. B. 60. C. 90. D. 45. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Cách 1 : 
 n1 (1;2)
 Từ đề bài ta có véctơ pháp tuyến của dd12, là . 
 n2 (2; 1)
 nn. 1.2 2.( 1)
 Ta có : cos(d , d ) cos( n , n ) 12 0 . 
 1 2 1 2 2 2 2 2
 nn12. 1 2 . 2 1
 (dd , ) 900 
 12
3 | 
 nn12. 1 0
 cos d1 ; d 2 cos n 1 ; n 2 d 1 ; d 2 45 
 nn12. 2
 xy 15
Câu 6: Góc giữa hai đường thẳng d : ; d: x – 3 y 6 0 là: 
 1 21 2
 A. 30. B. 60. C. 45. D. 23 12' . 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đường thẳng: có véctơ pháp tuyến n1 1;2 
 Đường thẳng: có véctơ pháp tuyến n2 1; 3 
 Đặt góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là . 
 1.1 2. 3 2
 cos 45  . 
 12 2 2 . 1 2 3 2 2
Câu 7: Cho hai đường thẳng d1 : x 2 y 4 0 và d2 : y 2 x 6 . Góc giữa hai đường thẳng 
 d1 và d2 là : 
 A.30. B. 60. C. 90. D. 45. 
 Lời giải 
 Chọn C 
 Đặt góc giữa hai đường thẳng và là . Khi đó được tính bằng công thức: 
 1.2 2. 1 
 cos 0 90  . 
 12 2 2 . 2 2 1 2
 Cách 2: Nhận thấy a. a bb . 1.2 2. 1 0 d12  d . dd12; 90 
 xy
Câu 8: Tính côsin góc giữa hai đường thẳng: d:5 x y 3 0 ; d ': 1. 
 15
 6 8 10 12
 A. B. C. . D. . 
 13 13 13 13
 Lời giải 
 Chọn D 
 n (5;1)
 Từ đề bài ta có véctơ pháp tuyến của dd,' là . 
 n' (5; 1)
 5.5 1 1 12
 cos dd , ' 
 25 1. 25 1 13
 xt 15 12
Câu 9: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 :3xy 4 1 0 và 2 : . 
 yt 15
 33 63 63 33
 A. . B. . C. . D. . 
 65 65 65 65
 Lời giải 
 Chọn D 
 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 1 là n1 (3;4). 
5 | 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Cho đường thẳng d có phương trình: xy 2 5 0. Viết phương trình đường thẳng qua 
M 2;1 và tạo với d một góc 450 . 
 Lời giải 
Gọi là đường thẳng cần tìm; n A, B là VTPT của AB22 0 
Để lập với d một góc 450 thì: 
 0 AB 2 1 2 22 AB 3
cos45 2 ABAB 2 5 
 AB22 .5 2 BA 3
+ Với AB 3 , chọn BA 13 ta được phương trình :3xy 5 0. 
+ Với BA 3 , chọn AB 13 ta được phương trình :xy 3 5 0 
 Ví dụ 2 
 Ví 
Cho đường thẳng d có phương trình: xy 3 3 0 . Viết phương trình đường thẳng qua 
A 2;0 và tạo với d một góc 450 . 
 Lời giải 
Gọi là đường thẳng cần tìm; n A, B là VTPT của AB22 0 
Để lập với d một góc 450 thì: 
 0 AB 3 1 2 22 AB 2
cos45 2 ABAB 3 10 
 AB22 . 10 2 BA 2
+ Với AB 2 , chọn BA 12 ta được phương trình :2xy 4 0 . 
+ Với BA 2 , chọn AB 12 ta được phương trình :xy 2 2 0 
 Ví dụ 3 
 Ví 
Viết phương trình đường thẳng đi qua B( 4;5) và tạo với đường thẳng : 7xy 8 0 một góc 
450 
 Lời giải 
 22
 Gọi đường thẳng d đi qua B( 4;5) có véctơ pháp tuyến n ( A ; B ); A B 0 
7 | 
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 2 x y 2 0 và 
d2 : 2 x 4 y 7 0 . Viết phương trình đường thẳng qua điểm P(3;1) cùng với dd12, , tạo thành 
tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d 2 . 
 Lời giải 
 Gọi phương trình đường thẳng d đi qua điểm P có véctơ pháp tuyến 
 n ( A ; B ), A22 B 0, 
 Theo giả thiết ta có d, d1 d , d 2 cos d , d 1 cos d , d 2 
 | 2ABAB | | 2 4 |
 5ABAB2 2 2 5  2 2
 AB 3
 2(2ABAB ) 2 4
 2  | 2ABAB | | 2 4 | 1 
 2(2ABAB ) 2 4 AB 
 3
 Với AB 3 chọn B 1; A 3 d :3 x y 10 0 
 1
 Với AB chọn B 3; A 1 d : x 3 y 0 
 3
 Ví dụ 6 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc , cho tam giác cân PQR , biết phương trình cạnh đáy 
PQ: 2 x 3 y 5 0, cạnh bên PR: x y 1 0. . Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi 
qua điểm D(1;1) 
 Lời giải 
 Gọi véctơ pháp tuyến của RQ là n ( A ; B ), A22 B 0, 
 Vì tam giác PQR cân tại R nên (RQ , PQ ) ( PQ , PR ) cos( RQ , PQ ) cos( PQ , PR ) 
 | 2AB 3 | 1
 2  | 2ABAB 3 | 22 
 13  AB22 13 2
 AB 
 7A22 24 AB 17 B 0 17 
 AB 
 7
 17
 Với AB chọn B 7; A 17 RQ :17 x 7 y 24 0 . 
 7
 Với AB chọn loại vì RQ / /PR . 
 Vậy đường thẳng cần tìm là RQ:17 x 7 y 24 0 . 
 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 
 I 
 =
 =
9 | =I