Chuyên đề Phương pháp viết phương trình đường thẳng - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1. Vectơ= chỉ phương của đường thẳng. 
- Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu u 0 và giá của của u song song 
hoặc= trùng với . 
2. PhươngI trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng. 
- Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng đi qua điểm M x00; y và nhận vectơ u u12; u làm 
 x x01 u t
vectơ chỉ phương có phương trình tham số là . 
 y y02 u t
-Trong mặt phẳng cho đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ 
 x x y y
u a;0 b ab làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là 00 . 
 ab
 u2
- Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương u u12; u với u1 0 thì hệ số góc của là k . 
 u1
- Nếu đường thẳng có hệ số góc k thì vectơ uk 1; là một vectơ chỉ phương của . 
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng. 
- Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu n 0 và n vuông góc với vectơ 
chỉ phương của . 
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng. 
- Phương trình ax by c 0 với ab22 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 
- Trong mặt phẳng cho đường thẳng đi qua điểm và nhận vectơ n a; b làm 
vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là axx 00 byy 00 axbyc với 
c ax00 by . 
 u b; a 
- Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n a; b vectơ chỉ phương là . 
 u b; a 
 n u21; u 
- Đường thẳng có vectơ chỉ phương u u12; u vectơ pháp tuyến là . 
 n u21; u 
5. Công thức giải nhanh 
Cho đường thẳng d1 :0 ax by c và d2 :0 a x b y c cắt nhau tại một điểm. Khi đó phương 
trình các đường phân giác của các góc tạo bởihai đường thẳng trên là 
ax by c a x b y c
 a2 b 2 a 2 b 2
 qua A 2;1 
Ta có : PTTQ :325103510 x y x y . 
 VTPT n 3;5 
 Ví dụ 6 
 Ví 
Lập phương trình tổng quát đường thẳng , biết đi qua điểm M 4;3 và có vectơ chỉ phương 
u 6;1 . 
 Lời giải 
Do đường thẳng có vectơ chỉ phương u 6;1 nên vectơ pháp tuyến của là n 1;6 . 
Phương trình tổng quát của : 1 x 4 6 y 3 0 x 6 y 14 0 . 
 Ví dụ 7 
 Ví 
Lập phương trình tổng quát đường thẳng , biết đi qua điểm H 2; 2 và K 5; 1 
 Lời giải 
Ta có: qua H , K nên vectơ chỉ phương của là HK 7;1 vectơ pháp tuyến của là 
n 1;7 PTTQ :1 x 27 y 20 x 7120 y . 
 Ví dụ 8 
 Ví 
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng , biết đi qua điểm E 1;2 và có hệ số góc 
 1
 k . 
 2
 Lời giải 
 1 1
Do có hệ số góc k nên vectơ chỉ phương của đường thẳng là u 1; vectơ pháp 
 2 2
 1 1 1 5
tuyến của là n ;1.Phương trình tổng quát của : x 1 1 y 2 0 x y 0 . 
 2 2 2 2
Cách 2 : đi qua điểm và có hệ số góc nên có phương trình: 
 1 1 5
y x 1 2 x y 0 . 
 2 2 2
 Ví dụ 9 
 Ví 
Cho tam giác ABC có ABC 1 ; 4 , 3 ; 2 , 7 ; 3 . Lập phương trình đường cao của tam giác 
 kẻ từ A. 
 Lời giải 
Ta có BC 4 ; 1 
Phương trình đường cao tam giác ABC kẻ từ A là: 4 x 1 y 4 0 4 x y 8 0 
 2x y 4 0 x 2
Gọi H x; y ,khi đó xy, là nghiệm của hệ: Từ đó H 2; 0 
 x y 2 0 y 0
Ta có CH AB mà AB:7 x y 4 0 nên CH có VTPT n 1;7 
Vậy có phương trình:1 x 2 7 y 0 0 x 7 y 2 0 . 
 Ví dụ 14 
 Ví 
Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: 
 a. d đi qua A 1;2 và song song với đường thẳng 5x 1 0 . 
 b. đi qua B 7; 5 và vuông góc với đường thẳng xy 3 6 0 . 
 Lời giải 
 a. song song với đường thẳng nên nó nhận u 0; 5 là một vectơ chỉ phương. 
 x 1
 Vậy có phương trình tham số và không có phương trình chính tắc. 
 yt 25
 b. vuông góc với đường thẳng nên nó nhận vectơ pháp tuyến u 1;3 của 
 xt 7
 đường thẳng này làm vectơ chỉ phương. Vậy có phương trình tham số và có 
 yt 53 
 xy 75
 phương trình chính tắc . 
 13
 Ví dụ 15 
 Ví 
 xt 23
Cho đường thẳng d : . Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường 
 yt 1
thẳng đi qua M 0;1 và vuông góc với d . 
 Lời giải 
d có vectơ chỉ phương u 3;1 . 
Đường thẳng vuông góc với nên có vectơ pháp tuyến là n 3;1 . 
Phương trình đường thẳng đi qua là 3 x 0 1 y 1 0 3 x y 1 0 . 
 xt 
Từ phương trình tổng quát, cho xt ta được phương trình tham số là d : . 
 yt 13
 Ví dụ 16 
 Ví 
a. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u 2;2 . Chuyển về dạng phương trình tổng quát: 
xy 10 . 
Phương trình đường thẳng MI là: xy 20 . 
Toạ độ toạ hình chiếu I của điểm M là nghiệm hệ phương trình 
 1
 x 
 xy 1 2 13
 I ; 
 xy 2322
 y 
 2
b. Vì M ' đối xứng với M qua đường thẳng d nên I là trung điểm của MM '. Suy ra 
 xMIM' 22 x x 
 M ' 2; 4 
 yMIM' 24 y y 
Bình luận: 
 1. Cho điểm M xMM; y và đường thẳng d:0 Ax By C . Tìm tọa độ I là hình chiếu vuông 
góc của M trên d . 
 Lời giải 
 Ax By C
Bước 1: Tìm số t như sau: t MM 
 AB22 
 xIM x At
Bước 2: Ta có 
 yIM y Bt
Áp dụng: 
Câu a. Phương trình tổng quát của đường thẳng d : và M 3;1 
 3 1 1 5
+ Tìm số t 
 1 1 2
 5
 x 3 1.
 I 2 15
+ Tọa độ điểm I thỏa mãn: I ; 
 5 22
 y 1 1.
 I 2
2. Cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ M ' là điểm đối xứng của 
M qua d . 
 Lời giải 
Bước 1: Tìm số như sau: 
Tam giác ABC có A 2;0 , B 0;4 , C 4; 1 . Viết phương trình các cạnh AB , AC và 
đường phân giác trong của góc A . 
 Lời giải 
 xy
+) Phương trình cạnh AB là 1 2xy 4 0 . 
 24
 xy 41
+) Phương trình cạnh AC là xy 2 2 0 . 
 2 4 0 1
+) Phương trình các đường phân giác góc A là 
2x y 4 x 2 y 2 xy 20 
 . Đặt f1 x;2 y x y . 
 22 1 2 1 2 2 2 xy 20 
Ta có f1 0;4 6 0và f1 4; 1 3. Do đó B và C nằm khác phía đối với đường thẳng 
xy 20 . Nên đây là đường phân giác trong của góc A . 
Bình luận: 
Viết phương trình đường phân giác trong của góc . 
 Lời giải 
 11
Ta có một vecto chỉ phương của đường phân giác trong góc là u .. AB AC 
 AB AC
 1
Suy ra u 1;1 
 5
Vậy phương của đường phân giác trong góc là1. x 2 1. y 0 0 x y 2 0 
 Ví dụ 21 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng 1 :3xy 4 6 0 , 2 : 4xy 3 1 0 và 
 3 :0y . Gọi A 12  , B 23  , C 31  . 
 a) Viết phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A. 
 b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 
 Lời giải 
 3xy 4 6 0 x 2
a) Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình . Do đó A 2;3 . 
 4xy 3 1 0 y 3
 1
 4xy 3 1 0 x 1
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình 4 . Do đó B ;0 . 
 y 0 4
 y 0
 3x 4 y 6 0 x 0
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình hay C 2;0 . 
 yy 00
Phương trình các đường phân giác của góc của góc A là 
3x 4 y 6 4 x 3 y 1 xy 50 
 32 4 2 3 2 4 2 xy 10 
Đặt f1 x; y x y 5..