Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Toán 12

 BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM
I. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
 1. Hệ tọa độ
 Trong không gian, xét ba trục x Ox ; y Oy ; z Oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi i , j, klần 
 lượt là các vectơ đơn vị các trục x Ox ; y Oy ; z Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề-các 
 vuông góc Oxyz trong không gian hay hệ tọa độ Oxyz .
 Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
 2 2 2 
 Chú ý: i j k 1 và i. j i.k k. j 0 .
 2. Tọa độ của một điểm
  
 a) Định nghĩa: M x; y; z OM x.i y. j z.k (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
 Chú ý: M Oxy z 0;M Oyz x 0;M Oxz y 0
 M Ox y z 0;M Oy x z 0;M Oz x y 0 .
 b) Tính chất: Cho A xA; yA; zA  xB ; yB ; zB 
  
 AB xB xA; yB yA; zB zA 
  2 2 2
 AB AB xB xA yB yA zB zA 
 xA xB yA yB zA xB 
 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ; ; 
 2 2 2 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
 xA xB xC yA yB yC zA zB zC 
 G ; ; 
 3 3 3 
 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
 xA xB xC xD yA yB yC yD zA zB zC zD 
 G ; ; 
 4 4 4 
 3. Tọa độ vectơ
 Định nghĩa:u x; y; z u x.i y. j z.k
  
 Nhận xét: M x; y; z OM x; y; z 
II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TOÁN VECTƠ
 Định lý:Trong không gian Oxyz cho a a1;a2;a3 ;b b1;b2;b3 ;k R
 a b a1 b1;a2 b2;a3 b3 V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
 1. Định nghĩa
 Trong không gian M a;b; c cho hai vectơ a a1;a2;a3 và b b1;b2;b3 . Tích có hướng 
  
 a b 
 của hai vectơ và kí hiệu là a,b , được xác định bởi
  a a a a a a 
 a,b 2 3 ; 3 1 ; 1 2 a b a b ;a b a b ;a b a b
 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 
 b2 b3 b3 b1 b1 b2 
 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
 2. Tính chất
 a,b  a; a,b  b
 a,b b,a 
 i, j k; j,k i; i,k j;
 ([Chươnga,b] a trình. b .si nnâng a,b cao)
 3. Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
   
 a,b c 
 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng a,b .c 0
   
 S AB,AD 
 Diện tích hình bình hành ABCD : ABCD 
 1   
 Diện tích tam giác ABC : S AB,AC 
 ABC 2 
    
 V AB, AD .AA'
 Thể tích khối hộp ABCDA'B'C 'D' : ABCDA'B'C 'D' 
 1    
 Thể tích tứ diện:ABCD V AB,AC .AD
 ABCD 6 
 Chú ý:
 – Tích vô hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính 
 góc giữa hai đường thẳng.
 – Tích có hướngcủa hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, 
 thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ 
 cùng phương.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
 Dạng 1: Các bài toán liên quan tọa độ điểm, tọa độ của vectơ
 {Tìm tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa tính chất nào đó, tìm tọa độ trung điểm, trọng tâm, trực 
 tâm, đỉnh của hình bình hành, đỉnh của một hình đa diện,}
PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 2 2 2 2 2 2
 x 1 y 1 0 5 x 3 y 4 0 4 
 2 2 2 2 2 2
 x 1 y 1 0 5 x 4 y 6 0 1 
 4x 10y 14 0 2x 5y 7 x 16
 . 
 2x 4y 12 0 x 2y 6 y 5
 Vậy M 16; 5;0 .
Ví dụ4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm K 2;4;6 , gọi K ' là hình chiếu vuông góc của 
 K trên trục Oz . Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng OK ' ?
 Lời giải
 Vì K ' là hình chiếu vuông góc của K 2;4;6 lên trục Oz nên K ' 0;0;6 .
 Gọi I x1; y1; z 1 là trung điểm OK '. Suy ra I 0;0;3 .
Ví dụ5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho A( 2;2; 1) , B 2;3;0 , C x;3; 1 . Tìm các giá trị 
 của x để tam giác ABC đều?
 Lời giải
 Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB
 5 1 2 1
 Ta có: M 2; ; ,AB 2 , CM (x 2) 
 2 2 2
 Tam giác ABC đều khi và chỉ khi 
 3 2 1 6 2 x 1
 CM AB (x 2) (x 2) 1 
 2 2 2 x 3
 x 1
 Vậy: là các giá trị cần tìm.
 x 3
 VẬN DỤNG THẤP VÀ VẬN DỤNG CAO
Ví dụ6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có 
 A 2;0; 3 , B 4;1; 1 ,C 4; 4;1 . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác 
 ABC.Tìm tọa độ điểm D.
 Lời giải
 A
 B
 D C
 Theo tính chất phân giác trong, ta có:
 DB AB  AB  
 DB DC 1 
 DC AC AC x 5 2 y 3 2 z 1 2 x 2 2 y 3 2 z 4 2
 2 2 2 2 2 2
 x 5 y 3 z 1 x 1 y 2 z
 x 5 2 y 3 2 z 1 2 18
 10
 x 
 3
 z 1 x z 1 x x 2 
 2
 y 16 5x y 16 5x y 6  y .
 3
 2 2 2 3x2 16x 20 0 z 1 
 x 5 y 3 z 1 18 7
 z 
 3
 10 2 7 
 Vậy: D 2;6; 1  D ; ; .
 3 3 3 
PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. [2H3-1.1-1] Trong không gian Oxyz , gọi i, j,k là các vectơ đơn vị, khi đó với M x; y; z thì 
  
 OM bằng:
 A..xB.i .C.y.jD. .k z xi y j k z x j yi k z xi y j k z
 Lời giải
 Chọn A
  
 OM xi y j k z .
Câu 2. [2H3-1.1-1] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba vectơ: a (2; 5;3) ,b 0;2; 1 ,
  
 c 1;7;2 . Tọa độ vectơ d a 4b 2c là:
 A..(B.0;.2C.7;.D.3). 1;2; 7 0; 27;3 0;27; 3 
 Lời giải
 Chọn C
  
 Có d a 4b 2c
 2; 5;3 4 0;2; 1 2 1;7;2 
 2; 5;3 0;8; 4 2;14;4 
 2 0 2; 5 8 14;3 4 4 
 0; 27;3 .
  
 Vậy d 0; 27;3 .
Câu 3. [2H3-1.1-2] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC với 
 A 3; 2;5 , B 2;1; 3 và C 5;1;1 . Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là: