Chuyên đề Phương pháp tính thể tích của khối lăng trụ xiên - Hình học 12

 Hình học lớp 10 | 
 HÌNH HỌC 12. 
 CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3. KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
 BÀI 3-Dạng 5: Thể tích khối lăng trụ xiên 
A. LÝ THUYẾT 
+ Thể tích của khối lăng trụ là V S. h với S là diện tích đáy và h là chiều cao. 
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (Có giải chi tiết) 
DẠNG 1. Tính thể tích lăng trụ xiên bằng cách xác định chiều cao và diện tích đáy 
Phương pháp giải (kiến thức cần nhớ): Chiều cao của lăng trụ bằng khoảng cách từ một điểm 
thuộc mặt đáy này đến mặt đáy kia. Thông thường ta xác định chiều cao bằng cách tìm hình chiếu 
vuông góc của một đỉnh lên mặt đáy còn lại rồi tính khoảng cách giữa hai điểm đó. 
 Ví dụ 1 
 Cho hình lăng trụ có , , , . Hình chiếu 
 vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trung điểm của đoạn thẳng . Tính theo 
 thể tích của khối lăng trụ . 
 Lời giải 
 C' B'
 A'
 C a
 B
 a 2 135°
 M
 A
 1 a2
Diện tích tam giác ABC là S CACB. .sin ACB . 
 ABC 22
Trong tam giác ABC ta có 
 2 2 2 2 2 2 2
AB CA CB 2 CACB . .cos ACB 2 a a 2. a 2. a . 5 a . 
 2
Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến thì 
 2 2 2 2 2 2
 2 CA CB AB 2 2 a a 5 a a2
CM 2 . 
 4 4 4
1 Hình học lớp 10 | 
 B' C'
 A'
 4a
 B C
 H
 a
 A
 a2 3
Diện tích tam giác ABC là S . 
 ABC 4
Gọi H là hình chiếu của B trên BC . Từ giả thiết suy ra B H ABC . 
 1 1
Diện tích tam giác BB C là S BB . BC .sin B BC 4aa . .sin30 a2 . 
 BB C 2 2
 1 2S 2a2
Mặt khác S B H. BC BH BB C 2a . 
 BB C 2 BC a
 a2 3 a3 3
Thể tích khối lăng trụ ABC. A B C là VBHS . 2.a . 
 ABC 4 2
Bài tập luyện tập 
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A , AB a , AA 2 a, 
hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh BC . Tính thể tích 
của khối lăng trụ ABC. A B C theo a . 
 Lời giải 
 A' C'
 B'
 A
 C
 H
 B
 1 a2
Diện tích tam giác ABC là S AB. AC . 
 ABC 22
 12a
Vì tam giác ABC vuông cân đỉnh có nên BC a 2 , AH BC . 
 22
 2aa2 14
Tam giác AA' H vuông tại H nên A H AA2 AH 2 4 a 2 . 
 42
3 Hình học lớp 10 | 
 A' C'
 B'
 A C
 H
 M
 B
Gọi H là trung điểm của MC . 
 A H MC
Ta có A MC  ABC A H  ABC . 
 A MC  ABC MC
 MC 23 a
Tam giác MA C đều cạnh 23a 
 A H 3 a
 BC 2 x
Đặt AC x 0, tam giác ABC vuông tại A có ABC 30 
 AB x 3
Áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến ta có 
 CA2 CB 2 AB 2 x 24 x 2 3 x 2 4 a 3
 CM22 12 a x . 
 2 4 2 4 7
 1 1 12a 4 a 3 24 a2 3
Suy ra S AB... AC . 
 ABC 2 277 7
 72a3 3
Do đó VAHS . . 
 ABC. A B C ABC 7
 3a
Bài 4. Cho lăng trụ ABC. A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , AA . Biết rằng hình 
 2
chiếu vuông góc của A lên ABC là trung điểm BC . Thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C là 
 a3 2 32a3 a3 6 2a3
A. . B. . C. . D. . 
 8 8 2 3
 a2 3
Bài 5. Cho lăng trụ ABC. A B C có đáy ABC là tam giác đều có diện tích bằng , AA a , 
 4
hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC là trọng tâm của tam giác ABC . Thể tích V của 
khối lăng trụ là 
 a3 2 a3 2 a3 a3 2
A. V . B. V . C. V . D. V . 
 4 12 4 6
5 Hình học lớp 10 | 
 A' C'
 B'
 60°
 A C
 G
 a M
 B
 a2 3
Diện tích tam giác đều ABC là S . 
 ABC 4
Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác đều ABC . 
Vì AAABAC nên A G ABC . 
Khi đó, góc giữa cạnh bên AA và mặt đáy là A AG 60 . 
 2 2aa 3 3 a 3
Ta tính được AG AM  và A G AGtan A AG  3 a . 
 3 3 2 3 3
 a3 3
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C là VSAG . . 
 ABC 4
 Ví dụ 3 
 Cho hình lăng trụ có đáy là tam giác vuông tại cạnh và 
 . Biết tứ giác là hình thoi có nhọn. Biết vuông góc với 
 và tạo với góc . Tính thể tích khối lăng trụ . 
 Lời giải 
7 Hình học lớp 10 | 
 A'
 B'
 H C'
 A B
 G
 N
 M
 C
Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác . ABC
Dễ thấy AM BC , A G BC BC A AM . 
Gọi H là hình chiếu của M lên AA . 
 a 3
Từ đó suy ra khoảng cách giữa hai đường AA và BC bằng MH . 
 4
 a 3 a2
Đặt A G x , ta tính được AM , A A A G2 AG 2 x 2 . 
 2 3
 33 aa2
Ta có AGAMHMAA ... xa a  x2 x . 
 2 4 3 3
 a a2333 a
Thể tích V của khối lăng trụ ABC. A B C là VAGS .  . 
 ABC 3 4 12
Bài tập luyện tập 
Bài 1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A B C có đáy là tam giác đều cạnh a , góc giữa hai mặt 
phẳng A BC và ABC bằng 60, AAABAC . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC. A B C 
. 
 Lời giải 
9 Hình học lớp 10 | 
Áp dụng định lý côsin cho tam giác ABD suy ra BAD 120o . Do đó ABC , ACD là các tam 
giác đều cạnh a 3. 
Gọi OACBD  , ta có BO A B C D . 
Kẻ OH A B tại H, suy ra A B BHO . Do đó ABCD ,. CDD C BHO 
 21 2
Từ cosBHO tan BHO . 
 7 3
 23a
 BO HO.tan BHO A O .sin600 . . 
 3 2
 aa393
Vậy V . a 3. a 3.sin600 . 
 ABCD. A B C D 24
Bài 3. Cho khối trụ tam giác ABC. A B C có đáy là tam giác vuông cân cạnh huyền AB 2 . Mặt 
phẳng AA B vuông góc với mặt phẳng ABC , AA 3 , góc A AB nhọn và mặt phẳng A AC 
tạo với ABC một góc 60. Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A B C . 
 Lời giải 
 1
Ta có CA CB 1 S . 
 ABC 2
Kẻ A H AB. Vì nhọn nên H thuộc tia AB . 
Vì A AB  ABC A H ABC . 
Qua H kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AC tại K HK AC . 
 A AC , ABC A KH 60  và AHK vuông cân tại K . 
Đặt AK HK x AH x 2 ; A' H HK .tan 60  x 3 . 
 15 35
Tam giác A HA vuông tại H A H2 AH 2 AA 2 53x2 x AH . 
 5 5
11