Chuyên đề Phương pháp tính nguyên hàm - Đại số 12

 NGUYÊN HÀM 
 3 
 CHƯƠNG
 Chuyên đề. NGUYÊN HÀM 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
I. MỘT= SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Định nghĩa: 
 = Cho hàm số f xác định trên D . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên D nếu 
F'( xI ) f ( x ) với mọi x thuộc D. 
2. Định lý: Giả sử hàm số Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên D . Khi đó: 
  Với mỗi hằng số C, hàm số G x F() x C cũng là một nguyên hàm của fx trên D . 
  Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên D thì mọi nguyên hàm của fx trên D 
đều có dạng F x C , với C là một hằng số 
 Kí hiệu: f( x )d x F ( x ) C , C : Là họ tất cả các nguyên hàm của của hàm số fx trên D. 
3. Các tính chất 
 f x d x f x và f x d x f x C 
 k. f x d x k . f x d x , k là hằng số khác 0 
  fx() gx ()d x fxx ()d gxx ()d 
4. Sự tồn tại nguyên hàm: Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 
5. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
 Nguyên hàm của hàm số hợp ux u( ) 
 Nguyên hàm 
 du u '( x ).d x 
  0.dxC 
  dx 1.d x x C  du u C 
 xα+1 uα+1
  xα .d x C (α 1)  uα .d u C (α 1) 
 α1 α1 
 dx du
  ln |xC |  ln |uC | 
 x u
1 | 
 27x 7
Ta có fx 2 . 
 x x
Do đó nguyên hàm của hàm số là F x 2 x 7ln x C . 
 '
Vì F' x 2 x 7ln x C . 
 Câu 4 
 [Mức độ 1] Tìm nguyên hàm Fx của hàm số biết F 11 . 
 Lời giải 
 33 3xx23
Ta có họ các nguyên hàm của hàm số f x x x2 x 0 có dạng: F x C 
 22 42
 31 1
Mà FC 1 1 ( 1)23 .( 1) 1 C . 
 42 4
 31xx23
Từ đó hàm số fx có một nguyên hàm là Fx . 
 4 2 4
 Câu 5 
 21x 
 [Mức độ 2] Cho là một nguyên hàm của hàm số fx thỏa mãn . Tìm 
 23x 
 : 
 Lời giải 
 21x 4
Ta có F x d x 1 dx x 2ln 2 x 3 C . 
 23x 23x 
Lại có F(2) 3 2 2ln 1 C 3 C 1. 
 Câu 6 
 [Mức độ 2] Tìm nguyên hàm của hàm số f x 6 x sin3 x , biết . 
 Lời giải 
 cos3x
Ta có: f x d x 6 x sin3 x d x 3 x2 C F x . 
 3
 2 12
Mà F 0 0 .1 C . 
 3 33
 Câu 7 
 2 4 1 1
 [Mức độ 2] Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số fx() . Biết F(1) . Tính 
 x x35 x 4
 1
 F 
 2
 Lời giải 
3 | 
 Câu 11 
 x2
 [Mức độ 2 ] Tìm hàm số Fx biết F x d x và F 01 . 
 x3 1
 Lời giải 
 1 133 1
Ta có: F x 3 d x 1 ln x 1 C . 
 3 x 1 3
 1
Do F 01 nên ln1 CC 1 1. 
 3
 1
Vậy: F x ln x3 1 1. 
 3
 Câu 12 
 [Mức độ 2 ] Tính họ nguyên hàm I x 1 x2 2 x 3 d x 
 Lời giải 
Đặt: t x2 2 x 3 t 2 x 2 2 x 3 t d t x 1 d x . 
 22
 t3 x 2 x 3 x 2 x 3
Ta được: x 1 x22 2 x 3 d x t d t C C 
 33
 Câu 13 
 [Mức độ 2 ] Tính họ nguyên hàm J e2xx. e 1d x 
 Lời giải 
 2t d t ex d x
Đặt: t exx 11 t2 e 
 x 2
 et 1
Ta được: ee22x. x 1d xee x . x 1.d ex x t 1..2d ttt 
 53
 42 tt
 2 t t d t = 2 C 
 53
 2
 ex 1 e x 1 e x 1 e x 1
 2 C 
 53
 Câu 14 
 [Mức độ 2 ] Tính họ nguyên hàm K = cos2x 3-sin2x dx 
 Lời giải 
Đặt: t 3 sin 2 x t2 3 sin 2 x cos 2 xdx tdt 
 t3 3 sin 2xx 3 sin 2
Ta được: cos2x 3 sin 2 x dx t2 dt C C . 
 33
5 | 
 Câu 20 
 ln2 xx 2ln 3
 [Mức độ 3 ] Tính họ nguyên hàm Ix d 
 xxln 2
 Lời giải 
 1
Đặt: t ln x d x d t 
 x
 ln2ln322x x t 23 t 23 3
Ta được: 2dx 2 d t 1 2 d t t 2ln t C 
 xln x t t t t
 3
 lnx 2ln ln x C . 
 ln x
 Câu 21 
 xx2 log 4
 [Mức độ 3 ] Tính họ nguyên hàm Jx 2 d 
 x
 Lời giải 
 2 2
 x log2 4 x log 2 4 xx log 2 4 x
 dx x d x d x 
 x x2 x
 4dx
Đặt: t log 4 x d t d x ln 2d t 
 2 4xx ln 2
 log 4x t 2 ln 2
Ta được: 2 dx ln 2. t d t ln 2. C .log2 4 x C 
 x 222
 xx2 log 4 x2 ln 2
Vậy: 2 dx .log2 4 x C . 
 x 22 2
Dạng 2. Phương pháp đổi biến lượng giác hóa 
Dạng: I f() x dx . 
 PHƯƠNG PHÁP CHUNG 
Ta thực hiện theo các bước sau: 
 Bước 1: chọn x = t , trong đó t là hàm số mà ta chọn thích hợp. 
 Bước 2: lấy vi phân hai vế: dx ' t dt 
 Bước 3: Biến đổi: fxdx()' f t tdt gtdt 
 Bước 4: Khi đó tính: fxdx()()() gtdt Gt C . 
* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: 
 Dấu hiệu Cách chọn 
 x asin t ; t 
 22 22 
 ax 
 x a cost; 0 t 
7 | 
 u f1 x du
 Bước 2: Đặt: 
 v
 dv f2 x dx . 
 Bước 3: I uv vdu. 
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân 
thủ các nguyên tắc sau: 
 - Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng. 
 - Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I. 
Khi lựa chọn hàm đặt u ta ưu tiên theo thứ tự “NHẤT LOG – NHÌ ĐA – TAM LƯỢNG – TỨ MŨ” 
2.Một số dạng thường gặp: 
 u Pn () x
 sin ax 
 sin ax
Dạng 1: I P() x cosax dx Đặt: 
 n dv cos ax dx
 ax 
 e
 ax
 e
Chú ý: 
- Ta phải tính n lần tích phân từng phần 
 P( x ).sin f ( x ). dx
 n
TQ: P( x ).cos f ( x ). dx u P ( x ) 
 nn
 P( x ). efx() . dx
 n
 Câu 24 
 [Mức độ 2 ] Tìm nguyên hàm Fx của hàm số f x x.e2x . 
 Lờigiải 
Ta có F x x.e2x d x . 
 du dx
 ux 
Đặt . 
 2x 1 2x
 dv e ve 
 2
 2xx 2 x1 2 x x 22xx1 112x 
Khi đó F x x.e d x e e d x ee C e xC . 
 22 24 22 
 112x 
Vậy F x e x C . 
 22 
 Câu 25 
 [Mức độ 2 ] Tính xsin 2 xdx. 
 Lời giải 
 du dx
 ux 
Đặt 1 . 
 dv sin 2 xdx vx cos2
 2
9 |