Chuyên đề Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau - Hình học Lớp 11

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG 
 THẲNG CHÉO NHAU 
1. Phương pháp giải: 
Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung 
Ta có các trường hợp sau đây: 
a) Gải sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau. 
Cách 1: 
- Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b . 
- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM  tại M . 
- Từ dựng bb cắt a tại A . 
- Từ A dựng AB MM cắt b tại B . Ta có d a, b AB . 
- Tính độ dài đoạn thẳng AB . 
Cách 2: 
- Dựng mặt phẳng  a tại O , cắt b tại I . 
- Dựng hình chiếu vuông góc của là b trên . 
- Trong mặt phẳng , vẽ OH b tại Hb . 
- Từ H dựng đường thẳng song song với cắt b tại B . 
- Từ dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A . 
- Khi đó . 
- Tính độ dài đoạn thẳng . 
b) Gải sử và là hai đường thẳng chéo nhau và ab . 
- Ta dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B . 
- Trong mặt phẳng dựng BA a tại A . 
1 | 
 Phương pháp: 
Gọi  là mặt phẳng đáy, Ba   . 
Trong mặt phẳng kẻ đường thẳng b đi qua B và song song với đường thẳng b . 
Gọi là mặt phẳng đi qua đường thẳng a và đường thẳng b . 
Khi đó b d a, b d b , 1 . 
Chọn điểm Sa , kẻ SA   tại A . 
Chọn điểm Mb và gọi I  AM b (chọn B sao cho tính IM, IA dễ nhất). 
 IM
Suy ra d b,,., d M d A . 
 IA
Bài toán trở thành tính khoảng cách dA , . 
c. Bài toán 3: Hai đường thẳng ab, chéo nhau và không vuông góc với nhau, không có đường thẳng nào 
nằm trên mặt phẳng đáy. 
Với bài toán này ta thường dùng một trong hai phương pháp sau: 
 Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó và tính độ dài đoạn vuông góc 
chung. 
 Phương pháp 2: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
3. Các dạng bài tập khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Bài toán 1: Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc 
 Bài 38 
 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , ; vuông góc với mặt 
 phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
 Lời giải 
 Ta có AC SA, AC AB suy ra AC SAB . 
 Trong tam giác SAB dựng AH SB . 
3 | 
 Bài 40 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh 2a, , tạo với đáy một góc 
 . Tính khoảng cách giữa và . 
 Lời giải 
 Nhận xét AB () SAD 
 Kẻ AH () SD d(,) AB SD AH 
 S
 H
 D
 A
 B
 C 
 +) Tính AH 
 Có SA AB.tan 450 2 a 
 Xét tam giác vuông SAD có AH là đường cao 
 1 1 1
 AH a 2 
 AH2 SA 2 AD 2
 Vậy d( AB , SD ) a 2 . 
 Bài 41 
 Cho hình chóp đều , là tâm đáy, , . Tính khoảng cách 
 giữa hai đường thằng và . 
 Lời giải 
 S
 H
 D
 A
 O I
 B C
 Giả thiết có SO () ABCD 
5 | 
 a
 .a
 DN.5 DC a
 ID.. NC DN DC ID 2 . 
 NC a 5 5
 2
 a5 a 5 3 a 5
 MI DM ID 
 2 5 10
 35a
 d SM; CN 
 10
 Bài 43 
 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , , mặt phẳng 
 vuông góc với mặt phẳng . Biết , . Gọi H là chân đường 
 cao hạ từ S xuống đáy ABC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và . 
 Lời giải 
 S
 B B
 H
 K
 A 
 Trong SBC , kẻ SH BC tại H . Ta có SBC  ABC nên SH ABC . 
 Ta có SBH vuông tại H có: 
 SH SB.sin 30  a 3 ; BH SB.cos30  3 a ; 
 HC BC BH 43 a a a . 
 Trong ABC , kẻ HK AC, K AC . 
 Vì SH ABC SH  HK 
 HK SH
 Do HK d SH; AC . 
 HK AC
 Xét 2 tam giác vuông CHK và CBA: 
7 | 
 13 13 15 3 3 3
 d(,( B SAD )) .(,( d H SAD )) . . 
 10 10 13 2
 Bài 45 
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . cắt tại tạo với 
 mặt đáy một góc bằng . vuông góc với mặt với là trung điểm . Tính 
 ? 
 Lời giải 
 Ta có d( AB , SD ) d AB , SDC d A, SDC . 
 d A, SDC AC 4
 .
 Mặt khác d H, SDC HC 3 
 1
 Có AC 4 a 2 AH AC a 2 SH AH .tan 60 a 6.
 4 
 3
 HI AD3. a
 4 
 Ta có d H, SDC HK . 
 1 1 1SH . HI 3 10 a
 2 2 2 HK . 
 HK SH HI SH22 HI 5
 4 3 10aa 4 10
 d(A,( SDC )) . . 
 3 5 5
 4 10a
 d(,). AB SD 
 5
9 | 
 BDAC  
 Ta có: B D COO C  CB D COO C 
 B D  CC 
 Lại có CB D  COO C CO . 
 Trong CC O hạ C H CO C H  CB D d BD; CD C H 
 1 1 1 1 1 5 25a
 Khi đó: CH . 
 C H2 CC 2 C O 2 2a 2 a 24 a 2 5
 Bài 48 
 Cho hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng . Tính theo khoảng cách giữa 
 hai đường thẳng và . 
 Lời giải 
 A' C'
 B'
 A C
 M
 B
 Gọi M là trung điểm của BC . 
 a 3
 Do ABC là tam giác đều cạnh a nên ta có AM và AM BC (1). 
 2
 Mặt khác ta lại có ABC. A B C là lăng trụ đều nên AA  ABC AA AM (2). 
 Từ (1) và (2) ta có AM là đoạn vuông góc chung của AA và BC . 
 a 3
 Vậy d AA , BC AM . 
 2
 Bài 49 
 Cho hình lăng trụ đứng , vuông cân tại , , , là trung 
 điểm của , điểm thỏa mãn . Tính khoảng cách giữa và . 
 Lời giải 
11 | 
 Vì B M  ACC A nên BMMC  CM B vuông tại M . 
 IJ CI CI
 Dễ thấy CJI” CM B (g-g) IJ. B M . 
 B M CB CB 
 Ta có CI là đường cao của tam giác vuông MCN 
 1 1 1 1 1 5 a
 CI . 
 2 2 2 2 2 2
 CI CM CN a a a 5
 2
 ABC vuông cân tại B , AC 2 a BC a 2 . 
 Trong tam giác vuông BB C , có: 
 2 2
 CB 2 BC 2 BB 2 a2 2 a 6 a2 CB a 6 . 
 1
 ABC vuông tại B , BM là trung tuyến nên B M A C a . 
 2
 a
 aa30
 IJ 5 . a . 
 a 6 30 30
 a 30
 Vậy d MN, CB . 
 30
 Ví dụ 50 
 Cho hình lăng trụ đứng đáy là hình thoi có cạnh góc 
 thỏa mãn , cạnh bên . Gọi là trung đểm của các cạnh 
 của các cạnh , và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và . 
 Lời giải 
Ta có: AMBKBK// //( AMN ) d (MN;BK) dBK ( ;(AMN)) dB (;(AMN)) 
13 |