Chuyên đề Phương pháp tính giới hạn của hàm số - Đại số Lớp 11

 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG IV 
 BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 I LÝ THUYẾT 
 = 
I. Giới hạn hàm số 
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 
 a) Giới hạn hữu hạn : Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số fx() xác định trên 
 K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số ()xn bất kì, 
 xn K\{} x0 và xxn 0 , ta có f() xn L . Ta kí hiệu: 
 limf ( x ) L hay f() x L khi xx 0 . 
 xx 0
 Các giới hạn đặc biệt: lim xx 0 ; lim cc 
 xx 0 xx 0
 b) Giới hạn vô cực 
 + Ta nói hàm số y f() x có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy 
 số ()xn thỏa xxn 0 thì fx()n . Kí hiệu limfx ( ) . 
 xx 0
 + Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực 
 + Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi hoặc . 
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực 
 + Ta nói hàm số y f() x xác định trên a; có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy 
 số ()xn thỏa xan và xn thì f() xn L . Kí hiệu: limf ( x ) L . 
 x 
 + Ta nói hàm số y f() x xác định trên (;) b có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy 
 số ()xn thỏa xbn và xn thì f() xn L . Kí hiệu: limf ( x ) L . 
 x 
 Các giới hạn đặc biệt: 
 c
 + lim cc ; lim 0 với c là hằng số 
 x x x
 + lim xk với k nguyên dương; lim xk với lẻ, lim xk với chẵn 
 x x x 
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn 
 Định lí 1: 
 a. Nếu limf ( x ) L , lim g ( x ) M thì 
 x x00 x x
 lim f ( x ) g ( x ) L M ; 
 xx 0
 lim f ( x ). g ( x ) L . M ; 
 xx 0
 f() x L
 lim (M 0) 
 xx 0 g() x M
 b. Nếu f( x ) 0, lim f ( x ) L thì limf ( x ) L 
 xx 0 xx 0
 c. limf ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x ) L 
 xx x x x x
 0 00
1 | II CÁC DẠNG BÀI TẬP 
 =
Dạng 1. TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ BẰNG CÔNG THỨC 
1. Phương pháp 
Áp dụng các định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm. 
a. Nếu limf x L , lim g x M thì 
 xx 0 xx 0
 lim f x g x L M ; 
 xx 0
 lim f x . g x L . M ; 
 xx 0
 fx L
 lim M 0 
 xx 0 g x M
b. Nếu fx 0 , lim f x L thì lim f x L 
 xx 0 xx 0
2. Các ví dụ 
 Ví dụ 1 
 Tính giới hạn: . 
 Lời giải 
 Theo định lý ta có: 
 2 2
 x2 1 lim x 1 limx lim1 limxx .lim lim1 3.3 1 10 3
 lim x 3 xx 33 x 3 x 3 x 3 . 
 x 3 3xx lim3 lim3. lim x lim3. limx 3. 3 9
 x 3 xx 33 xx 33
 Ví dụ 2 
 Tìm giới hạn: . 
 Lời giải 
 Ta có: 
 xx2 23 xx 13 
 lim lim lim x 3 4 . 
 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
 Ví dụ 3 
 Cho . Tìm giới hạn . 
 Lời giải 
Ta có: lim f x 3 . x lim f x 3 .lim x lim f x 3 . lim x 5 3. 2 2 . 
 x 2 xx 22 xx 22 
3 | 
 8xx33 1 8
d) lim3 8xx3 1 2 1 lim 1 
 x x 2
 338x3 1 8 x 3 1  2 x 4 x 2
 1 1
 lim 1 lim 1 1. 
 2
 x 2 x x 444 
 22 11 
 x3 8 x3 8  2 x 4 x
 33
 xx
e) limxx23 1 3 1 limx23 1 x x 3 x 1 limx23 1 x lim x 3 x 1 
 x x xx 
 33
 xx22 1 xx 1 
 lim lim
 xx 2 2
 xx 1 x2 x33 x 3 11 x 3 
 11
 lim lim 
 xx 2
 2 1 2 3 11 2 
 xx1 3 3
 2 x x x 11 33 x 
 x xx 
 1111
 lim lim lim lim 0. 
 xx 1 x2 111 xx xx 1 1 2 1 1 1 
 xx1 
 x2
 Ví dụ 2 
 Tìm các giới hạn sau: 
 a) . b) . 
 c) . 
 Lời giải 
 13 13 xx 2 xx 12 x 2 
a) lim 3 lim 3 lim lim2 1. 
 x 1 11 xxx 1 1 x x 1 11 x x x2 x 1 1 xx 
 mn mn11 
b) 
 lim mn lim mn 
 x 1 11 xxx 1 1 x 1 x 1 x 1 x 
 mn11 
 lim mn lim AB 
 xx 11 1 x 1 x 1 x 1 x 
 21m 21m 
 m 1 m 1 x x ... x 1 x 1 x ... 1 x 
 A lim m lim m lim m 
 x 1 11 xxx 1 1 x x 1 1 x
 1 x 1 1 x ... 1 x ... xm 2 1 1 x ... 1 x ... xm 2 
 lim lim 
 x 1 1 x 1 x ... xm 1 x 1 1 xx ... m 1
 1 2 ... m 1 m 1
 lim . 
 x 1 m 2
5 | x xx 2 20
c) lim x 2 2 lim 0 . 
 x 2 x 4 x 2 x 22
 x x
d) limx3 1 limx 1 x2 x 1 
 2 
 x 1 x 1 x 1 xx 11 
 xx 1 
 lim xx2 1 3  0 0 . 
 x 1 x 1 
 1 x 1 x 1 x
e) lim x  lim x lim x 
 2 
 x 1 2 1 xx 1 x 1 2 1 xx 1 x 1 1 xx 2 1 
 11
 lim x  . 
 x 1 21 x 2
 0
Dạng 4. TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG 
 0
 0 fx 
1. Định nghĩa: Dạng tổng quát của giới hạn hàm số dạng là tìm L lim trong đó 
 0 xx 0 gx 
limfx 0 và limgx 0. 
xx 0 xx 0
2. Phương pháp giải 
Định lí: Nếu đa thức fx có nghiệm xx 0 thì ta có: 
 f x x x01 f x . 
 Nếu và gx là các đa thức thì ta phân tích và 
g x x x01 g x . 
 f x x x f x f x 0
Khi đó L lim lim0 1 lim 1 , nếu giới hạn này có dạng thì ta tiếp tục 
 x x x x x x
 0g x 0 x x0 g 1 x 0 g 1 x 0
quá trình như trên. 
 2
Chú ý. Nếu tam thức bậc hai ax bx c có hai nghiệm x1 , x2 thì ta luôn có sự phân tích 
 2
 ax bx c a x x12 x x . 
 Nếu và là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa 
thức, rồi phân tích các đa thức như trên. 
Các lượng liên hợp: 
 a b a b a b ; 
 3a 3 b 33 a22 3 ab b a b ; 
 nna b n an 1 n a n 2 b ... n b n 1 a b . 
 Nếu và là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, 
chẳng hạn: 
Nếu n ux , m v x c thì ta phân tích: 
7 | 4x 1 3 4xx 1 3 4 1 3 48x 
b) lim2 lim lim 
 xx 22x 4 xx2 4 4 1 3 x 2 x 2 x 2 4 x 1 3 
 42 x 41
 lim lim 
 x 2 x 2 x 2 4 x 1 3 x 2 xx 2 4 1 3 6
 3x 1 4 3xx 1 16 3 4 3 3 x 4 18 9
c) lim lim lim . 
 xx 55 x 5
 34 x 9 xx 4 3 1 4 3x 1 4 84
 Ví dụ 3 
 Tìm các giới hạn sau: 
 a) . b) c) 
 Lời giải 
 333 2
 3 xx 1 x 11 x x 1 1 1
a) lim lim lim lim 
 x 1x 13 x 1 x 1 33 x22 33 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 3 xx2 3 1
 1 33 1 x 1 1 x 3 1 x 2
 11 3 x x 2
b) lim lim lim 
 x 2 x 2 2 x 2
 x 2 x 2 1 3 1 x 3 1 x x 2 1 3 1 x 3 1 x 2
 11
 lim . 
 x 2 1 3 1 xx 3 1 2 3
 4x 1 3 5 x 32 23 5 x 3 4
 4x 5 3 
c) lim lim 
 x 1 3 5x 3 2 x 1 5 xx 1 4 5 3 
 4 3 5xx 32 23 5 3 4
 8
 lim 
 x 1 5 4x 5 3 5
 Ví dụ 4 
 Tìm các giới hạn sau: 
 a) . b) 
 Lời giải 
 3
 xx 15 3 xx 1 2 5 2 
a) lim lim 
 x 3 x 3 x 3 x 3
9 |