Chuyên đề Phương pháp tính giới hạn của dãy số - Đại số Lớp 11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG IV 
 BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
 I LÝ THUYẾT 
I. Định= nghĩa 
1. Đị=nh nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số 
- Định nghĩa 1: Ta nói dãy số u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u có thể 
 = n n
nhỏ hơnI một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu: limu 0 hay u 0 khi n . 
 n n n
- Định nghĩa 2: Ta nói dãy số v có giới hạn là a khi , nếu limva 0. 
 n n n 
Kí hiệu: lim va hay va khi . 
 n n n
2. Định nghĩa giới hạn vô cực của dãy số 
- Ta nói dãy số có giới hạn là khi , nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, 
kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Kí hiệu: limun hay un khi . 
- Dãy số có giới hạn là khi , nếu lim un . 
Kí hiệu: limun hay un khi . 
II. Một số giới hạn đặc biệt và định lí về giới hạn dãy số. 
 Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 
 k 
 11 limn lim n ( k )
 lim 0; lim 0(k ) nn 
 nn nn k 
 n
 n limqq ( 1)
 limqq 0 ( 1) n 
 n 
 2. Định lí: 
 lim CC 
 n 
 1
 a) Nếu lim un thì lim 0 . 
2. Định lí: 
 un
a) Nếu lim uan ; limvbn thì 
 un
 b) Nếu ; lim vn thì lim 0 
 lim(unn v ) a b
 vn
 lim(unn v ) a b
 c) Nếu limunn a 0,lim v 0 
 lim(unn . v ) a . b 
 un (av .n 0)
 un a thì lim 
 lim (b 0) v (av . 0)
 vb n n
 n
 d) Nếu limu , lim va 
b) Nếu un 0; và limua thì a 0 và n n
 n n 
 (a 0)
lim ua 
 n thì lim(uvnn . ) 
 (a 0)
c) Nếu u  v; n và limv 0 thì limu 0 
 nn n n
d) Nếu thì lim ua 
 n
Vậy limvn 2 
 Ví dụ 3 
 n
 Tìm giới hạn I lim 3 . 
 Lời giải 
 I lim 3n . 
 Ví dụ 4 
 n
 2
 Tìm giới hạn I lim . 
 3
 Lời giải 
 n
 2 22
 lim 0 (Vì 1). 
 n 3 33
 Ví dụ 5 
 n
 1
 Tìm giới hạn I lim . 
 3
 Lời giải 
 Ta có limqn 0 nếu q 1. 
 n
 1 1
 Mà 1. Vậy lim 0 . 
 3 3
 Ví dụ 6 
 n
 Tìm giới hạn lim 2 . 
 n 
 Lời giải 
 Ta có 21 nên lim 2n 
 n 
 Ví dụ 7 
 Phát biểu nào sau đây là sai ? 
 A. ( là hằng số ). B. . 
 limCC C q 1 
 1 1
 C. lim 0 . D. limk 0 k 1 . 
 n n 
 m nm 
 an a a a a a aa 
Ta có: 0   ...    ...   
 n! 1 2 m m 1 n m! m 1
 nm 
 a an
Mà lim 0 . Từ đó suy ra lim 0 . 
 m1 n!
 Ví dụ 12 
 Chứng minh . 
 Lời giải 
 2
 1
Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn nM 3 1. 
 n
 n 2 3
Ta có: n 1 1 n 3 M với  nnM . 
 1 n n+1 
 2n 
Suy ra lim . 
 n1 
 Ví dụ 13 
 n n!
 Tìm giới hạn của dãy số un với un 
 nn3 2
 Lời giải 
 n n!n nn n n 1 1
Với a 0 nhỏ tùy ý, ta có un a n 2 
 n3 2 n n 3 2 n n 3 2 n n 3 n a
 1 n n!
Chọn n , khi đó a 0,  n00 : n n ta luôn có na lim 0 
 0 2 0 3
 a nn 2
 Ví dụ 14Ví Ví 
 * 1 3 5 2n 1
 Cho dãy số un , với u . . ... . Tính lim u . 
 n n 2 4 6 2n n
 Lời giải 
 2k 1 2 k 1 2 k 1 2 k 1
Cách 1: Ta có k * . Khi đó 
 2kk4kk22 4 1 2 1
 Ví dụ 2 
 4nn2 2 2019
 Tính giới hạn lim . 
 2020 3nn 2 2
 Lời giải 
Ta có: 
 2 2019
 2 4 
 4nn 2 2019 2
lim limnn 2 . 
 2 2020 3
 2020 3nn 2 2
 nn2
 Ví dụ 3 
 1 1 1 1
 Tính giới hạn lim ... . 
 1.2 2.3 3.4nn 1 
 Lời giải 
Ta có: 
 111 1 1111111 1 
 . 
lim ... lim 1 ... lim 1 1
 1.2 2.3 3.4n n 1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1 
 Ví dụ 4 
 2020n 2
 Tính giới hạn lim . 
 nn2 1
 Lời giải 
Ta có: 
 2020 2
 2020n 2 2
lim limnn 0 . 
 2 11
 nn 1 1 
 nn2
 Ví dụ 5 
 3nn2 2 1
 Tính giới hạn lim . 
 21n3 
 Lời giải 
Ta có: 
 3 2 1
 2 
 3nn 2 1 23
lim limn n n 0. 
 3 1
 21n 2 
 n3
 m m 11 p p
Nhận xét: Cho Pnan m an m 1 ... anaQnbnbn 1 0 ; p p 1 ... bnb 1 0 . 
 Ví dụ 8 
 Tính giới hạn lim nn 2019 2020 . 
 Lời giải 
Ta có: 
 1
 4039
 4039
lim nn 2019 2020 lim limn 0 . 
 nn 2019 2020 2019 2020
 11 
 nn
 Ví dụ 9 
 22
 Tính giới hạn lim 4n n 1 4 n 2 n . 
 Lời giải 
Ta có: 
 1
 1
 n 11 
lim4n22 n 142lim n n lim n . 
 22 1 1 2 4
 4n n 1 4 n 2 n 44 
 n n2 n
 Ví dụ 10 
 2
 Tính giới hạn lim n 3 n 4 n 1 . 
 Lời giải 
Ta có: 
 8
 10 
 10n 8 10
lim3n n2 41lim n limn 5. 
 2 3 4 1 2
 n 3 n 4 n 1 11 
 n n n2
 Ví dụ 11 
 3 32
 Tính giới hạn lim n n n 1 . 
 Lời giải