Chuyên đề Phương pháp tính đạo hàm cấp cao - Đại số Lớp 11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11. CHƯƠNG V. 
ĐẠO HÀM 
 BÀI 5: ĐẠO HÀM CẤP CAO 
 I LÝ THUYẾT 
 = 
 1.Định nghĩa đạo hàm cấp hai. 
 Cho hàm số f có đạo hàm f '. Nếu f ' cũng có đạo hàm thì nó được gọi là đạo hàm cấp 
 hai của hàm f và ký hiệu là f '' , tức là ff' ' ''. 
 2.Định nghĩa đạo hàm cấp n. 
 Đạo hàm cấp một f ' và đạo hàm cấp hai f '' của hàm số f còn được ký hiệu lần lượt là 
 f 1 và f 2 . Nếu f 2 có đạo hàm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp ba của hàm f , ký 
 hiệu là f 3 . Tương tự đạo hàm cấp n được định nghĩa như sau: 
 Cho hàm số f có đạo hàm cấp n 1, nn ,2 là f n 1 . Nếu f n 1 có đạo hàm thì 
 nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và ký hiệu là f n . 
 nn 1 nn ,2 
 Nói cách khác ff , . 
 3. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai. 
 Gia tốc (tức thời) at 0 tại thời điểm t0 của một chất điểm chuyển động cho bởi phương 
 trình s s t bằng đạo hàm cấp hai của hàm số s s t , tức là: a t00 s'' t . 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ 
MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT- THÔNG HIỂU 
CÁC VÍ DỤ:
 Ví dụ 1 
 Cho hàm số . Tính ? 
 Lời giải 
 1
 Tập xác định D \ . 
 2
 2 8
 fx' , fx" . 
 21x 2 21x 3
 8
 Khi đó f "1 . 
 27
1 | 
 Lời giải 
 y 2cos x . sin x sin 2 x ; yx 2cos2 ; y 3 4 sin 2 x 4sin 2 x . 
 3 
 y 4sin 2 2 3 . 
 33 
 Ví dụ 6 
 Tính giá trị đạo hàm cấp cao của hàm số tại điểm đã cho : 
 a) . Tính ? 
 b) . Tính ?
 c) . Tính ? 
 d) . Tính ? 
 Lời giải 
 a) Tập xác định: D 
 Ta có: y' 3 x2 2 x 15, y '' 6 x 2 
 Do đó: y'' 5 30 2 28 
 b) Tập xác định: D 
 Ta có: y' 3cos3 x ; y '' 9sin3 x ; y ''' 27cos3 x 
 Do đó: y'' 27cos 3. 27 
 33 
 c) Tập xác định: D . Ta có: 
 y' 8 5 x 1 77 .5 40 5 x 1 
 y'' 40.7 5 x 166 .5 1400 5 x 1
 y''' 1400.6 5 x 155 .5 42000 5 x 1 
 Do đó: y'' 10 42000.515 
 d) Tập xác định: D \2  
 3 xx 2 3 1 7
 Ta có: y ' 
 xx 22 22 
 14 x 2 14
 y '' 
 xx 22 43 
 14
 Do đó: y '' 1 
 27
3 | 
 k 1
 kk 1 k 1 k 1 !
 Thật vậy, ta có: f x f x 1 k !( k 1) x k 11 
 xk 2
 Ví dụ 2 
 Chứng minh rằng: , 
 Lời giải 
 Ta chứng minh qui nạp: 
 1
 1 a 1 1!a
 Khi n 1 thì 22, do đó (*) đúng khi n 1 
 ax b ax b ax b 
 k k k
 1 1! ka
 Giả sử (*) đúng khi n k,1 k , ta có: k 1 . 
 ax b ax b 
 Lấy đạo hàm 2 vế: 
 k 1 k 1 k 1
 1 kkk 11 1 ka 1 !
 1 k ! a . a . k 1 ax b k 2 . 
 ax b ax b 
 Do đó (*) đúng với nk 1 . Vậy (*) đúng  n . 
 Ví dụ 3 
 Cho hàm số . Tìm ? 
 Lời giải 
 x2 1
 Ta có fx x 1 . 
 x 1 x 1
 1 2 2.3 3!
 fx 1 ; fx ; fx . 
 x 1 2 x 1 3 xx 11 44 
 n 1 n! 30! 31
 Vậy fx n 1 f 30 x 30! 1 x . 
 x 1 n 1 x 1 31
 Ví dụ 4 
 Cho hàm số . Tính giá trị của biểu thức . 
 Lời giải 
 1 cos 4x
 Ta có: yx sin2 2 y ; yx 2sin 4 ; yx 8cos4 ; yx 3 32sin4 . 
 2
 Khi đó y 3 y 16 y 16 y 8 32sin4x 8cos4 x 32sin4 x 8 1 cos4 x 8 0. 
5 | 
 1 x
 21x x2 x 
 2xx 2 11
 y '' 23 3 
 2x x 2xx 2 y
 Suy ra: yy3 '' 1 0 . 
 3) Ta có: y' sin x x cos x ; y '' 2cos x x sin x 
 Suy ra: xy 2( y ' sin xxyx ) . '' 22 sin xxxxxx 2 cos 2 cos sin x 0 . 
 Ví dụ 2 
 Giải phương trình với: 
 1) . 2) . 
 Lời giải 
 1) Ta có: f' x 3cos3 x ; f '' x 9sin3 x 
 Suy ra: 
 sin3x 0
 k 
 f''( x ) g ( x ) 9sin3 x 2sin3 x cos3 x 9 x k 
 cos3x ( VN ) 3
 2
 2) Ta có: f' x sin x x cos x ; f '' x 2cos x x sin x 
 x 0
 Suy ra: f''( x ) g ( x ) x sin x 0 x k k . 
 sinx 0
 Ví dụ 3 
 Giải bất phương trình với: 
 1) ; . 
 2) ; . 
 Lời giải 
 1) Ta có: f' x 3 x2 1; f '' x 6 x 
 1
 Suy ra: f''( x ) g ( x ) 6 x 5 x2 1 x 1 
 5
 2) Ta có: f' x 6 x 3 x2 ; f '' x 6 6 x 
 1 xx 6 1 1
 Suy ra: f''()()61 x g x x 1 x  0 x ;0 ;1 
 xx 6
 Ví dụ 4 
 Cho hàm số . Chứng minh rằng 
7 | 
 a) Tập xác định: DR 
 Ta có: y' sin xxxy cos ; '' cos x cos xxx sin 2cos xxx sin 
 Do đó: 
 xy'' 2 y ' sin x xy
 x 2cos x x sin x 2 sin x x cos x sin x x2 sin x 
 2x cos x x22 sin x 2 x cos x x sin x 0
 b) Tập xác định: DR 
 Ta có: 
 y' aA cos at b aB sin at b 
 y'' a22 A sin at b a B cos at b 
 a22 Asin at b B cos at b a . y
 Do đó: 
 y'' a2 y 0 
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO 
 Ví dụ 1 
 Cho hàm số . Tìm các nghiệm của phương trình
 thuộc đoạn 
 Lời giải 
 f x 2sin 2 x , f x 4cos 2 x , 
 3 3
 4 
 f x 8sin 2 x , f x 16cos 2 x . 
 3 3
 xk 
 4 1 2
 f x 8 cos 2 x k . 
 32 
 xk 
 6
 Vì x 0; nên lấy được x . 
 2 2
 Ví dụ 2 
 Cho hàm số có đồ thị . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ 
 thị tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ là nghiệm phương trình 
 ? 
 Lời giải 
9 |