Chuyên đề Phương pháp tích phân từng phần hàm ẩn - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 NGUYÊN HÀM – TÍCH 
 3 PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
 CHƯƠNG
 CHỦ ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN 
 (PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN) 
Dạng 1: Sử dụng tích phân hàm ẩn để tính giá trị hàm số 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1) Công thức tích phân từng phần 
Nếu ux và vx có đạo hàm và liên tục trên ab;  thì: 
 bb
 uxvxxuxvx. d b vxuxx . d 
 a 
 aa
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Câu 1 
 [Mức độ 3] Cho hàm số liên tục trên đoạn và và 
 . Tính theo và . 
 Lời giải 
 Đặt u x 1 d u d x, ddv f x x v f x . 
 2 2 2
 2
 x 1 . fxxx d 1 . fx fxxf d 2 fxx d 
 1 
 1 1 1
 a f 2 b 
 f 2 a b . 
1 
 Giải tích 12| 
 f x 2018 f x 
Ta có: f x 2018 f x 2018 x2017 . e 2018x 2018 x 2017 
 e2018x
 11f x 2018 f x 
 dx2018 x2017 dx 1 
 2018x 
 00e
 1f x 2018 f x 1 1
 Xét dx fxe . 2018xx dx 2018. fxe . 2018 dx 
 2018x 
 0e 0 0
 1 u f x du f x dx
 Xét I 2018. f x . e 2018x dx . Đặt 
 1 2018xx 2018
 0 dv 2018. e dx v e
 Do đó 
 1
 1
 2018xx 2018
 I1 f x e f x . e dx
 0 
 0 
 1
 I f x e 2018x f 1 . e 2018 2018
 0
 1
 Khi đó 1 f 1 . e 2018 2018 x 2018 f 1 2019. e 2018 
 0 
 Câu 5 
 [Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm liên tục thỏa mãn , 
 và . Tính . 
 Lời giải 
 cosxfxdx . sin xfx . sin xfxdx . sin xfxdx . 
 2 4
 2 2 2
 2 1 cos 2x 2 x sin 2 x 
Mặt khác sinx d x d x . 
 2 4 4
 22 2
 222
Do đó: fxx d 2 sin xfxx . d sin xx d 0 sin xfxx d 0 . 
 2 2 2 2
Suy ra f x sin x . Do đó f x cos x C . Vì f 0 nên C 0 . 
 2
Ta được f x cos x f 2018 cos 2018 1. 
3 
 Câu 3 
[Mức độ 3] Cho hàm số có đạo hàm trên và thỏa mãn ;
 . Tính 
 Lời giải 
 3
 + Xét J x  f 2 x 4 d x 8 . 
 0
 du dx
 ux 
 Đặt 1 
 dv f 2 x 4 d x v f 24 x 
 2
 3 3
 11 313
 J x. f 2 x 4 f 2 x 4 d x f 2 f 2 x 4 d x 
 220 0 220
 1 2
 3 f 2 x 4 d x . 
 2 0
 1 3 3
 Vì J 8 3 f 2 x 4 d x 8 f 2 x 4 d x 10 . 
 2 0 0
 Đặt 2t 2 x 4 2d t 2d x d t d x 
 Đổi cận: 
 x 0 3 
 t -2 1 
 1 1
 I f2 t d t 10 hay f2 x d x 10 
 1 
 2 2
 Vậy I 10 
 Câu 4 
[Mức độ 3] Cho . Tính . 
 Lời giải 
 1
 + Xét J 3 x 1  f x d x 2019. 
 0
 u 3 x 1 du 3 dx
 Đặt 
 ddv f x x v f x 
 1
 1
 Do đó J 3 x 1 f x 3 f x d x 2019 
 0 
 0
 1 1 1 1
 4ff 1 0 3 fxx d 2019 2020 3 fxx d 2019 fxx d 1 
 0 0 0 3
 | 6 
 33
cfxx '( ) d fxxf '( )d (1) f (3) df (3) f (3) dc 3 
 11
 3
Từ 1 , 2 , fxdx( ) 4( dc ) ( dba ) ab 4 c 3 d . 
 0
 | 8 
 Câu 3 
 [Mức độ 3] Cho hàm số liên tục trong đoạn biết 
 Tính . 
 Lời giải 
 dx
 ux ln du 
Đặt x . 
 dv f x d x 
 v f x 
 e ee
 e f x f x 
 f' x ln x d x f x ln x d x fe d x 1 1 0. 
 1 
 111 xx
 Câu 4 
 [Mức độ 4] Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn 
 với . Tính tích phân . 
 Lời giải 
 11
 1 fx 
Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: lnx . f x dx ln x . f x 2 dx . 
 123 x
 23
 22 
Từ 2f x 3 f 5 x ,  x ;1 1 .
 33x 
 2
 2f 1 3 f 5 f 1 0
 2 3 
Thay x 1 và x vào 1 ta được hệ 25. 
 3 2 10 f 
 2ff 3 1 33
 33
 1 fx 
Xét I dx 
 2 x
 3
 22 22
 Đặt xx d , đổi cận: x t 1; x 1 t . 
 33tt2 33
 2 2 1 2 2 
 3 f . 2 11 f f 
 2 3t t 3 t 3 x
Khi đó I d t d t d x . 
 2 
 3 1 22tx
 3t 33
 | 10