Chuyên đề Phương pháp tích phân từng phần - Đại số 12

 TÍCH PHÂN - ỨNG 
 3 
 DỤNG 
 CHƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
 b
DẠNG TOÁN 1: Tích phân có dạng I f x .d g x x với gx là hàm lượng giác. 
 a
+ Phương pháp: Tích phân từng phần 
 u f x 
Đặt 
 ddv g x x
+ Ví dụ 
 Ví dụ 1 
 [Mức độ 1 ] 
 Tính tích phân I xsin x d x 
 0
 Lời giải 
 u xdd u x
Đặt . Ta có: 
 dv sin x d x v cos x
I xcos x | c os x d x x cos x | sin x | 
 0 0 0
 0
 Ví d ụ 2 
 [Mức độ 1] 
 2
 Tính tích phân I x1 cos x d x 
 0
 Lời giải 
 u x 1 d u d x
Đặt . Ta có: 
 dv c os x d x v sin x
 2 
I x 1 .sin x22 sin x d x x 1 .sin x cos x |2 2. 
 00 0
 0 2
 Ví dụ 3 
 [Mức độ 2] 
 Tính tích phân I 4 2 x 3 .sin 4 x .d x 
 0
 Lời giải 
1 | 
 1 c os2 x x3 x sin 2 x
Ixxxxxx 2 2 sin sin 2 d 2 d xxxx 2 sin d | I
 01
 0 0 2 0 3 2 4
I 2 x sin x d x 2 ( theo ví dụ 1) 
 1 
 0
 3 5
Vậy I 
 32 
 b
Bài 2. Cho hai số thực a và b thỏa ab và xsin x d x đồng thời aacos 0 vàbbcos . 
 a
 b
Tính tích phân I cos x d x 
 a
 Lời giải. 
 u xdd u x bbb
Đặt . Ta được: xsin x d x x cos x cos x d x 
 a
 dv sin x d x v cos x d x aa
 bcos b a cos a I I 0 0. 
 2
 a a x
Bài 3. Cho 0 a và xtan x .d x m Tính Ix d theo a và m 
 2 0 0 cos x
 Lời giải. 
 dx
 ddux 
 ux tan cxos2
Đặt . 
 ddv x x x2
 v 
 2
 a a 2 a 2
 112 x x 2
Ta được: m xtan x d x I d x a tan a 2 m 
 20 20 cos x 0 cos x
 x 
Bài 4. Cho hàm số G x t.cos x t .d t . Tính G . 
 0 2
 Lời giải. 
 u tdd u t
Đặt 
 dv c os( x t )d t v sin( x t )
 xx 
 xx
 Gxtxt .sin sin xtt d sin xtt d cos xt cos0 cos x 1 cos x 
 00 
 00
 G x sin x G sin 1 
 22
Bài 5. Tính tích phân I x2 cos x d x 
 0
 Lời giải 
 ux 2 du 2 x d x
Đặt . Ta có: 
 dv c os x d x vx sin
Ixx 22sin | 2 xxxxx sin d sin | 2 xx cos | cxx os d 0 2 xxx cos sin | 2 
 0 0 0 0
 00 
3 | 
 ddu P x x
 u P x 
Phương pháp: 
 mx n 1 mx n
 dvx e d v e
 m
 Ví dụ 1 
 1
 [Mức độ 2] Tính tích phân sau: xx.ex d . 
 0 
 Lời giải 
 ux ddux 
Đặt x x . 
 dvx e d v e
 11
 11
 x.ex d x x .e x e x d x e e x 1. 
 00
 00
 Ví dụ 2 
 1
 [Mức độ 2] Tính tích phân sau: 2xx 2 ex d . 
 0 
 Lời giải 
 ux 22 dux 2d
Đặt x x . 
 dvx e d v e
 1 1
 1 1
 2xx + 2 ex d = 2xx + 2 exx 2 e d 4e 2 2ex 2e. 
 0 0
 0 0
 Ví dụ 3 
 1
 [Mức độ 3] Tính tích phân sau: I x1 2 e2x d x . 
 0 
 Lời giải 
 2 du 2 x 1 d x
 ux 1 
Đặt . 
 1 2x
 dvx e2x d v e
 2
 1 1
 112
I x 1 e2xx x 1 e 2 d x 2e 2 J . 
 220 0
 ddux 
 1 ux 1 
Tính J x1 e2x d x ; Đặt . 
 2x 1 2x
 0 dvx e d v e
 2
 111 11 1 1 3 1
J x 1 e2x e 2 x d x e 2 e 2 x e 2 . 
 200 20 2 4 4 4
 21 3 2 1 5 2 1
Vậy I 2e e e . 
 2 4 4 4 4
Nhận xét : Đa thức Px trong ví dụ trên có bậc là 2 nên ta thực hiện từng phần 2 lần. 
5 | 
 1 1
 1 1
 2xx +1 ex d = 2xx +1 exx 2 e d = 2x 1 ex =1+e =ab + .e. 
 0 0
 0 0
 a =1
 . Vậy tích a.b=1. 
 b =1
 Câu 2 
 2
 [Mức độ 2] Cho x 1 ex d x a e2 b e c với a , b , c là các số nguyên. Tính abc . 
 1
 Lời giải 
 ux 1 x
Đặt x ta được ddux , v e . 
 dvx e d
22
 x 1edx x x 1e x2 ed x x x e x 2 2ee 2 . 
 11
11
 a 2, b 1, c 01 a b c . 
 Câu 3 
 [Mức độ 3] Cho hàm số fx() liên tục và có đạo hàm trên đoạn 0;5 thỏa mãn 
 5 5
 xf x efx d x 8 ; f 5 ln5 . Tính Ix edfx 
 0 0 
 Lời giải 
 5
Tính Ix edfx 
 0
Đặt u e fx du f x efx d x ; 
dvx =d vx . 
Theo công thức tích phân từng phần, ta có 
 5 5
I xef x xf x e f x d x 5.e f 50 0.e f 8 5eln5 8 5.5 8 17 . 
 0 
 0
 Câu 4 
 [Mức độ 3] Cho hàm số y f x với ff 0 1 1. Biết rằng 
 1
 x 2019 2019
 e f x f x d x a e b , a , b . Tính giá trị của biểu thức ab . 
 0
 Lời giải 
 1 1 1
 x x x
Ta có e fxfxx d e fxx d e fxx d . 
 0 0 0
7 | 
 1
 ddux 
 ux ln x
 Đặt . 
 ddv x x 1
 vx 2
 2
 222 22
 xx 1 12 3
 I ln x d2ln2 x xdx 2ln2 x2 2ln2 
 1 
 21 1 2x 21 4 4
 Câu 2 
 4 log x
 [Mức độ 2] Tính tích phân Ix 2 d ? 
 2
 2 x
 Lời giải 
 1
 ux log ddux 
 2 xln 2
 Đặt 1 . 
 ddvx 1
 x2 v 
 x
 log x 4 4 1 114
 Ix 2 d 
 2
 x2 2 xln 2 x ln 22 4ln 2 
 Câu 3 
 2 b
 [Mức độ 2] Cho biết tích phân I x 1 ln x 2 d x a ln 2 trong đó a , b là các số 
 1 4
 nguyên. Tính giá trị của biểu thức T a b . 
 Lời giải 
 1
 ddux 
 ux ln 2 x 2
 Đặt . 
 dv x 1 d x x2
 vx 
 2
 2
 x22122 x x 1 2
 I xln x 2 d x 4ln 4xx d 
 2 2 x 2 2 
 1 1 1
 2
 13x2
 8ln 2 . 8ln 2 . 
 2 2 1 4
 Suy ra a 8, b 3 . 
 Vậy T a b 5 . 
9 |