Chuyên đề Phương pháp tam giác đồng dạng trong giải toán hình học phẳng - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 Chuyờn đề:
 PHƯƠNG PHÁP TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
 TRONG GIẢI TOÁN HèNH HỌC PHẲNG
 CẤU TRÚC CHUYấN ĐỀ
 Phần I
 KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 ---- 
 1. Đinh lý Talet trong tam giỏc.
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giỏc và cắt hai cạnh cũn lại 
thỡ nú định ra trờn cạnh đú những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
 MN // BC A
 AM AN
 AB AC M N
 AM AN
 MB NC B C
 2. Khỏi niệm tam giỏc đồng dạng.
 Tam giỏc A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giỏc ABC nếu: 
 + àA' àA ; Bà' Bà; Cà ' Cà
 A' B ' B 'C ' A'C '
 AB BC AC
 3. Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc:
 a) Trường hợp thứ nhất (ccc):
 Nếu 3 cạnh của tam giỏc này tỷ lệ với 3 cạnh của tam giỏc kia thỡ 2 tam giỏc đú 
đồng dạng.
 b) Trường hợp thứ 2(cgc):
 Nếu 2 cạnh của tam giỏc này tỷ lệ với 2 cạnh của tam giỏc kia và 2 gúc tạo bởi tạo 
cỏc cặp cạnh đú bằng nhau thỡ hai tam đú giỏc đồng dạng.
 c) Trường hợp thứ 3(gg):
 Nếu 2 gúc của tam giỏc này lần lượt bằng 2 gúc của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc 
đú đồng dạng.
 d) Cỏc trường hợp đồng dạng của tam giỏc vuụng.
 + Tam giỏc vuụng này cú một gúc nhọn bằng gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ 
hai tam giỏc đú đồng dạng.
 + Tam giỏc vuụng này cú hai cạnh gúc vuụng tỷ lẹ với hai cạnh gúc vuụng của tam 
giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
 + Nếu cạnh huyền và một cạnh của tam giỏc vuụng này tỷ lệ với cạnh huyền và 
cạnh gúc vuụng của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng.
 Trang1 Tớnh độ dài AC?
 b) Tớnh độ dài cỏc cạnh của ABC cú Bà = 2Cà biết rằng số đo cỏc cạnh là 3 số tự 
nhiờn liờn tiếp.
 A Giải
 a) Trờn tia đối của tia BA lấy BD = BC
 B ACD và ABC cú àA chung; Cà = Dà = 
 ACD P ABC (g.g)
 AC = AD AC2 = AB. AD
 AB AC
D C = 4 . 9 = 36
 AC = 6(cm)
 b) Gọi số đo của cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c.
 Theo cõu (a) ta cú.
 AC2 = AB. AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1)
 Ta cú b > c (đối diện với gúc lớn hơn) nờn chỉ cú 2 khả năng là: 
 b = c + 1 hoặc b= c + 2
 * Nếu b = c + 1 thỡ từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + 1 = ac
 c(a-2) = 1 (loại) vỡ c= 1 ; a = 3; b = 2 khụng là cỏc cạnh của 1 tam giỏc
 * Nếu b = c + 2 thỡ từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + 4 = ac 
 c(a – 4) = 4
 Xột c = 1, 2, 4 chỉ cú c = 4; a = 5; 5 = 6 thỏa món bài toỏn.
 Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm.
 Bài tập đề nghị:
 + Bài 1: Cho ABC vuụng ở A, cú AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực của 
BC cắt BC , BA, CA lần lượt ở M, E, D. Tớnh độ dài cỏc đoạn BC, BE, CD.
 + Bài 2: Hỡnh thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC)
 a) Tớnh cạnh hỡnh thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm. Tổng quỏt với BC = a, BC = c.
 b) Chứng minh rằng BD < 2ac với AB = c; BC = a.
 a c
 c) Tớnh độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n. Cạnh hỡnh thoi bằng d.
 Loại 2:TÍNH GểC
 Vớ dụ minh họa:
 + Bài 1: Cho ABH vuụng tại H cú AB = 20cm; BH = 12cm. Trờn tia đối của HB 
 5
lấy điểm C sao cho AC = AH. Tớnh Bã AC .
 3
 Trang3 MBD P BDN (c.g.c)
 ả à
 M1 = B1
 ả à ã ã ã 0
 MBD và KBD cú M1 = B1 ; BDM chung BKD = MBD = 120
 Vậy Bã KD = 1200
 Bài tập đề nghị:
 ABC cú AB: AC : CB = 2: 3: 5 và chu vi bằng 54cm;
 DEF cú DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm
 a) Chứng minh AEF P ABC
 b) Biết A = 1050; D = 450. Tớnh cỏc gúc cũn lại của mỗi 
 Loại 3: TÍNH TỶ SỐ ĐOẠN THẲNG, TỶ SỐ CHU VI, TỶ SỐ DIỆN TÍCH 
 Vớ dụ minh họa:
 + Bài 1: Cho ABC, D là điểm trờn cạnh AC sao cho Bã DC ãABC . 
 BD
 Biết AD = 7cm; DC = 9cm. Tớnh tỷ số 
 BA
 B ABC; D AC : Bã DC ãABC ;
 GT AD = 7cm; DC = 9cm
 KL Tớnh BD .
 BA
 C B A
 Giải:
 CAB và CDB cú C chung ; ãABC = Bã DC (gt)
 CB CA
 CAB P CDB (g.g) do đú ta cú : 
 CD CB
 CB2 = CA.CD
 Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nờn CA = CD + DA = 9 + 7 = 16 (cm)
 Do đú CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm)
 DB 3
 Mặt khỏc lại cú : 
 BA 4
 + Bài 2: (Bài 29 – 74SGK)
 A
 A’ ABC và A’B’C’: AB =6 ;
 6 9 GT AC = 9; A’C’ = 6; B’C’ = 8
 6
 4 KL a) ABC P A’B’C’
 6
B 12 C B’ 12 C’ b) Tớnh tỉ số chu vi của A’B’C’ và ABC
 Giải:
 a) A’B’C’ P ABC (c.c.c)
 A'B' A'C' B'C' 2
 Vỡ 
 AB AC BC 3
 A' B' A'C' B'C' A'B' A'C' B'C'
 b) A’B’C’ P A+B+C+ (cõu a) = 
 AB AC BC AB AC BC
 4 6 8 18
 = 
 6 9 12 27
 Chuvi A'B'C' 18
 Vậy 
 Chuvi ABC 27
 Trang5 GT P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC
 KL a) PQR P ABC
 b) Tớnh chu vi PQR. Biết chu vi ABC 543cm
 Giải:
 a) PQ, QR và RP lần lượt là đường trung bỡnh của OAB , ACB và OCA. Do 
đú ta cú : 
 PQ = 1 AB; QR = 1 BC ; RP = 1 CA
 2 2 2
 PQ QR RP 1
 Từ đú ta cú : A
 AB BC CA 2
 1
 PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P
 2
 b) Gọi P là chu vi của PQR ta cú : O
 P’ là chu vi của PQR ta cú : Q R
 P' 1 1 1
 K P’ = P = .543 = 271,5(cm) B C
 P 2 2 2
 Vậy chu vi của PQR = 271,5(cm).
 + Bài 2: Cho ABC, D là một điểm trờn cạnh AB, E là 1 điểm trờn cạnh AC sao 
cho DE // BC.
 Xỏc định vị trớ của điểm D sao cho chu vi ABE = 2 chu vi ABC.
 5
 Tớnh chu vi của 2 tam giỏc đú, biết tổng 2 chu vi = 63cm
 A ABC; DE//BC; C.vi ADE= 2 C.vi ABC
 5
 GT C.vi ADE + C.vi ADE = 63cm
 D E KL Tớnh C.vi ABC và C.vi ADE
 B C
 Giải:
 Do DE // BC nờn ADE P ABC theo tỷ số đồng dạng.
 K = AD = 2 . Ta cú .
 AB 5
 Chuvi ADE' 2 Chuvi ABC Chuvi ADE Chuvi ABC Chuvi ADE 63
 = = 9
 Chuvi ABC 5 5 2 % 2 7
 Do đú: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm)
 Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm)
 Bài tập đề nghị:
 + Bài 1: A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = 2 .
 5
 Tớnh chu vi của mỗi tam giỏc, biết hiệu chu vi của 2 tamgiasc đú là 51dm.
 Trang7 + Bài 3: Cho ABC và hỡnh bỡnh hành AEDF cú E AB; D BC, F AC.
 2 2
 Tớnh diện tớch hỡnh bỡnh hành biết rằng : SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm ;
 ABC hỡnh bỡnh hành AEDF
 2 2
 GT SEBD = 3cm ; SFDC = 12cm
 KL Tớnh SAEDF
 Giải:
 à à
 Xột EBD và FDC cú B = D 1 (đồng vị do DF // AB) (1)
 E1 = D2 ( so le trong do AB // DF) à à
 E 1 = F 1 (2)
 D2 = E1 ( so le trong do DE // AC) 
 Từ (1) và (2) EBD P FDC (g.g)
 1 2
 Mà SEBD : SFDC = 3 : 12 = 1 : 4 = ( )
 2
 EB ED 1 1
 Do đú : FD = 2EB và ED = FC A
 FD FC 2 2
 AE = DF = 2BE ( vỡ AE = DF) F
 1
 AF = ED = EC ( vỡ AF = ED) E 1
 2
 2
 Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm ) 12
 1 1 2
 SADF = SFDC = . 12 = 6(cm ) B D C 
 2 2
 2
 SAEDF = SADE + SADF = 6 + 6 = 12(cm )
 Bài tập đề nghị:
 + Bài 1:Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài = 2cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung 
điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD.
 Tớnh diện tớch tứ giỏc EIHD
 +Bài 2: Cho tứ giỏc ABCD cú diện tớch 36cm2, trong đú diện tớch ABC là 11cm2. Qua 
B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tớnh diện tớch MND.
 + Bài 3: Cho ABC cú cỏc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Xột hỡnh chữ 
nhật MNPQ nội tiếp tam giỏc cú M AB; N AC; PQ BC.
 a) Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật nếu nú là hỡnh vuụng.
 b) Tớnh chu vi hỡnh chữ nhật a = h
 c) Hỡnh chữ nhật MNPQ cú vị trớ nào thỡ diện tớch của nú cú giỏ trị lớn nhất.
 DẠNG II:
 CHỨNG MINH HỆ THỨC, ĐẲNG THỨC NHỜ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
 I. Cỏc vớ dụ và định hướng giải:
 1. Vớ dụ 1: Bài 29(SGK – T79) – (H8 – Tập 2)
 Cho hỡnh thang ABCD(AB // CD). Gọi O là giao điểm của 2đường chộo AC và BD
 a) Chứng minh rằng: OA. OD = OB. OC.
 b) Đường thẳng qua O vuụng gúc với AB và CD theo thứ tự tại H và K.
 CMR: OA = AB
 OK CD
 * Tỡm hiểu bài toỏn : Cho gỡ?
 Trang9