Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học (Phần 1) - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Bài toán: Cần chứng minh một khẳng định đúng A n với n N,n a (*) 
Cách 1:
- Bước 1: Chứng minh (*) đúng với n a
- Bước 2: Giả sử (*) đúng với (đến) n k , tức là A k đúng (giả thiết quy nạp)
- Bước 3: Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n k 1, tức là chứng minh A k 1 đúng 
- Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp (*) được chứng minh
Cách 2:
- Bước 1: Kiểm tra với n a
- Bước 2: Giả sử (*) đúng với (đến) n tức là A n đúng
- Bước 3: Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n 1 tức là A n 1 đúng
- Bước 4: Kết luận
 Bài 1: Chứng minh rằng:
 n(n 1)
a. 2n nn N b. 1 2 ... n 
 2
 Lời giải
a. Với n 0 20 0 đúng
- Giả sử đúng với n k , tức là 2k k
- Đi chứng minh đúng với n k 1, tức là 2k 1 k 1 (**)
Thật vậy VT (**) 2k 1 2k.2 2k 2k k 1 đpcm
 k(k 1)
b. +) n k :1 2 ... k 
 2
 (k 1)(k 2)
+) n k 1:1 2 ... k k 1 (**)
 2
 k(k 1) (k 1)(k 2)
VT (**) : S k 1 (k 1) đpcm
 K 2 2
 Bài 2: Chứng minh rằng n Z 
a. 2n 3n 5n 6 b. 16n 10n 125 
 Lời giải +) Giải sử (*) đúng với n, tức là A 32n 3 24n 3764
+) Ta chứng minh (*) đúng với n 1, tức là B 32n 5 24(n 1) 3764
 B 32n 3.9 24n 24 37 A 8.32n 3 24 24(32n 2 1) A 24(9n 1 1) B64
Thật vậy: 
 8
 8
Theo nguyên lý quy nạp thì (*) được chứng minh
 Bài 5: 
 n
Chứng minh rằng 23 13n 1; / 3n 2 n N(*)
 Lời giải
 0
+) n 0 , ta có 23 1 33; / 9 đúng
 n
Giả sử (*) đúng với n, tức là 23 1 3n 1.q(q N,q / 3)
 n 1
Ta đi chứng minh (*) đúng với n 1, tức là 23 13n 2 ; / 3n 3 
 n 1 n n n n
Thật vậy: 23 1 (23 ) 3 1 (23 1) (23 )2 23 1 3n 1.q (3n 1.q 1)2 (3n 1.q 1) 1 
 n 1 2n 2 2 n 1 n 2 2n 1 2 n 1 n 2 n 3
 3 .q 3 .q 3.3 .q 3 3 .q(3 .q 3 .q 1)3 , / 3
Vậy (*) được chứng minh.
 Bài 6: 
Chứng minh rằng n 1,n N :1.21 2.22 3.23 ... n.2n 2 (n 1).2n 1
 Lời giải
+) Với n 1, ta được 1.21 2 (1 1).21 1 
+) Xét n k k 1 , tức là 1.21 2.22 3.23 ... k.2n k 2 (k 1).2k 1
Ta chứng minh đẳng thức đúng với n k 1, tức là: 
 1 2 k k 1 k 2 k 1 k 1
1.2 2.2 ... k.2 (k 1).2 2 k.2 2 2 (k 1 k 1) 2 2k.2 (đpcm)
 2 (k 1).2k 1 (k 1).2k 1
 Bài 7: 
 n(n 1)(n 2)
Chứng minh rằng 12 22 ... n2 (*), n N *
 6
 Lời giải 5 6 n 4 n(3n 7)
Chứng minh rằng n N * : ... (*)
 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2(n 1)(n 2)
 Lời giải
 5 1(3.1 7)
+) Với n 1 VT (*) VP(*) 
 1.(1 1)(1 2) 2(1 1)(1 2)
 k(3k 7)
+) Với n k S 
 k 2(k 1)(k 2)
+) Chứng minh đúng với n k 1
 k 5 k(3k 7) k 5 (3k 2 7k)(k 3) 2(k 5)
 S S 
 k 1 k (k 1)(k 2)(k 3) 2(k 1)(k 2) (k 1)(k 2)(k 3) 2(k 1)(k 2)(k 3)
 (k 1)2 3(k 1) 7 (k 1)3(k 1) 7
 (đpcm)
 2(k 1)(k 2)(k 3) 2(k 2)(k 3)
Cần phân tích: (3k 2 7k)(k 3) 2(k 5) (k 1) 2 3(k 1) 7
 Bài 10: 
 (2n 1)!
Chứng minh rằng: n N :1.3.5...(2n 1) (n! 1.2....n;0! 1)
 2n.n!
 Lời giải
 (2.0 1)!
+) n 0 1 (đúng)
 20.0!
 3! 1.2.3
+) n 1 3 3 (đúng)
 21.1! 2
 (2k 1)!
+) n k(k 1) 1.3.5...(2k 1) 
 2k.k!
 (2k 1)!
Cần chứng minh đúng với n k 1, tức là 1.3.5..(2k 1)(2k 3) .(2k 2)
 2k.k!
 (2k 1)!.(2k 2).(2k 3) (2k 3)!
 S đpcm.
 2k.k!.2(k 1) (k 1)!.2k 1 k 1
 Bài 11: n
 an 1 bn 1 an bn a b an bn a b 
Ta đi chứng minh . (do : )
 2 2 2 2 2 
 2(an 1 bn 1) (an bn )(a b) 0 2an 1 2bn 1 an 1 anb abn bn 1 0
 an 1 bn 1 anb ab n 0 (a b)(an bn ) 0 (a b)n (an 1 an 2b ... abn 2 bn 1) 0 
đúng . Theo nguyên lý quy nạp thì (*) đúng.
 Bài 13: 
Chứng minh rằng nn 1 (n 1)n n 3
 Lời giải
+) n 3 34 43 (đúng)
+) Giả sử đúng với n k , tức là k k 1 (k 1)k (k 3)
+) Cần chứng minh đúng với n k 1, tức là (k 1)k 2 (k 2)k 1
Ta có
 2 2 k 1
 2 (k 1) k 1 (k 1) 
 (k 2)k (k 1) (k 2) (k 2) 
 k k 
 (k 1)2(k 1) (k 1)2(k 1)
 (k 2)k 1 (k 1)k 2 đpcm.
 k k 1 (k 1)k
 BÀI TẬP VỀ NHÀ
 Bài 11: Chứng minh rằng:
a. 1.2 2.5 3.8 ... n(3n 1) n2 (n 1)(n N * )(*)
 1
b. 3 9 27 ... 3n (3n 1 3)(*)(n N * )
 2
 n(4n2 1)
c. 12 32 52 ... (2n 1)2 (*)(n N * )
 3
 n(3n 1)
d. 1 4 7 ... (3n 2) (*)(n N * )
 2
 Lời giải
a) n 1 đúng
+) n k , tức là 1.2 2.5 3.8 ... k(3k 1) k 2 (k 1)
+) Đi chứng minh n k 1, tức là +) n k 1 VT k(k 1)2 (k 1)(3k 4) (k 1)k(k 1) (3k 4)
 (k 1)(k 2 k 3k 4) (k 1)(k 2)2
b) n 2 đúng
 k(k 1)(k 2)
+) n k 1.2 2.3 ... k(k 1) (k 2)
 3
 k(k 1)(k 2) k(k 1)(k 2) 3(k 1)(k 2)
+) n k 1 VT (k 1)(k 2) 
 3 3
 (k 1)(k 2)(k 3)
 3
c) n 1 đúng
 2k(k 1)(2k 1)
+) n k 22 42 62 ... (2k)2 
 3
 2k(k 1)(2k 1) 2k(k 1)(2k 1) 12(k 1)2
+) n k 1 VT 4(k 1)2 
 3 3
 2(k 1)(k 2)(2k 3)
 3
 Bài 3: 
Chứng minh rằng n N *, ta có
a. n3 2n chia hết cho 3 b. n3 (n 1)3 (n 2) 3 9
c. n3 11n6,n N * d. 2n3 3n2 n6
e. 4n 15n 19 f. 32n 1 2n 2 7
g. n3 3n2 5n3
 Lời giải
a) n 1 đúng
+) n k k 3 2k3
 n k 1 VT (k 1)3 2(k 1) k 3 3k 2 3k 1 2k 2 (k 3 2k) (3k 2 3k 3)
+)  
 3 3
b) n 1 đúng
+) n k k 3 (k 1)3 (k 2) 3 9(k N * )
+) n k 1 VT (k 1)3 (k 2) 3 (k 3)3 9 (k 1)3 (k 2)3 k 3 9k 2 27k 27 e. 3n 1 n(n 2)(n 4) 
 Lời giải
 n 2 n 2
a) 2 2n 5 Sn 2 2n 5 0
+) n 1 đúng
 k 2
+) n k Sk 2 2k 5 0
 k 3
+) n k 1 Sk 1 2 2(k 1) 5 0
 k 2 *
Xét Sk 1 Sk 2 2 0(k N ) Sk 1 Sk 0 đpcm 
 n n *
b. 2 2n 1 Sn 2 2n 1 0(n N ,n 3)
+) n 3 đúng
 k
+) n k Sk 2 2k 1 0
 k 1
+) n k 1 Sk 1 2 2(k 1) 1
 k *
Xét Sk 1 Sk 2 2 0(do : k N ,k 3) Sk 1 Sk 0 (đpcm)
 n 2 n 2
c) 3 n 4n 5  Sn 3 n 4n 5 0
+) n 3 đúng
 k 2
+) n k Sk 3 k 4k 5 0
 k 1 2
Ta cần chứng minh Sk 1 3 (k 1) 4(k 1) 5 0
 k k 2 2
Xét Sk 1 Sk 2.3 2k 5 2(3 k 4k 5) 2k 6k 5 0 Sk 1 Sk 0 (đpcm)
 n 3 n 3 *
d. 2 3n 1 Sn 2 3n 1 0, n N ,n 8
+) n 8 đúng
 k 3
 )n k Sk 2 3k 1 0
 k 2 k 2
+) Sk 1 2 3(k 1) 1 2 3k 2 0
 k 3
Xét Sk 1 Sk 2 3 0(do : k 8) Sk 1 Sk 0
 n 1 n 1 2
e. 3 n(n 2) Sn 3 n 2n 0
+) n 4 đúng
+) n k Sk 0
 k 2
+) n k 1 Sk 1 3 (k 1) 2(k 1)