Chuyên đề Phương pháp quy nạp toán học - Đại số 11

 BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 
 I CÁC BƯỚC CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 
 = 
Để chứng minh= những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n là đúng với mọi n mà không thể 
thử trực tiếp= được thì có thể làm như sau: 
Bước 1: (bưIớ c cơ sở) Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1. 
Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n k,1 k (gọi là giả thiết quy nạp). 
 Chứng minh mệnh đề cũng đúng khi nk 1. 
Kết luận. 
 Lưu ý: Trong thực tế, có các bài toán yêu cầu chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với mọi giá trị 
nguyên dương nn 0 ( n0 là một số nguyên dương cho trước). Trong trường hợp này, ở bước 1 ta 
cần chứng minh mệnh đề đúng với nn 0 và ở bước 2 cần xét giả thiết quy nạp với k là số nguyên 
dương tùy ý lớn hơn hoặc bằng n0 . 
 II CÁC DẠNG BÀI TẬP. 
 = 
I. DẠ=NG 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP CHỨNG MINH CÔNG THỨC 
 =I 
 Ví dụ 1 
 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có đẳng thức sau: 
 nn 1 
 1 2 3 n  1 
 2
 Lời giải 
 Tác giả: Bui Bai, FB: Bui Bai 
 1. 2 
 Với n 1, ta có: 11 , đúng. 
 2
 Vậy 1 đúng với n 1. 
 kk 1 
 Giả sử 1 đúng với nk 1, nghĩa là: 1 2 3 k . 
 2
 Ta sẽ chứng minh 1 cũng đúng với nk 1, nghĩa là: 
 kk 12 
 1 2 3 kk 1 . 
 2
Từ giả thiết quy nạp, ta có: 
 k k 1 k k 1 2 k 1 kk 12 
VT 1 2 3 k k 1 k 1 VP (đpcm). 
 222
Vậy 1 đúng với mọi n . 
1 | 
Vậy (1) cũng đúng với mọi n *. 
 Ví dụ 4 
 nn 31 
 Chứng minh rằng với mọi n * ta có : 2 5 8 ... 3n 1 (1) 
 2
 Lời giải 
 Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú 
 1 3.1 1 
Với n 1, ta có VT 2;VP 2 VT VP . Vậy (1) đúng với n 1. 
 2
Giả sử (1) đúng với nk 1, tức là: 
 kk 31 
2 5 8 ... 3k 1 . 
 2
Ta chứng minh (1) cũng đúng với nk 1, tức là: 
 kk 1 3 4 
2 5 8 ... 3kk 1 3 2 . 
 2
Từ giả thiết quy nạp ta có: 
 k 3 k 1 3kk2 7 4 k 1 3 k 4 
VT 2 5 8 ... 3k 1 3 k 2 3 k 2 VP . 
 2 2 2
Vậy (1) đúng với mọi n *. 
 Ví dụ 5 
 1 1 1 1 2n 1
 Chứng minh rằng với mọi n * ta có: ... (1) 
 2 4 8 2nn 2
 Lời giải 
 Tác giả: Đỗ Hoàng Tú; Fb: Đỗ Hoàng Tú 
 1 21 1 1
Với n 1, ta có VT ;VP VT VP . Vậy (1) đúng với n 1. 
 2 21 2
Giả sử (1) đúng với nk 1, tức là: 
1 1 1 1 2k 1
 ... . 
2 4 8 2kk 2
Ta chứng minh (1) cũng đúng với nk 1, tức là: 
1 1 1 1 1 2k 1 1
 ... . 
2 4 8 2k 2 k 11 2 k
Từ giả thiết quy nạp ta có: 
 k
 1 1 1 1 1 2kk 1 12 2 1 1 2 1 1
VT ... VP . 
 2 4 8 2k 2 k 1 2 k 2 k 1 2 k 1 2 k 1
Vậy (1) đúng với mọi n *. 
3 | 
suy ra (do nên ). 
 2 2 2 ... 2 2cos k 2 0 k 2 cos k 1 0
 2 22 2
 n
Vậy với mọi n * ta có 2 2 2 ... 2 2cos n 1 (vế trái có dấu căn). 
 2
II. DẠNG 2: SỬ DỤNG PP QUY NẠP CHỨNG MINH TÍNH CHẤT CHIA HẾT 
 Ví dụ 1 
 * 3
 Chứng minh rằng với n thì nn chia hết cho 3 . 
 Lời giải 
 Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc 
 3
Đặt An n n . 
Với n 1, A1 0 3 (đúng) . 
 3
Giả sử An 3 đúng khi nk 1,tức là Ak k k 3 (giả thiết quy nạp). 
Ta cần chứng minh mệnh đề An 3 đúng với nk 1, tức là chứng minh 
 A k 13 k 1 3 . 
 k 1 
Thật vậy ta có 
 3
 Ak 1 k 11 k 
 k32 3 k 3 k 1 k 1
 k32 k 3 k k 
 A 3 k2 k 3.
 k 
 3 *
Vậy nn chia hết cho 3 với mọi n . 
 Ví dụ 2 
 * n
 Chứng minh rằng với n thì 71 chia hết cho 6. 
 Lời giải 
 Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc 
 n
Đặt An 71 . 
Với n 1,ta có A1 66 (đúng). 
 k
Giả sử An 6 đúng với nk 1,tức là Ak 7 1 6 (giả thiết quy nạp). 
 k 1
Cần chứng minh An 6 đúng với nk 1,tức là chứng minh Ak 1 7 1 6 . 
Thật vậy, ta có A 7kk 1 1 7 7 1 6 6. 
 k 1 
Vậy 71n chia hết cho 6 với mọi n * . 
5 | 
 kk 1
Giả sử nk 1 ta có Ck 5 2 . 3 1 8 (giả thiết quy nạp). 
 kk 1
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng khi nk 1, nghĩa là chứng minh Ck 1 5 2 . 3 1 8 
Thật vậy: 
 kk 1
 Ck 1 5 2 . 3 1
 5. 5kk 6 . 3 – 1 1
 5k 2. 3 k – 1 1 4. 5 k 4. 3 k – 1
 5k 2. 3 k – 1 1 4 5 k 3 k – 1 .
 kk 1 kk – 1 kk – 1
Từ giả thiết quy nạp Ck 5 2 . 3 1 8 ;5 3 là số chẵn nên 4 5 3 8. 
Do đó Ck 1 8. 
 *
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có Cn 8,  n . 
 Ví dụ 6 
 nn 2 2 1
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có Dn 3 4 chia hết cho 13. 
 Lời giải 
 Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng 
 21
Với n 0 ta có D0 3 4 13 1 3, do đó đpcm đúng khi n 1. 
 k 2 2k 1
Giả sử nk 0 ta có Dk 3 4 13(giả thiết quy nạp). 
 k 3 2k 3
Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng khi nk 1, nghĩa là chứng minh Dk 1 3 4 13. 
Thật vậy : 
 k 3 2k 3 k 2 2 2 k 1 k 2 2 k 1 2 k 1
Dk 1 3 4 3. 3 4 . 4 3. 3 3. 4 13. 4
 33 k 2 42 k 1 13. 4 2 k 1 .
 kk 2 2 1 2k 1
Từ giả thiết quy nạp 3 3 4 13 và 13. 4 13 nên suy ra Dk 1 13. 
Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có Dnn 13,  . 
III. DẠNG 3: SỬ DỤNG PP QUY NẠP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
 Ví dụ 1 
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 thì 3n 3n 1. 
 Lời giải 
 Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc 
Với n 2, ta có 32 3.2 1 9 7 (đúng). 
Giả sử bất đẳng thức đúng với nk 2,tức là ta có 3k 3k 1(giả thiết quy nạp). 
Chứng minh bất đẳng thức đúng với nk 1,tức là chứng minh bất đẳng thức 
 3k 1 3 k 1 1. 
Thật vậy,ta có 
7 | 
 Ví dụ 4 
 n 12
 Chúng minh rằng với mọi số tự nhiên n 4 ta có 2 nn 3 4 . 
 Lời giải 
 Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu 
Với n 4, vế trái bằng 32, còn vế phải bằng 28 suy ra bất đẳng thức 4 đúng. 
Giả sử bất đẳng thức 4 đúng với nk 4, tức là 2k 12 kk 3 4 . 
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với nk 1, tức là 2k 2 kk 1 2 3 1 . 
Thật vậy, nhân hai vế của bất đẳng thức 4 với 2 ta có 
 2kk 2 2k 2 6 k 2 2 k 1 2 3 k 1 k 2 k 4 . 
Vì kk2 40 với mọi k 4 nên 2k 2 kk 1 2 3 1 . 
Vậy 23n 12 nn với mọi số tự nhiên n 4 . 
 Ví dụ 5 
 *
 Chứng minh rằng với các số thực a1 , a2 , a3 , ..., an n , ta có 
 a1 a 2 a 3 ... ann a 1 a 2 ... a 5 . . 
 Lời giải 
 Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu 
Với n 1thì aa11 suy ra bất đẳng thức 5 đúng. 
Với n 2thì a1 a 2 a 1 a 2 . Đây là bất đẳng thức quen thuộc về trị tuyệt đối, dấu bằng xảy ra 
khi a1 , a2 cùng dấu. 
Giả sử bất đẳng thức 5 đúng với nk 2, tức là a1 a 2 a 3 ... akk a 1 a 2 ... a . 
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với nk 1, tức là 
 a1 a 2 a 3 ... ak a k 1 a 1 a 2 ... a k a k 1 . 
Thật vậy 
Đặt A a1 a 2 a 3 ... ak , ta có A a12 a ... ak . 
Mà A ak 1 A a k 1 a 1 a 2 ... a k a k 1 nên 
 a1 a 2 a 3 ... ak a k 1 a 1 a 2 ... a k a k 1 . 
 *
Vậy a1 a 2 a 3 ... ann a 1 a 2 ... a với mọi số tự nhiên n . 
9 |