Chuyên đề Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
A. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 
I. Các phương pháp phân tích cơ bản 
1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung 
 + Tìm nhân tử chung là những đơn thức, đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. 
 + Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác. 
 + Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử 
 vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng). 
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
 28a2 b 2 − 21ab2 + 14a 2 b = 7ab( 4ab − 3b + 2a)
 2xy–z()()()()()()+ 5yz–y = 2y − z–5yy − z = y–z 2 − 5y
 xm+ x m+ 3 = xx1xx1x–x1 m() 3 + =m () +()2 +
1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
 + Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. 
 + Cần chú ý đến việc vận dụng hằng đẳng thức. 
Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
 2
 9x–422=()()() 3x –2 = 3x–2 3x + 2
 3
 8 – 27a3 b 6= 2 3 –()()( 3ab 2 = 2 – 3ab2 4+ 6ab2 + 9a 2 b 4 )
 2
 25x4 – 10x 2 y+= y 2() 5x 2 – y
1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử và phối hợp các phương pháp 
 + Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm. 
 + Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức. 
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 2x3 – 3x 2 + 2x – 3 =()()()()() 2x3 + 2x – 3x2 + 3 = 2x x2 + 1 – 3 x2 + 1 = x2 + 1() 2x – 3
 2
 x2 –2xy+ y2 – 16 =()()() x – y − 42 = x – y – 4 x – y+ 4
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử i) 3a2 – 6ab+− 3b2 12c 2 j) x2 – 2xy++ y2 – m 2 2mn – n2
 k) a2 –10a+ 25 – y2 – 4yz – 4z2 l) x22++ 3cd() 2 – 3cd – 10xy – 1 25y 
 2 22
 m) 4b2 c 2 –() b 2+ c 2 – a 2 n) (4x22 – 3x−+ 18)() – 4x 3x 
• Định hướng tư duy. Quan sát các đa thức ta nhận thấy có sự xuất hiện của các hằng
thức đáng nhớ. Một số đa thức ta thấy được trực tiếp các hằng đẳng thức, Một số đa thức 
còn lại khi nhóm các hạng tử ta thấy có các hằng đẳng thức đáng nhớ. Do đó ta sẽ sử dụng 
các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. 
 Lời giải 
 2 2 2
a) a2 y 2+ b 2 x 2 – 2abxy=()()()()() ay − 2 ay bx + bx = ay – bx
 22
b) 100 –()()()() 3x – y= 102 – 3x – y= 10 – 3x + y 10 + 3x – y
 33
c) 27x3 – a 3 b 3 =()()() 3x − ab = 3x – ab( 9x2 + 3abx + a2 b 2 )
 3 3 2 2
d) ab–a–b+ = ab–ab + + ab + + aba–b + + a–b 
 ()()()()()()() 
 2
=+++2b( a2 2ab b2 a 2 – b 2 + a 2 – 2ab += b2 )( 2b 3a2 ++= b 2 4ab) 2b () 2a + b – a2
=2b2a()()()() + b–a 2a + b + a = 2ba + b 3a + b
 22
e) ()()(7x− 4 –2x + 1 = 7x–4–2x–1)( 7x–4+ 2x + 1)()() = 15x–1 3x–1
 22
f) ()()()()x–y+ 4 –2x + 3y − 1 = x–y + 4 2x + 3y–1
 2
g) x–2xy22+ y − 4 =()()() x–y –4 = x–y–2 x–y+ 2
 2
h) x–y–2yz–z2 2 2= x–y 2 ()()() + z = x–y–z x+ y + z
 2
i) 3a2 – 6ab+ b2 − 12c 2 = 3 a – b – 4c2 = 3 a – b – 2c a – b+ 2c
 ()()()
 22
j) x–2xy2 + y–m2 2 + 2mn–n2 = ()()( x–y –m–n= x–y–m + n)( x–y + m–n)
 22
k) a2 –10a+ 25–y2 –4yz–4z2 = ()()( a–5 – y+ 2z = a–5–y–2z)( a–5+ y–2z)
l) x2 + 3cd() 2 – 3cd – 10xy – 1+ 25y2 =( x 2 – 10xy + 25y2)( – 9c 2 d 2 – 6cd+ 1)
 22
= ()()(x – 5y – 3cd – 1= x – 5y – 3cd+ 1)( x – 5y + 3cd – 1) =()x1x–x1x1 +( 22 + + +) =() x1x +() + 2 
g) x4+ 2x–4x 3 − 4 =()()()()() x–44 + 2x–4x3 = x–22 x 2 + 2 + 2xx–22
=()()x–2x2 2 + 2x2 + =() x − 2x() + 2x()2 + 2x2 +
h) x3 –4x 2 + 12x–27 = ()() x3 –27–4x2 –12x=() x–3() x2 + 3x + 9–4xx–3()
=()x–3( x22 + 3x + 9–4x) = () x–3() x–x+ 9
i) x–2x4 3 + 2x − 1 = ()()()()() x–1–2x–2x4 3 = x–12 x 2 + 1–2xx–12
 23
=()()x–1x22 + 1–2x =()()()()() x–1x1x–1 + = x1x–1 +
j) a–a6 4+ 2a 3 + 2a 2 = aa–1a1 4 ()()()() + + 2aa12 + = aa1a–a2 +()3 2 + 2
 2 3 2 2 2 2 2 2 2
=+++=+++aa1a()( a–2a 2) aa1aa1–2a1a–1()()()()() =+ aa1() a–2a2 +
k) 
 2
x4++++=++++=++ x2xx1x2x1 3 2 ()()()()()()4 2 xx3 x12 xx12 +=+ x1xx12 2 ++
l) x4+ 2x 3 + 2x 2 + 2x + 1 =()() x4 + 2x 2 + 1 + 2x3 + 2x
 2 2
=++()()()()()x12 2xx12 +=+ x1x2 2 ++=++ 2x1 x1x12 ()
m) x2 y+ xy 2 + x 2 z + y 2 z + 2xyz =()()() x2 y + xy 2 + x 2 z + xyz + y2 z + xyz
=xy()()()()( x + y + xz x + y + yz x + y = x + y xy + yz + zx)
n) xxxxx1xx1xx15+++++= 4 3 2 4 ()()()() ++2 +++=+ x1 x1xx1()4 ++ 2
Một số bài tập tự luyện 
Bài 1. Phân tích cácđa thức sau thành nhân tử: 
 a) 4x2 − 6x b) 9x4 y 3+ 3x 2 y 4 c) x32−+ 2x 5x 
 d) 3x()() x− 1 + 5 x − 1 e) 2x2 ()() x+ 1 + 4 x + 1 f) −3x − 6xy + 9xz
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 2x22 y−+ 4xy 6xy b) 4x3 y 2−+ 8x 2 y 3 2x 4 y 
 c) 9xy2 3− 3xy 4 2 − 6xy 3 2 + 18xy4 d) 7x2 y 2− 21xy 2 z + 7xyz − 14xy 22 2 2
 g) ()()ax+ by − ay + bx h) ()a22+ b − 5 − 4() ab + 2 i) 
 22
 (4x22− 3x − 18)() − 4x + 3x
 22
 k) 9()() x+ y − 1 − 4 2x + 3y + 1 l) −4x22 + 12xy − 9y + 25 
 m) x2 − 2xy + y2 − 4m 2 + 4mn − n2
Bài 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 8x3 − 64 b) 1+ 8x63 y c) 125x3 + 1 
 y3
 d) 8x3 − 27 e) 27x3 + f) 125x33+ 27y 
 8
Bài 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) x32+ 6x + 12x + 8 b) x32− 3x + 3x − 1 c) 1− 9x + 27x23 − 27x 
 3 3 1
 d) x32+ x + x + e) 27x3− 54x 2 y + 36xy2 − 8y 3
 2 4 8
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) x2− 4x 2 y 2 + y 2 + 2xy b) xy66− 
 22
 c) 25− a22 + 2ab − b d) ()()a+ b + c + a + b − c − 4c2
 HƯỚNG DẪN GIẢI 
 Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 4x2 −− 6x = 2x() 2x 3 
 b) 9xy4 3+ 3xy 2 4 = 3xy 2 3() 3x 2 + y
 c) x3− 2x 2 + 5x = x() x2 − 2x + 5
 d) 3xx1()()()()− + 5x1 − = x13x5 − +
 e) 2xx122()()()+ + 4x1 + = 2x1x +() + 2
 f) −3x − 6xy + 9xz = − 3x() 1 + 2y + 3z
Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 2xy22− 4xy + 6xy = 2xyx() − 2y + 3 Bài 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) ()()()()()x3x13x3− − − − = x3x4 − −
 b) ()()()()()()()()x12x1− + + 3x1x22x1 − + + = x12x13x7 − + +
 c) 6x+ 3 −()()()() 2x52x1 − + = 2x17 + − 2x
 2
 d) ()()()()()()()x5− + x5x5 + − − 5x2x1 − + = x54x9 − −
 e) ()()()()()()()()3x24x3− −−− 23xx1 −− 23x2x1 −+= 33x2x2 −−
Bài 7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 2
 a) ()()()()()()()aba2b− + − ba2ab − − − aba3b − + = 2ab −
 b) 5xy3 − 2xyz − 15y2 + 6z = 5y2 ()()() xy− 3 − 2z xy − 3 = xy − 3() 5y2 − 2z
 c) ()()()()()()()xy2xy+ − + 2xy3xy − − − y2x − = 2xy4x1 − +
 d) ab3 c 2− a 2 b 2 c 2 + ab 2 c 3 − a 2 bc 3 = abc( b2 c − abc + bc2 − ac 2 ) = abc2 ()() b − a b − c
Bài 8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 2
 a) 4x2 − 12x + 9 =() 2x − 3
 2
 b) 4x2 + 4x + 1 =() 2x + 1
 2
 c) 1+ 12x + 36x2 =() 1 + 6x
 2
 d) 9x22− 24xy + 16y =() 3x − 4y
 2 2
 xx2 
 e) +2xy + 4y = + 2y 
 42 
 2
 f) −x2 + 10x − 25 = −() x − 5
 2
 g) −16a4 b 6 − 24a 5 b 5 − 9a 6 b 4 = − a 4 b 4 () 3a + 4b
 2
 h) 25x22− 20xy + 4y =() 5x − 2y
 2
 i) 25x4− 10x 2 y + y 2 =() 5x 2 − y
Bài 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 2
a) ()()()()()3x− 1 − 16 = 3x − 1 − 4 3x − 1 + 4 = 3 3x − 5 x + 1 3
 c) 1− 9x + 27x23 − 27x =() 1 − 3x
 3
 323 3 1 1
 d) x+ x + x + = x + 
 2 4 8 2
 3
 e) 27x3− 54x 2 y + 36xy2 − 8y 3 =() 3x − 2y
Bài 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 22
 a) x2− 4xy 2 2 ++=+− y 2 2xy()()()() xy 2xy =+− xy2xyxy2xy ++
 b) xy6− 6 =()() x1x1xx1xx1 − +()()2 − +2 + +
 2
 c) 25a−+22 2abb −=−− 25()()() ab =−+ 5ab5ab +−
 2 2 2
 d) ()()()()()a++++−− b c a b c 4c2 =++++− a b c a b 3c a ++ b c
 =()(a + b + c a + b − 3c + 1) 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4 =() 3x2 + 2x +() 6x + 4
 =x3x()()()() + 2 + 23x + 2 = x + 2 3x + 2
Ngoài cách làm như trên ta cũng có thể thực hiện một số cách tách hạng tử khác 
+ Cách 2. Tách hạng tử bậc hai ax2 làm xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc 
hẳng đẳng thức. 
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương 
 2
 fx() =++() 4x2 8x4–x2 =+()()()()() 2x2 –x2 =+ 2x2–x2x2x ++=+ x23x2 +
Tách thành 4 hạng tử rồi nhóm 
 fx() = 4x–x2 2 + 8x + 4 =()() 4x2 + 8x–x–42
 =4xx()()()()() + 2–x–2 x+ 2 = x + 2 3x + 2
+ Cách 3. Tách hạng tử tự do c làm xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc hẳng 
đẳng thức. 
 f() x=++ 3x22 8x 16 – 12 =() 3x – 12 ++==+()()() 8x 16 x 2 3x + 2
+ Cách 4. Tách nhiều hạng tử cùng một lúc. 
 2
 fx() =( 3x2 + 12x12–4x +) ()()()()() + 8 = 3x + 2 –4x + 2 = x + 2 3x–2
 2
 f() x=+++()() x22 4x 4 2x +=++ 4x()()()() x 2 2x x +=+ 2 x 2 3x + 2
• Nhân xét.
 + Các đa thức bậc hai một biến f() x= ax2 + bx + c chỉ phân tích được thành nhân tử 
khi và chỉ khi đa thức có nghiệm. 
 + Nếu f() x= ax2 + bx + c có dạng A2 + 2AB c thì ta tách như sau 
 2
 f() x= A2 2AB + B2 – B 2 + c =() A B –() B2 – c
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) x2 – 6x+ 5 b) x2 – x – 12 c) x2 ++ 8x 15 
 Lời giải 
a) x22 – 6x+ 5 = x – x – 5x + 5 = x()()()() x – 1 – 5 x – 1= x – 5 x – 1
b) x22 – x – 12= x + 3x – 4x – 12= x()()()() x + 3 – 4 x + 3 = x – 4 x + 3