Chuyên đề Phương pháp lập phương trình đường tròn - Hình học 10

NHÓM 1. 
DẠNG1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn 
 VÍ DỤ 1 
Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có: 
 a). x22 y 6x 8y 100 0 1 
 b). x22 y 4x 6y 12 0 2 
 c). 2x22 2y 4x 8y 2 0 3 
 Lời giải 
 a) 1 có dạng x22 y 2ax 2by c 0 với: 
 a 3,b 4,c 100 a22 b c 9 16 100 0 . 
 Vậy (1) không phải là phương trình đường tròn. 
 b) 2 có dạng với: 
 a 2,b 3,c 12 a22 b c 4 9 12 0 
 Vậy (2) là phương trình đường tròn tâm là điểm I 2,3,R a22 b c 5. 
 c) Ta có: 
 2x2 2y 2 4x8y203 x 2 y 2 2x4y103 x1 22 y2 6 
 Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm là điểm I1;2,R a22 b c 6.
 VÍ DỤ 2 
Cho phương trình x22 y 2mx 4my 6m 1 0 1 
 Với giá trị nào của m thì 1 là phương trình đường tròn? 
 Lời giải 
 1 có dạng với a m,b 2m,c 6m 1. 
 Vậy để là phương trình đường tròn thì: 
 1
 m 
 a2 b 2 c0 m 2 4m 2 6m10 5m 2 6m10 5 
 m1 
 1
 m 
 Vậy 5 thì (1) trở thành phương trình đường tròn. 
 m1 
 VÍ DỤ 3 
Cho ba điểm A1;4,B 7,4,C 2, 5. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. 
1 | 
 84
 Giải hệ 1 , 3 ta được kết quả a;b ; 
 55
 84 22
 Vậy tâm và bán kính là K; và R 
 55 5 
DẠNG 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
 CÂU 1 
Viết phương trình đường tròn C biết tâm I( 2,3) , bán kính R 3. 
 Lời giải 
 Ta có phương trình đường tròn biết tâm , bán kính là 
 (xy 2)22 ( 3) 9 . 
 CÂU 2 
Viết phương trình đường tròn biết tâm và qua M 2,7 
 Lời giải 
 Ta có IM(0,4) IM 4. 
 Vậy phương trình đường tròn biết tâm và qua là phương trình 
 đường tròn tân I bán kính R IM 4. 
 (xy 2)22 ( 3) 16 
 CÂU 3 
Viết phương trình đường tròn có đường kính AB với A(1,1);B(7,5) . 
 Lời giải 
 Ta có I(4,3) là trung điểm AB . 
 IA 3, 2 R IA 13 . 
 Vậy phương trình đường tròn là phương trình đường tròn tâm I bán kính 
 R IA 13 là: 
 xy 4 22 3 13 
 CÂU 4 
 Viết phương trình đường tròn biết tâm I của đường tròn là giao điểm của đường thẳng 
 dd12, có phương trình là xy 2 và 21xy . Bán kính R 2. 
 Lời giải 
3 | 
 Vậy phương trình đường tròn có đường kính với là phương trình 
 đường tròn tân I bán kính . 
 CÂU 9 
Viết phương trình đường tròn biết tâm của đường tròn là giao điểm của đường thẳng 
có phương trình là và C . Bán kính 
 Lời giải 
 Giao điểm của là I 1,1 . 
 Vậy phương trình đường tròn biết tâm của đường tròn là giao điểm của đường 
thẳng có phương trình là và . Bán kính R 2 là phương trình đường tròn 
tân I bán kính R 2 : xy 1 22 1 4 . 
 CÂU 10 
Viết phương trình đường tròn biết tâm là trung điểm của đoạn AB và bán kính đường tròn 
bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng :4xy 3 11 0 . Với AB 2,3 ; 4,1 
 Lời giải 
 Ta có I 2,3 là trung điểm AB , khoảng cách từ A đến là 
 4.2 3.3 11
 da ,2 
 4322 
 Vậy phương trình đường tròn biết tâm là trung điểm của đoạn và bán kính 
 AB A(1,1);B(7,5)
 đường tròn bằng khoảng cách từ đến đường thẳng . Khi đó, 
 phương trình đường tròn tâm I bán kính là: 
 xy 2 22 3 4 . 
 CÂU 11 
Viết phương trình đường tròn C đi qua 3 điểm ABC 5;3; 6;2; 3; 1 
 R IA 13
 xy 4 22 3 13
 Lời giải 
Cách 1: Phương trình đường tròn C có dạng: x22 y 2 ax 2 by c 0 với điều kiện 
a22 b c 0 
 I
 C đi qua A 5;3 nên: 10a 6 b c 34 0 
 dd, xy 2 21xy R 2.
 C12 đi qua B 6;2 nên: 12a 4 b c 40 0 
 C đi qua C 3; 1 nên: 6a 2 b c 10 0 
5 | 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có AB 3;5 ; 4; 3 , đường phân giác 
trong vẽ từ C là d: x 2 y 8 0 . Lập phương trình đường tròn C ngoại tiếp tam giác . 
 Lời giải 
 A
 B E C
Gọi E là điểm đối xứng của A qua d E BC E (1;1) 
 Phương trình đường thẳng BC: 4xy 3 7 0. 
Ta có C d  BC C( 2;5) 
Phương trình đường tròn có dạng: x2 y 2 2 ax 2 by c 0; a 2 b 2 c 0 
 4a 10 b c 29
 15 99
A, B , C ( ABC ) 6 a 10 b c 34 a ; b ; c 
 248
 8a 6 b c 25
 5 99
Vậy phương trình đường tròn là: x22 y x y 0 
 44
 CÂU 15 
Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H. Gọi 
 17 29 17 9 
 EFG ; ; ; ; (1;5) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CH, BH và AD. Tìm toạ độ 
 5 5 5 5 
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE 
 Lời giải 
Tam giác ABE có F là trực tâm, vậy nếu gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, M là 
trung điểm AB thì ta đã chứng minh được EF 2. IM 
7 | 
Cho hai đường thẳng: d1 : 3 x 4 y 5 0 và d2 : 4 x 3 y 5 0 . Viết phương trình đường tròn có 
tâm nằm trên đường thẳng d: x 6 y 10 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng dd12, . 
 Lời giải 
Tâm I của đường tròn cần tìm ở trên đường thẳng xy 6 10 0 nên có toạ độ là I 6 a 10; a . 
Vì đường tròn cần tìm tiếp xúc với dd12; nên khoảng cách từ I đến 2 đường thẳng này bằng nhau: 
 36 a 10 4 a 5 46 a 10 3 a 5
 R 
 342 2432 2
 a 0
 22aa 35 21 35 
 22aa 35 21 35 70 
 22aa 35 21 35 a 
 33
Với a 0: 
Ta có I 10;0 và bán kính R 7 nên phương trình đường tròn cần tìm là: 
 xy 10 2 2 49 
 70
Với a : 
 33
 30 70 97
Ta có I ; và R nên phương trình đường tròn cần tìm là: 
 11 33 33
 2 2 2
 30 70 97 
 xy 
 11 33 33 
 CÂU 19 
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết phương trình ba cạnh của tam giác là: 
 ABx: 0, BCxy :4 3 120; ACxy :4 3 120 . 
 Lời giải 
Ta có ABC 0;4, 0;4, 3;0 
Gọi I a; b là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 
 cos AB , AI cos AC , AI 
Ta có 1 
 cosBA , BI cos BC , BI
 AB 0;8 , AC 3;4 , AI a ; b 4 
Mà 
 BA 0; 8 , BC 3; 4 , BI a ; b 4 
Thay vào hệ 1 ta có: 
 0a 8 b 4 3 a 4 b 4 
 2 2 2 2
 0 8 3 4 5 b 4 3 a 4 b 4 
 0a 8 b 4 3 a 4 b 4 5b 4 3 a 4 b 4
 2 234 2 2
 08 
9 |