Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỷ - Đại số 10

ĐẠI SỐ 10. CHƯƠNG III. 
PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 
 I KIẾN THỨC CƠ BẢN 
 = 
1. Khái niệm phương trình 
 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f x g x 1 
 trong đó fx và gx là những biểu thức của x . Ta gọi fx là vế trái, gx là vế phải của 
phương trình 1 . 
 Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là những điều 
kiện của ẩn x để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. 
 Nếu f x00 g x thì số thực x0 được gọi là một nghiệm của phương trình f x g x 1 
 Giải phương trình 1 là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). 
 Nếu phương trình không có nghiệm nào thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập 
nghiệm của nó là rỗng). 
2. Phương trình tương đương 
2.1. Phương trình tương đương 
 Hai phương trình f x g x 1 và f11 x g x 2 được gọi là tương đương nếu chúng 
có tập nghiệm bằng nhau (có thể rỗng) 
 Kí hiệu: 12 . 
2.2. Phép biến đổi tương đương 
 Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là phép biến đổi tương 
đương. Ta có một số phép biến đổi tương đương đã biết sau 
 Cộng hoặc trừ cả hai vế với cùng một số hoặc biểu thức. 
 Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc biểu thức khác 0. 
Chú ý. Các phép biến đổi trên không làm thay đổi điều kiện của phương trình thì mới được phương 
trình tương đương 
2.3. Phương trình hệ quả 
 Mỗi nghiệm của phương trình 1 cũng là nghiệm của phương trình 2 thì ta nói phương 
trình 2 là phương trình hệ quả của phương trình 1 . 
 Kí hiệu: 12 . 
Chú ý. + Phép bình phương hai vế một phương trình không phải là phép biến đổi tương đương mà 
chỉ là phép biến đổi hệ quả. 
 + Khi hai vế của phương trình đều không âm, bình phương hai vế của phương trình ta được 
một phương trình tương đương. 
Công thức 
 B 0
 AB 2 . 
 AB 
 xx 1 0 1
a) Điều kiện xác định: 4 x 0 x 4 1 x 4 . 
 9 2x 0 9
 x 
 2
 1
 x 
 2x 1 0 2
 1
b) Điều kiện xác định: x 3 0 x 3 x . 
 2
 xx 1 0 1
 1
 x 
 5x 1 0 5
 2x 3 0 3 1
c) Điều kiện xác định: x x 1 . 
 x 10 2 5
 x 1
 10 x
 x 1
 x 1
 x 10 
 3
 2x 3 0 x 3
d) Điều kiện xác định: 2 x 2 . 
 2x 4 0 2
 x 2
 15 5x 0
 x 3
 Ví dụ 1.2 
 Tìm điều kiện xác định của các phương trình: 
 a) . b) . 
 c) . d) . 
 Phân tích 
Điều kiện xác định của phương trình là các biểu thức trong căn không âm và mẫu thức khác 0 
 Lời giải 
 x 3
 30 x 
 x 2
 x 20 1
a) Điều kiện xác định: 1 x 3. 
 2x 1 0 x 2
 2
 x 10
 x 1
 xx2 5 6 0 x 2
c) Điều kiện xác định: xx2 6 8 0 x 3 . 
 2 x 4
 xx 7 12 0 
 Ví dụ 1.4 
 Tìm điều kiện xác định của các phương trình: 
 a) . b) . 
 c) . d) . 
 Phân tích 
Điều kiện xác định của phương trình là các biểu thức trong căn không âm và mẫu thức khác 0 
 Lời giải 
 x 3
 30 x 
 x 2
 x 20 1
a) Điều kiện xác định: 1 x 3. 
 2x 1 0 x 2
 2
 x 10
 x 1
 2 x 2
 40 x 
 x 2 x 2
b) Điều kiện xác định: x 20 . 
 x 1 x 1;2
 2 
 xx 20 
 x 2
 x 10 x 1
 x 30 x 3
c) Điều kiện xác định: x2 1 0 x 1 x 1;3 \ 2. 
 xx 00
 xx 2 0 2
 x 3
 2
 xx 4 3 0 x 1
 7
d) Điều kiện xác định: x 20 x 2 x 2; \ 3. 
 2
 7 2x 0 7
 x 
 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 . 
b) 
 2
 2 33
Cách 1: Điều kiện xác định x 3 x 3 0 x 0 (luôn đúng với mọi x ) 
 24
Bình phương hai vế của phương trình ta được 
 2
 x2 3332 x x x 2 3332 x x x 2 334129 x x 2 x 
 2 x 1
 3xx 9 6 0 . 
 x 2
Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x 1 là nghiệm của phương trình. 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1. 
 3
 3 2x 0 x 
Cách 2: x2 3 x 3 3 2 x 
 2 2 2
 x 3 x 3 3 2 x 22
 x 3 x 3 9 12 x 4 x
 3
 3 x 
 x 2
 2 x 1. 
 x 1
 2
 3xx 9 6 0 
 x 2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . 
 Ví dụ 2.2 
 Giải các phương trình: 
 a) . b) . 
 Phân tích 
Để giải các phương trình có dạng f()() x g x , f()() x g x ta thường dùng hai cách sau: 
+ Cách 1: Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả. 
+ Cách 2: Biến đổi tương đương 
 f()() x g x
 f()() x g x . 
 g()() x g x
 gx( ) 0
 f()() x g x f()() x g x . 
 f()() x g x
 Lời giải 
a) 
 22
Cách 1: Phương trình tương đương với 2xx 1 2 4x22 4 x 1 x 4 x 4 
 x 3
 3xx2 8 3 0 1 . 
 x 
 3
 1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x 3 và x . 
 3
 Ví dụ 2.4 
 Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào cho ta phương trình tương đương, phép biến đổi 
 nào không cho ta phương trình tương đương? 
 a) Lược bỏ số hạng ở hai vế của phương trình . 
 b) Lược bỏ số hạng ở hai vế của phương trình . 
 c) Thay thế bởi trong phương trình . 
 d) Chia cả hai vế của phương trình cho . 
 e) Nhân cả hai vế của phương trình với . 
 Lời giải 
a) Phép biến đổi này không cho ta phương trình tương đương vì nghiệm của phương trình 
 77
xx2 12 không là nghiệm của phương trình xx2 12 . 
 xx 11
b) Phép biến đổi này cho ta phương trình tương đương vì nghiệm của phương trình 
 55
cũng là nghiệm của phương trình xx2 12 . 
 xx 22
c) Phép biến đổi này không cho ta phương trình tương đương vì nó làm thay đổi điều kiện của 
phương trình ban đầu. 
d) Phép biến đổi này không cho ta phương trình tương đương vì nó làm mất nghiệm của phương 
trình ban đầu. 
e) Phép biến đổi này không cho ta phương trình tương đương vì nó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai 
x 0 không là nghiệm của phương trình ban đầu. 
 Ví dụ 2.5 
 Cho các cặp phương trình sau, phương trình nào là hệ quả của phương trình còn lại? 
 a) và . 
 b) và . 
 Lời giải 
 x 2
a) Ta có: 1 . 2 x 1. 
 x 1
Vậy 1 là phương trình hệ quả của 2 . 
 x 1
b) Ta có: 3 x 2. 4 . 
 x 2