Chuyên đề Phương pháp giải phương trình lượng giác - Đại số 11

 Đại số lớp 11 | 
 ĐẠI SỐ 11. CHƯƠNG I. 
 LƯỢNG GIÁC 
 PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
BÀI TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sinxa 1 . . 
 I LÝ THUYẾT. 
Trường hợp a 1 phương trình vô nghiệm. 
Trường hợp a1 , khi đó. 
 sinx 0 x k 
+ Đặc biệt: sinx 1 x k 2 ; k Z . 
 2
 sinx 1 x k 2 
 2
+ Không đặc biệt: Tồn tại một số sao cho a sin ta được 
 x k2 
 Nếu (chẵn số) thì sin x a sin x sin ,k . 
 x k2 
 x arcsin a k2 
 Nếu (lẻ số) thì ,k . 
 xa rcsin a k2 
 x  k.360 
 Nếu (tính theo độ) thì sin x sin  ,k . 
 x  k.360 
Chú ý : Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 
 1 | Đại số lớp 11 | 
 k2 
 32x k x 
 1 6 18 3
g. sin3x sin3x sin k . 
 2 6 5 5k 2 
 32x k x 
 61 8 3
 x 
 k2 
 xx 3 2 3 3
h. sin sin sin k . 
 2 3 2 2 3 3 x 4
 k2 
 2 3 3
 x 2 
 k2 4 
 23 xk 4 
 kk 3 . 
 x 
 k2 xk 24 
 2
 3xk 1 2 
 1 6
i. 2sin 3x 1 1 sin 3 x 1 sin 3 x 1 sin k . 
 265 
 31xk 2 
 6
 12k 
 3x 1 k 2 x 
 6 18 3 3
 kk . 
 5 5 1k 2 
 3x 1 k 2 x 
 6 18 3 3
j. sin sin x 0 sin x k k . 
 33 
Vì sin x  1;1 và k nên ta có k 0. 
 3
 sin x 0 x k k x k k . 
 3 3 3
k. Ta có sin 2xx sin 
 23 
 5 
 22x x k xk 2 
 23 6
 k k . 
 52 k
 22x x k x 
 23 18 3
 3
 sin 3x 
 3 
l. Ta có sin2 3x 2 
 4 3
 sin 3x 
 2
 3 | Đại số lớp 11 | 
 7 7 1
 02 kk không tồn tại k . 
 6 12 12
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
 Ví dụ 3 
 Tìm nghiệm của phương trình trên khoảng . 
 Lời giải 
Ta có 
 3
 2sin x 40  3 sin x 40  
 2
 xk 40  60  360  xk 20  360 
 k k 
 xk 40  120  360  xk 80  360 
Theo đề bài: 
 54
 180  20  k 360  180  k k 0. 
 99
 13 5
 180   80k 360  180  k k 0 . 
 18 18
Vậy phương trình có hai nghiệm x 20 và x 80 . 
 Ví dụ 4 
 Tìm nghiệm của phương trình trên đoạn . 
 Lời giải 
Điều kiện: cosx 1 x l 2 l 
Khi đó 
 sin3x 
 0 sin3x 0 3 x k k x k k 
 cosx 1 3
 xm 2 
Kết hợp điều kiện ta được: x m m . 
 3
 2 
 xm 
 3
 7 8 10 11 
Vì x 2 ;4  nên x 2 ; ; ; ; . 
 3 3 3 3
 5 | Đại số lớp 11 | 
 Lời giải 
 2 3
a. Ta có cos 3x cos 3x cos 
 62 64 
 3 11 k 2
 32x k x 
 64 36 3
 k k . 
 3 72 k
 32x k x 
 64 36 3
 2 2
b. Ta có cos x 2 x 2 arccos k 2 
 5 5
 2
 x arccos 2 kk 2 . 
 5
 1
c. Ta có cos 2x 50  cos 2x 50  cos60  
 2
 2xk 50  60  .360  xk 5  .180 
 k k . 
 2xk 50  60  .360  xk 55  .180 
 1 2cosx 0
d. Ta có 1 2cosxx 3 cos 0 
 3 cosx 0
 12 
 cosx x k 2 k . 
 23
 k2 
e. Ta có cos 3x 1 3x k2 k x k 
 6 6 18 3
 12 
f. Ta có 2cosx 1 cosx x k 2 k .
 23 
 2020
g. Ta có 2019.cos x 30 2020 cos x 30 1 ( vô nghiệm). 
 2019
 170
h. Ta có cos 3x 10 1 3x 10 180  k.36 0  x k.120  k . 
 3
i. Ta có sin3xx cos2 0 sin3xx sin 2 
 2
 k2
 3x 2 x k 2 x 
 2 10 5
 kk . 
 3x 2 x k 2 xk 2 
 2 2
j. Ta có cos cos x 2 1 cos x 2 k 2 k 
Vì: 1 cos x 2 1 nên k 0 . 
 7 | Đại số lớp 11 | 
BÀI TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
 tan x u1 VÀ cot x v 2 . 
 I LÝ THUYẾT. 
 tan x u 1 cot x v 2 
 cotx 0 x k 
 tanx 0 x k 2
 Đặc biệt: tanx 1 x k ; k cotx 1 x k ; k 
 4 4
 tanxx 1 k cotxx 1 k 
 4 4
 Điều kiện xk với kZ xk với kZ 
 2
 Tồn tại một số sao cho u tan Tồn tại một số sao cho v cot 
 Nếu (chẵn tanx tan xk k cot x cot xk k 
 số) 
 Nếu (lẻ tan x u x arctan u k k cot x u 
 số) x arccot u k k 
 Nếu (theo tan x tan  cot x cot  
 đơn vị độ) x  k.180  k x  k.180  k 
Chú ý : Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 
 II VÍ DỤ. 
 = 
 9 |