Chuyên đề Phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp - Đại số 10

 CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10. 
 Vấn đề 3: HỆ ĐẲNG CẬP BẬC HAI 
1. Định nghĩa. 
 22
 a1 x b 1 xy c 1 y d 1
 Hệ đẳng cấp bậc 2 có dạng: 
 22
 a2 x b 2 xy c 2 y d 2
2. Phương pháp giải. 
 * Cách 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình thuần nhất: Ax22 Bxy Cy 0 sau đó chia 
 cả hai vế cho yy2 ( 0)hoặc xx2 ( 0) hoặc đưa về phương trình tích 
 * Cách 2: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình 1 . 
 TH1: Nếu y 0, thay trực tiếp vào hệ phương trình 
 TH2: Nếu y 0, đặt x ty khi đó phương trình (1) trở thành y22 At Bt C 0. 
 * Cách 3: Từ hệ phương trình khử số hạng x2 ( hoặc y 2 ) để dẫn tới phương trình khuyết x2 . Rút 
 x theo y rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ ta được một phương trình trùng phương 
 theo ẩn y . 
3. Áp dụng. 
 22
 2x 3 xy y 15 1 
Câu 1. Giải hệ phương trình . 
 22
 x xy 2 y 8 2 
 Lời giải 
 2x2 3 xy y 2 15 16 x 2 24 xy 8 y 2 120
 Cách 1: 
 2 2 2 2
 x xy 2 y 8 15 x 15 xy 30 y 120
 Khử số hạng tự do từ hệ ta được phương trình x22 9 xy 22 y 0 3 
 Từ pt(3) với y 0 thì x 0 thay vào hệ phương trình không thỏa mãn, nên y 0 
 x
 2 2
 2 xx y
 chia cả hai vế của phương trình 3 cho y ta được: 9 22 0 
 yy x
 11
 y
 x 22 yx 12 
 Với 22 xy thay vào 2 ta được: 8yy 8 1 
 y yx 12 
 1 11
 yx 
 x 1 14 14
 Với 11 xy 11 thay vào ta được: 112yy22 8 
 y 14 1 11
 yx 
 14 14
 Thay * vào phương trình (2) của hệ, ta được: 
 2
 22x2 
 22 42
 2x 4 x 2 2 m 4x mx 8 0 3 . 
 x
 Đặt t x2 t 0 , khi đó 3 4t2 mt 8 0 4 
 Xét thấy (4) luôn có hai nghiệm trái dấu nên với mọi m thì hệ đã cho luôn có nghiệm. 
 Nhận xét: Hệ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 4 có ít nhất một nghiệm dương. 
 x3 2 x 2 y 2 y 3 1
Câu 3. Giải hệ phương trình . 
 3 2 2 3
 x x y 5 xy 5 y 2
 Lời giải 
 3 2 3
 2x 4 x y 4 y 2 1 
 Ta có hệ tương đương với 
 3 2 2 3
 x x y 5 xy 7 y 2 2 
 Lấy (1) - (2) ta được phương trình x3 3 x 2 y 5 xy 2 3 y 3 0. 
 x3 1
 Dễ thấy với y 0 hệ trở thành . Do đó hệ vô nghiệm 
 3
 x 2
 Với y 0 , chia cả hai vế cho y 3 ta được: 
 32
 x x x x
 3 5 3 0 1 xy. 
 y y y y
 Thay vào 2 ta được 2yy3 2 1. 
 Vậy hệ phương trình có duy nhất 1 nghiệm xy, 1,1 . 
 22
 x y x xy y 20 
Câu 4. Giải hệ phương trình . 
 23
 x x 2 y 2 y 1 xy x 2 y 0
 Lời giải 
 FB: Hung Tran 
 3 2 3
 x 2 x y y 2 0 1 
 Hệ phương trình tương đương với . 
 3 2 2 3
 x 3 x y 2 xy 2 y 2 0 2 
 Cộng vế với vế hai phương trình ta được: 2x3 y 3 x 2 y 2 xy 2 0
 yx 2
 22 
 20x y x y yx. 
 yx 
Từ (2) ta thấy y 0 không thỏa mãn hệ phương trình, nên với y 0
 (1) 5xy2 3 y 3 4 y 2 xy 2( xy y ) (3) 
Thế 2 xy y2 vào (3) ta được: 5xy2 3 y 3 4 y 2 xy ( xy y 2 )( xy y ) (4) 
Đặt x ty (đk: t 0 ), phương trình (4) trở thành: 
 5ty3 3 y 3 4 yty 2 2 ( tyy 2 2 )( tyy 2 ) yt 3 (534) tyt 3 (1)( t 1)
 534t t (1)( t t 1) t t 45 t t 20 .
 32 t 2 
 t 4 t 5 t 2 0 (thoả mãn) 
 t 1
 x
 2
 t 24 y x y
Với 
 tx 1 xy 
 1
 y
Với xy thế vào (2) 2y2 2 y 1 x 1 
 10 4 10
Với xy 4 thế vào (2) 52y2 y x 
 22
 4 10 10
Kết luận: So sánh với điều kiện của hệ pt, nghiệm xy; của hệ là: 1;1 , ;
 55
Cách 2 
 x 0
Điều kiện: y 0 
 2(2y22 1) x (5 xy 3 y 2) y 4y22 x 2 x 5 xy y 3 y y 2 y
 2 2 
 xy y 2 xy y 2
 5xy y 3 y22 y 4 y x 2 x 2 y (1)
 2 
 xy y 2 (2)
Từ (2) ta thấy không thỏa mãn hệ phương trình, nên với 
Thế vào (3) ta được: 
Chia cả 2 vế của (4) cho y 3 : 
 x x x x
 (4) 5. 3 4. 1 1 
 y y y y
 x x x x x x x x x x
 5. 3 4. 5. 3 4. 
 y y y y y y y y y y
Ta có : (xy ; ) (0;0) không là nghiệm của hệ phương trình. 
Xét x 0 , chia cả hai vế của hai phương trình cho x2 , ta được hệ phương trình: 
 2
 3 yy 1
 8yy 13 2 4 
 x x x
 (I) 
 1
 y2 20 
 x2
 3 2 2
 1 8y 13 y z yz 4 y z 
Đặt z , ta có: I 
 22
 x yz 2
 3 2 2 2 2
 8y 13 y z yz 2 y z y z 1 
 22
 yz 2 2 
Khi đó, phương trình (1) trở thành phương trình đẳng cấp bậc ba, đặt y tz , ta được: 
 16 tz3 3 11 tztzz 2 3 3 3 20 3 zt 3 611320 3 tt 2 
 1
 t 
 3
 32 
 6t 11 t 3 t 2 0 (vì zy 00 không là nghiệm của hệ) t 2 
 1
 t 
 2
 1 1 1
+ Trường hợp 1: t y z 
 3 3 3x
 1 5 5
Theo đề, ta có: x2 y 2 2 x 2 1 0 2 x 2 1 0 x 2 x . 
 9 9 3
  5 5 5 5 
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm S ;;; . 
 1  
  3 5 3 5 
 2 5 10
+ Trường hợp 2: t 22 y z , tương tự xx2 . 
 x 22
  10 2 10 10 2 10 
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm S ;;; . 
 2  
  2 5 2 5 
 1 1 1 5 10
+ Trường hợp 3: t y z , tương tự xx2 . 
 2 2 2x 84
  10 10 10 10 
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm S ;;; . 
 3  
  4 5 4 5 
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
  5 5 5 5 10 2 10 10 2 10 10 10 10 10 
S  ;;;;;;;;;;; 
 3535 25 25 4545 
 