Chuyên đề Phương pháp giải hệ phương trình bằng phương pháp thế - Đại số 10

 CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10. 
 Vấn đề 4: GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 
Dạng 1. Phương pháp thế ẩn. 
1.1. Phương pháp giải: Từ một trong hai phương trình, rút y theo x (hoặc ngược lại) thế vào phương 
trình còn lại. Giải phương trình ẩn x để tìm x , sau đó tìm được y tương ứng. 
1.2. Bài tập ví dụ: 
 xy 2
Câu 1. Giải hệ phương trình . 
 33
 xy 26
 Lời giải 
 Tác giả: Đinh Thị Mỹ; Fb: Mỹ Đinh 
 Biến đổi hệ về dạng: 
 x 1
 yx 2 
 yx 2 yx 2 y 3
 x 1 . 
 3 3 2 
 xx 2 26 xx 2 3 0 x 3
 x 3 
 y 1
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là 1;3 và 3; 1 . 
 x y m 0
Câu 2. Cho hệ phương trình 2 
 y 2 x 2 m 3 0
 a. Giải hệ phương trình với m 1. 
 2 2 2 2
 b. Tìm m để hệ có hai cặp nghiệm phân biệt xy11; và xy22; thỏa mãn x1 y 1 x 2 y 2 * 
 Lời giải 
 Tác giả: Bùi Phùng Đức Anh; Fb: Anh Bùi 
 a. Biến đổi hệ về dạng: 
 y x m y x m
 2 22 
 x m 2 x 2 m 3 0 x 2 m 1 x m 2 m 3 0
 Với m 1, ta được: 
 x 2
 y x 11 y x y 1
 2 
 x 4 0x 2 x 2
 y 3
 b. Biến đổi tiếp hệ về dạng: 
 (1)2( xyx2 2 )( yx 3 6 )02( xyx 2 2 )( yxyyxx 2 )( 2 2 4 )0 
 yx 2 0
 (y x2 )(2 x 2 y 2 yx 2 x 4 ) 0 . 
 2 2 2 4
 20x y yx x 
 +) yx 2 0 ta có yx 2 : Thế vào phương trình (2) ta được: 
 (x 2) x2 1(1) x 2 ( x x 2 12)(2 x x 2 1( x 2 1))0 
 x( x2 1 2) x 2 1(2 x 2 1) 0
 x2 1 2 0 (3)
 (x22 1 2)( x x 1) 0 . 
 2
 xx 1 0 (4)
 Giải phương trình (3) được hai nghiệm x1,2 3 . 
 Với x1 3 tính được y1 3 ( thỏa mãn). 
 Với x2 3 tính được y2 3 ( thỏa mãn). 
 2 x 0
 (4) xx 1 22 vô nghiệm. 
 xx 1
 2
 2 2 2 4 2 13 2 4 x 0
 +) 2x y yx x 0 2 x y x x 0 thay vào (2) không thỏa mãn. 
 24 y 0
 Vậy hệ có hai nghiệm là ( 3;3) và ( 3;3). 
1.3. Bài tập rèn luyện. 
 2xy 3 5 (1)
Bài 1. Giải hệ phương trình 22 
 3x y 2 y 4 (2)
 Lời giải 
 53 y
 Từ phương trình (1) ta được x . 
 2
 2 y 1
 53 y 2 2 
 Thế vào phương trình (2): 3 yy 2 4 23yy 82 59 0 59 
 2 y 
 23
 Với yx 11 
 59 62
 Với yx 
 23 23
 62 59
 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1; 1 và ; 
 23 23
 3 3 2
 x y 3 y x 4 y 2 0 (1)
Bài 2. Giải hệ phương trình 
 x y y x 1 x y 7 (2)
 yx2
 y 22 x y x 
 (4) 22 22 
 2(2)x 2(2)13(2) x x x 2 x 4 x 10 x 
 2
 22 22 
 x x 
 2 hoặc 2 
 y 22 y 22
Dạng 2. Phương pháp thế biểu thức. 
2.1. Phương pháp giải: Từ một trong hai phương trình, rút biểu thức u(,) x y theo v(,) x y thế vào 
phương trình còn lại. 
2.2. Bài tập ví dụ. 
 x33 8 x y 2 y (1)
Câu 1: Giải hệ phương trình 
 22
 xy 3 3( 1) (2)
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thị Thảo; Fb: Cỏ Vô Ưu 
 Từ phương trình (2) xy22 3( 2) (3) thay vào phương trình (1) ta được: 
 xy22 3( 2)
 x2 3( y 2 2) x 2 3( y 2 2)
 2
 3 2 3 x 2
 x 8 x y ( y 2) x 8. x y x (3 x 3 xy 24) 0
 3
 xy22 3( 2)
 x 0
 3x2 24
 y 
 x
 * Với x 0 thay vào (3) ta có: y2 20vô nghiệm. 
 2 2 2
 3x 24 2 3x 24
 * Với y thay vào (3) ta được: x 36 
 x x
 x2 9 xy 31 
 42 
 13xx 213 864 0 96 96 78 . 
 x2 xy 
 13 13 13
  96 78 96 78 
 Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là . 
 S (3;1);( 3; 1); ; ; ; 
  14 13 14 13 
 7x y 2 x y 5 (1)
Câu 2. Giải hệ phương trình 
 2x y x y 2 (2)
 Với x 11 y x y , thế vào (3) ta được 
 84xy 314 xy 2 1684 xy 34 xy 34 xy 5 
 4xy 3 4 xy 5 4 xy 3 8 0 
 Vì x y11 x y 2 4 xy 4540454380 xy xy xy 
 3
 Nên 4xy 34 xy 54 xy 3804 xy 30 xy 
 4
 1
 x 
 2
 3
 xy 1 y 
 2
 Từ đó ta có hệ 3 tm * 
 xy 3
 4 x 
 2
 1
 y 
 2
 13 31
 Vậy hệ đã cho có nghiệm là xy ; và xy ;. 
 22 22
1.3. Bài tập rèn luyện. 
 22
 x y 1 x y 1 3 x 4 x 1
Bài 1. Giải hệ phương trình 
 2
 xy x 1 x
 Lời giải 
 Tác giả: Nguyễn Thị Hương; Fb: Nguyễn Hương 
 22
 x y 1 x y 1 3 x 4 x 1 1 
 2
 xy x 12 x 
 Ta thấy x 0 không thỏa mãn phương trình (2). 
 x2 1
 Với x 0 từ (2) có y 1 , thay vào (1) ta được. 
 x
 22
 2xx 11 2 2 2
 x. x 3 x 4 x 1 x 1 2 x 1 x 1 3 x 1 
 xx 
 x 1 2 x32 2 x x 1 x 1 3 x 1 
 x 1 2 x32 2 x 4 x 0 2 x x 1 2 x 2 0
 x 1 hoặc x 2 do x 0 . 
 Với x 1 thì y 1 
 32
 y y x 3 x 2 y 0 1 
Câu 1. Giải hệ phương trình 
 2
 x xy 32 
 Lời giải 
 Tác giả: Trương Thúy ; Fb: Thúy Trương 
 Từ (2) thế 3 x2 xy vào (1) ta được 
 yyxxxyx3 2 2 2 y 0 yyxxxy 3 2 3 2 0 
 y2 y x x 2 x y 00 x y x 2 y 2 
 2 xy 
 x y x y 0 
 xy 
 66
 Với xy thay vào (2) ta được 23x2 x y 
 22
 Với xy thay vào (2) ta được 03 . Phương trình (2) vô nghiệm 
 66 66
 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ; và ;. 
 22 22
 x22 5 y 3 6 y 7 x 4 0
Câu 2. Giải hệ phương trình 
 y( y x 2) 3 x 3
 Lời giải 
 Tác giả: Ngô Gia Khánh; Fb: Khánh Ngô Gia 
 x22 5 y 3 6 y 7 x 4 0 (1)
 Xét hệ . 
 y( y x 2) 3 x 3 (2)
 Điều kiện: yx2 7 4 0 
 Ta có: (2) y2 (2 x ) y 3 x 3 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 
 (x 4)2 
 xx 24 
 y 3
 2
 Phương trình có hai nghiệm: 
 xx 24 
 yx 1
 2
 * Trường hợp 1: y 3 thay vào (1), ta được xx2 18 6 13 7 0 (vô nghiệm) 
 * Trường hợp 2: y x 1 thay vào (1), ta được x22 5x 2 6 x 5 x 5 0 (3) 
 Giải (3): Đặt xx2 55= t , điều kiện t 0. Khi đó, (3) trở thành: 
 2 t 1 (t/m) 
 tt 6 7 0 
 t 7 (ko t/m)
 22 xy 12 
 Với t 1 ta có: x 5 x 5 1 x 5 x 4 0 (thỏa mãn) 
 xy 45 
 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là: (1;2) và (4;5) .