Chuyên đề Phương pháp giải hệ đối xứng loại II - Đại số 10

 CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LỚP 10. 
 Vấn đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II 
1. Định nghĩa 
 F x;0 y 
 Hệ đối xứng loại II là hệ có dạng: . Trong đó F x; y là biểu thức không đối xứng. 
 F y;0 x 
 Hay nói cách khác hệ đối xứng loại II là hệ mà khi ta đổi vai trò của xy, cho nhau thì phương 
 trình của hệ này chuyển thành phương trình kia. 
2. Phương pháp giải 
 Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ ta được một nhân tử chung là xy : 
 xy 
 FxyFyx ; ; 0 xyfxy . ; 0 
 f x;0 y 
3. Áp dụng 
 x2 32 x y
Câu 1. Giải hệ phương trình: . 
 2
 y 32 y x
 Lời giải 
 Trừ vế với vế hai phương trình, ta được: 
 22 xy 
 x y 3 x 3 y 2 y 2 x x y x y 10 . 
 xy 10 
 Do đó hệ đã cho tương đương với: 
 x2 32 x y x2 32 x y
 hoặc . 
 xy 0 xy 10 
 x2 32 x y xx 50 xy 0
 Trường hợp 1: . 
 xy 0 xy xy 5
 x22 3 x 2 y x2 3 x 2 1 x x x 2 0 x 1 x 2
 Trường hợp 2: hoặc . 
 x y 1 0 yx 1 y 1 x y 2 y 1
 Vậy hệ có bốn nghiệm 0;0 , 5;5 , 1;2 , 2; 1 . 
 Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm xy00; thì cũng có nghiệm yx00; . 
 y
 xy 34 
 x
Câu 2. Giải hệ phương trình sau: . 
 x
 yx 34 
 y
 x 0 x 0
 xx 11 
 xx 1 0 3 5
 x 
 2
 3 5 3 5
 Vậy hệ có 3 cặp nghiệm: xy; 0;0 , 1;1 , ; . 
 22
 22
 x 1 y 6 y x 1 
Câu 5. Giải hệ phương trình sau: . 
 22
 y 1 x 6 x y 1 
 Lời giải 
 xy222 66 x y yx y
 Hệ đã cho 
 2 2 2
 yx 66 y x xy x
 Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được: 
 2xyyx 7 xy xyxy 0 xyxyxy 2 7 0
 xy 
 x y 2 xy 7 0
 2 xy 2
 + Nếu xy thay vào hệ ta có: xx 5 6 0 
 xy 3
 + Nếu x y 2 xy 7 0 1 2 x 1 2 y 15 . 
 Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được: 
 22
 x22 y 5 x 5 x 12 0 2 x 5 2 y 5 2. Đặt a 2 x 5, b 2 y 5 . 
 ab 0
 22 2 
 ab 2 a b 22 ab ab 1
 Ta có: 
 ab 4 4 15 ab 41 a b ab 8
 ab 31
 ab 0
 Trường hợp 1: xy; 3;2 , 2;3 . 
 ab 1
 ab 8
 Trường hợp 2: vô nghiệm. 
 ab 31
 Vậy nghiệm của hệ đã cho là: xy; 2;2,3;3,2;3,3;2 . 
 y2 2 x2 2
 Từ 30yy ; 30xx . 
 x2 y2
 Suy ra: 30xy x y . Do đó TH2 không xảy ra. 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1 . 
 2xy 3 4 4 (1)
Câu 8. Giải hệ phương trình: . 
 2yx 3 4 4 (2)
 Lời giải 
 3
 x 4
 2
 ● Điều kiện: . 
 3
 y 4
 2
 Lấy 12 , hệ phương trình đã cho tương đương với hệ : 
 2xy 3 4 4
 (23x 23)(4 y y 4)0 x 
 2xy 3 4 4
 2(x y ) ( x y ) 
 0
 2x 3 2 y 3 4 x 4 y
 2xy 3 4 4
 21 
 (xy )( ) 0
 2x 3 2 y 3 4 x 4 y
 2xy 3 4 4
 21 
 xy 0 do 0
 2x 3 2 y 3 4 x 4 y
 2xy 3 4 4
 xy 
 xy 3
 x 7 2 (2 x 3)(4 y ) 16 
 11 
 xy xy 
 9
  11 11
 ● So với điều kiện, hệ có hai nghiệm: S  3;3 , ; . 
  99
 2
 x 3 2 x 3 y 1 
Câu 9. Giải hệ phương trình: . 
 2
 y 3 2 y 3 x 2 
 25 4m 0
 25
 25 4m 0 m 
 4 
 50 
 Điều kiện đủ: 
 25
 Với m , ta có 
 4
 2
 22 3x2 y y 1 m 1
 3x y y 2 y m (1) 
 (I) xy,0 
 3y22 x x 2 x m (2) 3y2 x x 12 m 1
 cộng vế với vế của (1) và (2), ta được: 
 x x22 5 x m y y 5 y m 0 
 22
 5 25 5 25 
 x x m y y m 00 x y 
 2 4 2 4 
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi . 
4. Bài tập tự luyện 
 x2 3 x y
Câu 1. Giải hệ phương trình . 
 2
 y 3 y x
 x y2 y 1
Câu 2. Giải hệ phương trình . 
 2
 y x x 1
 1 y2
 x 2
 1 y
Câu 3. Giải hệ phương trình . 
 1 x2
 y 
 1 x2
 1
 yx5
 x
Câu 4. Giải hệ phương trình: . 
 1
 xy5
 y
 2xy 1 1
Câu 5. Giải hệ phương trình sau: . 
 2yx 1 1
 2x22 3 x y 2 1
Câu 6. Giải hệ phương trình sau: . 
 2y22 3 y x 2 2
 1 1
 x x 
 Khi xy thì 2x x 1 1 x 1 1 2 x 2 2 x 0 
 2 2
 xx 1 1 2 4x 50x
 1 13
 Khi yx 11 thì 2x 2 y 2 x y (vô nghiệm vì xy,1 ) 
 2 24
 Vậy hệ phương trình có nghiệm 0;0 . 
Câu 6. Lấy 1 trừ 2 vế với vế ta được: 
 3x22 3 y (33)0( x y x y )( x y )( x y )0 
 x y 0 x y
 (x y )( x y 1) 0 
 x y 1 0 x 1 y
 Với xy thay vào (*) ta có: 
 2 2 2 x 11 x y 
 2x 3 x x 2 x 3 x 2 0 
 x 22 x y 
 Với xy1 thay vào (*) ta có: 
 2y2 3 y (1 y ) 2 2 y 2 y 1 0 (vô nghiệm) 
 Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (1; 1) và (2; 2). 
Câu 7. ĐS: (x;y) = (-2;-2) 
Câu 8. ĐS: (x;y) = (7;7) 
 x 0
Câu 9. Điều kiện 
 y 0
 Lấy 12 theo vế ta được: 
 xyxyxyy3 33 2 2 2112112 x yy 2 42 xx 2 4 
 22
 22 2 x xy y 4 x y 
 x y x xy y 3 x y 1 2 0 
 22
 2x 11 2 y 11 x x 4 y y 4
 xy(do xy,0 ). 
 Thay yx vào phương trình thứ nhất của hệ ta được: