Chuyên đề Phương pháp giải bài toán về quỹ tích điểm - Hình học 10

 HÌNH HỌC 10 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 6: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUỸ TÍCH 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
 II BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 Ví dụ 1 
 Ví 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2 , B 1;6 , C 2; 1 . Biết tập hợp các điểm 
 M thỏa mãn 34MA2 MB 2 MC 2 là đường thẳng d . Tính tổng khoảng cách từ ba điểm ABC,, 
đến d . 
 Lời giải 
Giả sử M x; y . 
 2 2 2 2 2 2
Ta có 3MA2 MB 2 4 MC 2 3 x 1 y 2 x 1 y 6 4 x 2 y 1 
 5xy 8 8 0 
Khi đó 
 5. 1 8.2 8 5.1 8.6 8 5.2 8. 1 8
d A;;; d d B d d C d 
 582 2
 74 74 89
 .
 89 89
 Ví dụ 2 
 Ví 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;3 và B 0;1 . Tìm tập hợp các điểm M 
thỏa mãn 2MA MB MO (với O là gốc tọa độ). 
 Lời giải 
Gọi I là điểm thỏa mãn 20IA IB . Dễ dàng có I 4;5 . 
Khi đó 
 22MA MB MO MI IA MI IB MO
 MI 2 IA IB MO MI MO
 Lời giải 
Đặt AB 2 a và đặt AB, vào hệ trục toạ độ với Ox trùng AB và Oy trùng với trung trực của AB
. Khi đó A a;0 , B a ;0 . Với điểm M x; y bất kỳ, ta có M thuộc quỹ tích khi và chỉ khi 
 2 2 2
 MA k MB 
 22
 x a y2 k 2 x a y 2 
 k2 1 x 2 2 a k 2 1 x k 2 1 y 2 k 2 1 a 2 0 . 
Nếu k 1 thì quỹ tích là đường thẳng x 0 . Nếu k 1 thì phương trình trên được viết lại thành 
 222 2
 22a ( k 1) 2 2 a ( k 1) 2 2 ka
 x 2 x y a 0 x 2 y 2 . 
 k 1 k 1 k 1
Suy ra quỹ tích là một đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB (đường tròn Appolonius). 
 Ví dụ 6 
 Ví 
Cho đường thẳng : 2xy 1 0 và điểm M thỏa mãn dM , 2 5 . Tìm điểm M sao 
cho khoảng cách OM ngắn nhất, với O là gốc tọa độ. 
 Lời giải 
Gọi tọa độ của điểm M x; y . 
 21xy 2x y 11 0 d1 
d M, 2 5 2 5 2 x y 1 10 
 22
 21 2x y 9 0 d2 
Như vậy tập hợp điểm M là đường thẳng d1 hoặc d2 . 
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên d1 .Phương trình OH : x 2 y 0 . 
 22
 x 
 2xy 11 0 5 22 11 11 5
Tọa độ điểm H thỏa mãn hệ H ; OH (1) 
 xy 2 0 11 5 5 5
 y 
 5
+) Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên d2 .Phương trình OK : x 2 y 0 . 
 18
 x 
 2xy 9 0 5 18 9 9 5
Tọa độ điểm K thỏa mãn hệ K ; OK (2) 
 xy 2 0 9 5 5 5
 y 
 5
 95 18 9
So sánh kết quả (1) và (2) suy ra khoảng cách OM ngắn nhất bằng khi M ; . 
 5 55
 Ví dụ 7 
 Ví 
Cho ABC , M là điểm di động trên cạnh BC . Hạ MN , MQ tương ứng vuông góc và song 
song với AB N AB, Q BC . Gọi P là hình chiếu của Q trên AB , I là tâm của hình chữ 
nhật MNPQ . Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh BC . 
 Lời giải 
đường thẳng BC. 
 Lời giải 
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với O là trung điểm của BC . 
Đặt BC 20 a . Khi đó tọa độ của B a;0 , C a ;0 
Giải sử A x0; y 0 , y 0 0. 
 xx 22
 0 ax 0
Khi đó tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ Hx 0 ;. 
 x00 a x a y y 0 y0
 2 2 2
 xy00 2x0 3 a 3 x 0 y 0
Trọng tâm G ; , trung điểm K ; . 
 33 36y0
 xy22
Điểm K thuộc đường thẳng BC 3 a2 3 x 2 y 2 0 00 1, y 0 . 
 0 0aa223 0
Vậy quĩ tích của A là hyperbol. 
 Ví dụ 9 
 Ví 
Trong mặt phẳng cho vuongđường thẳng và một điểm A không nằm trên . Xét BC, sao cho 
 BC b 0 cho trước.Hide Tìm Luoiquỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 
 Lời giải 
 y
 A
 I
 x
 B H O C
Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên và đặt a d A; . 
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A 0; a , O 0;0 (trục hoành chứa và trục tung chứa OA ) 
Trong hệ trục tọa độ này Bx 0;0 , C x0 b;0 . 
 b b
Gọi H là trung điểm của BC . Suy ra Hx 0 ;0 và HB HC . 
 2 2