Chuyên đề Phương pháp giải bài tập về Elip - Hình học 10

pdf 11 trang thanh nguyễn 01/09/2024 510
Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề Phương pháp giải bài tập về Elip - Hình học 10", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

Tóm tắt nội dung tài liệu: Chuyên đề Phương pháp giải bài tập về Elip - Hình học 10

Chuyên đề Phương pháp giải bài tập về Elip - Hình học 10
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ELIP 
 I LÝ THUYẾT 
 = 
1. Định nghĩa 
Cho hai điểm cố định FF12; với F12 F 2 c và một độ dài không đổi 2a 0 ca . Elip là tập hợp 
các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF12 MF2 a . 
Ta gọi FF12; là tiêu điểm. 
F12 F 2 c là tiêu cự. 
FMFM12; là bán kính qua tiêu. 
2. Phương trình chính tắc của elip 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với F12 c;0 , F c ;0 : 
 xy22
 M x; y E 1 1 
 ab22
Trong đó b2 a 2 c 2 và ab 0 . 
Phương trình 1 được gọi là phương trình chính tắc của Elip. 
3. Hình dạng và tính chất của elip 
Elip có phương trình nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 
+) Tiêu điểm: Tiêu điểm trái Fc1 ;0 , tiêu điểm phải Fc2 ;0 . 
+) Các đỉnh A1 a;0, A 2 a ;0, B 1 0; b , B 2 0; b . 
+) Trục lớn A12 A 2 a nằm trên trục Ox , trục nhỏ B12 B 2 b nằm trên trụcOy . 
+) Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật tạo bởi đường thẳng xa và yb . Từ đó ta thấy hình 
chữ nhật cơ sở có chiều dài là 2a và chiều rộng là 2b . 
 c
+) Tâm sai e 1. 
 a
4. Vị trí tương đối của đường thẳng và elip 
 xy22
Cho đường thẳng d: Ax By C 0 A22 B 0 và E : 1 a b 0 . 
 ab22
 Ax By C 0
Xét hệ phương trình: xy22 I . 
 22 1
 ab
Số nghiệm của hệ I bằng số giao điểm của đường thẳng d và elip E . 
+) Nếu hệ vô nghiệm thì dE  . 
+) Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì d E M xMM; y . 
b. Lập phương trình chính tắc của elip khi biết một số yếu tố liên quan 
 VÍ DỤ 3 
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn là 10 và độ 
 dài trục nhỏ là 8 . 
 Lời giải 
 xy22
Trong mặt phẳng tọa độ , gọi phương trình chính tắc của elip là 1 ab 0 . 
 ab22
Do độ dài trục lớn là và độ dài trục nhỏ là nên ab 5, 4 (thỏa mãn). 
 xy22
Vậy phương trình chính tắc của elip là 1. 
 25 16
 VÍ DỤ 4 
 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của Elíp biết độ dài trục bé là 6 và 
 tiêu cự là . 
 Lời giải 
Trong mặt phẳng tọa độ , gọi phương trình chính tắc của Elíp là , 
 22
Do độ dài trục bé là và tiêu cự là nên b 3, c 4 a b c 5( thỏa mãn). 
 xy22
Vậy phương trình chính tắc của Elíp là 1. 
 25 9
 VÍ DỤ 5 
 Trong mặt phẳng tọa độ , lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn là 12 và có 
 tiêu điểm F 3;0 . 
 Lời giải 
 xy22
Gọi phương trình chính tắc của elip là 1, ab 0 . 
 ab22
 2a 12 a 6
Theo đề bài, ta có . 
 2 2 2
 c 3 b a c 27
 xy22
Vậy phương trình chính tắc elip là 1. 
 36 27
 VÍ DỤ 6 
 Trong mặt phẳng tọa độ , lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua A 6;0 và có tỉ 
 3
 số độ dài trục lớn và trục bé bằng . 
 2
 Lời giải 
 xy22
Gọi phương trình chính tắc của elip là 10 ab . 
 ab22
 6022
Elip đi qua A 6;0 16 a . 
 ab22
 23a
Tỉ số độ dài trục lớn và trục bé bằng b 4 . 
 22b
 xy22
Vậy phương trình chính tắc elip là 1. 
 36 16
 VÍ DỤ 7 
 3
 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip biết đi qua điểm và 
 A 1;
 2
 Oxy
 có một tiêu điểm là F1 3 ;0 . 
 Lời giải 
 xy22
Phương trình chính tắc E có dạng: 1, ab 0 . 
 ab22
 3 13
Vì AE1; nên 1 . 1 
 22 
 2 ab4
 c 33 a2 b 2 c 2 b 2 
Vì elip có một tiêu điểm là F1 3 ;0 nên ta có . 2 
Thay 2 vào 1 ta có 
 13 2 2 2 2 4 2 2
 22 14334b b b b 34590 b b b 1 
 bb 34
Từ 2 ta được a2 4 . 
 xy22
Vậy phương trình chính tắc của elip E là 1. 
 41
 VÍ DỤ 11 
 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua điểm 
 81
 A ; và tam giác F AF là tam giác vuông tại A , trong đó FF, là hai tiêu điểm của elip. 
 12 12
 33
 Lời giải 
 xy22
Phương trình chính tắc có dạng 10 ab . 
 ab22
 8 1 8 1
Khi đó A; E 1 a2 8 b 2 3 a 2 b 2 1 . 
 22 
 3 3 3ab 3
Với F12 c;0 , F c ;0 , khi đó tam giác F12 AF vuông tại A nên ta suy ra 
 22
 8 1 8 1
 AF2 AF 2 F F 2 c c 4 c 2 
 1 1 1 2 
 3 3 3 3
 c2 33 a 2 b 2 c 2 b 2 2 
Thay 2 vào 1 ta được b2 3 8 b 2 3 b 2 3 b 2 b 4 1 b 2 1 . 
Từ 2 ta được a2 4 . 
Vậy phương trình chính tắc của elip là . 
 VÍ DỤ 12 
 Trong mặt phẳng tọa độ , viết phương trình chính tắc của elip biết một đỉnh của hình chữ nhật 
 cơ sở của elip đó là M 4;3 . 
 Lời giải 
 xy22
Giả sử elip có phương trình chính tắc là E : 1 a b 0 . 
 ab22
Vì một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của elip là M 4;3 nên ab 4; 3. 
 VÍ DỤ 14 
 Trong mặt phẳngOxy , cho hình thoi ABCD có AC 2 BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh 
 của hình thoi có phương trình C :4 x22 y . Viết phương trình chính tắc của elip E đi qua 
 các đỉnh ABCD,,, của hình thoi với điểm A nằm trên trục Ox . 
 Lời giải 
 xy22
Giả sử phương trình elip E là 10 ab . 
 ab22
Đường tròn C :4 x22 y có tâm O 0;0 và bán kính R 2 . 
Vì C tiếp xúc với các cạnh của hình thoi và A Ox nên C Ox và B, D Oy . 
Các điểm ABCDE,,, nên là các đỉnh của E . 
Không mất tính tổng quát ta giả sử A a;0 , B 0;b OA a , OB b . 
Vì OA 2 OB nên ab 2 . 
Kẻ OH AB H AB . Ta có OH R 2. 
 1 1 1
Tam giác ABO vuông tại O có . 
 OH2 OA 2 OB 2
 1 1 4
 a2 20 khi đó b2 5 . 
 4 aa22
 xy22
Vậy phương trình E là 1. 
 20 5
c. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp giải. 
 xy22
Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là E: 1 a b 0 
 ab22
ta làm như sau 
 xy22
 Giả sử M x; y , điểm ME MM1 ta thu được phương trình thứ nhất. 
 MM ab22
 Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương 
 trình ẩn xyMM, ta tìm được tọa độ của điểm M 
 VÍ DỤ 15 
 VÍ DỤ 17 
 Trong mặt phẳng Oxy , cho elip E có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 . Tìm tọa 
 độ điểm M trên biết M có hoành độ bằng 2 . 
 Lời giải 
 xy22
Giả sử phương trình chính tắc của elip cần tìm là E : 1 a b 0 . 
 ab22
 2aa 8 4
Elip có độ dài trục lớn bằng độ dài trục nhỏ bằng . 
 2bb 6 3
 xy22
Vậy phương trình của elip là E :1 . 
 16 9
 222m 27 3 3
Gọi Mm 2; . Khi đó ME 1 mm2 . 
 16 9 42
 33 33
Vậy có hai điểm thỏa mãn là M 2; và M 2; . 
 1 2 
 2 2
 VÍ DỤ 18 
 xy22
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm C 2;0 và elip E : 1. Tìm tọa độ các 
 41
 điểm A , B thuộc E , biết rằng hai điểm , đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác 
 ABC là tam giác đều. 
 Lời giải 
Giả sử A x00; y . Do , đối xứng nhau qua trục hoành nên B x00; y . 
 22
 xx0022
Vì A x; y E nên yy00 11 . 
 00 44
 22 222
Ta có AB 4 y0 và AC x00 2 y . 
Do C 2;0 Ox và hai điểm , đối xứng với nhau qua trục hoành nên tam giác đều khi và 
chỉ khi AB AC . 
 2 22
Ta có AB AC x0 24 y 0 y 0 . 
 2 x0 2
 2 x0 2 
Thay y0 1 vào đẳng thức trên và rút gọn, ta được 7xx00 16 4 0 2 . 
 4 x 
 0 7
Với x0 2 , ta có y0 0 . Trường hợp này loại vì AC . 
 2 43
Với x , ta có y . 
 0 7 0 7
 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3
Vậy , hoặc , . 
 A ; B ; A ; B ;
 77 77 77 77
d. Tương giao giữa elip và đường thẳng, giữa elip và đường tròn 
 VÍ DỤ 19 
 2
 x 2 22
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho elip Ey :1 và điểm M ; . Viết phương trình 
 4 33
 đường thẳng đi qua điểm M và cắt E tại hai điểm AB, sao cho MA 2 MB. 

File đính kèm:

  • pdfchuyen_de_phuong_phap_giai_bai_tap_ve_elip_hinh_hoc_10.pdf