Chuyên đề Phương pháp đổi biến tích phân hàm ẩn - Đại số 12

 Giải tích 12| 
 NGUYÊN HÀM – 
 3 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG 
 CHƯƠNG
 CHỦ ĐỀ: NGUYÊNDỤNG HÀM – TÍCH PHÂN HÀM ẨN 
 (PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ẨN) 
 DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM 
 I LÝ THUYẾT. 
 = 
1.1. Định nghĩa 
 Cho hàm số f liên tục trên K và ab, là hai số bất kỳ thuộc . Nếu F là một nguyên hàm của 
 b
 trên thì hiệu số F()() b F a được gọi là tích phân của từ a đến b và kí hiệu là f() x dx . 
 a
Trong trường hợp ab , ta gọi là tích phân của trên đoạn ab; . 
 b
 Fx() F()() b F a
Người ta dùng kí hiệu a để chỉ hiệu số . Như vậy Nếu là một nguyên hàm của 
 b
 trên thì f()()()() x dx F xb F b F a . 
 a
 a
1.2. Tính chất 
 Giả sử fg, liên tục trên và abc,, là ba số bất kì thuộc . Khi đó ta có 
 a ba b c c
 1) f ( x ) dx 0; 2) f ( x ) dx f ( x ) dx ; 3) fxdx ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) 
 a ab a b a
 b b b bb
 4)  fx () gxdx () fxdx () gxdx () ; 5) kf ( x ) dx k f ( x ) dx với kR . 
 a a a aa
 Chú ý là nếu F ()() x f x với mọi xK thì F()() x f x dx 
 II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. 
 = 
 2.1 . Kiến thức sử dụng 
 * Nếu với mọi thì 
 * Các công thức về đạo hàm: 
 u v uv u u u 1 
1) u . v u . v uv ; 2) ; 3) u ; nn 1 ; 5) . 
 2 4) nu u u 2 
 vv 2 u uu 
Giải bằng công thức giải nhanh ( nếu có) 
+ f x kf x k f x Cekx . 
1 | Giải tích 12| 
 Câu 3 
 Cho hàm số xác định trên và thỏa mãn ; 
 và . Tính giá trị biểu thức . 
 Lời giải 
 x 2
 ln C khi x ; 2 
 x 2 1
 4 4dx 4dx x 2
 Từ fx fx ln C khi x 2;2 
 2 2 2 
 x 4 x 4 xx 22 x 2
 x 2
 ln C3 khi x 2; 
 x 2
 f 30 
 ln 5 C1 0 C1 ln 5
 Ta có f 01 01 C2 C2 1 
 1 C 2 ln 5
 f 32 ln C 2 3
 5 3
 x 2
 ln -ln5 khi x ; 2 
 x 2
 x 2
 fx ln 1 khi x 2;2 . 
 x 2
 x 2
 ln 2 ln 5 khi x 2; 
 x 2
 1
 Khi đó P f 4 f 1 f 4 ln 3 ln 5 ln 3 1 ln 2 ln 5 3 ln3. 
 3
 Câu 4 
 Cho hàm số xác định trên thỏa mãn ; 
 và . Tính giá trị của biểu thức 
 Lời giải 
 1
 fx 
 xx2 2
 11x
 ln C khi x ; 2 
 32x 1
 dx d x 1 x 1
 f x ln C khi x 2;1 
 2 2 
 x x 2 x 1 x 2 3 x 2
 11x 
 ln C3 khi x 1; 
 32x 
 1 1 2 1
 Do đó f 3 f 3 0 ln 4 C ln C 0 C C ln10 . 
 31 3 5 3 3 1 3
3 | Giải tích 12| 
 Câu 6 
 Cho hàm số , liên tục trên đoạn và thỏa mãn 
 với . Tính tích phân 
 . 
 f ( x ) 1 2 x2 u 1 
Nhận xét: từ gt ta có 22 , biểu thức vế trái có dạng 2 . từ đó ta có lời giải. 
 f() x x uu 
 Lời giải 
 f ( x ) 1 2 x2 1 1
 2 2 2
Ta có x. f ( x ) 1 2 x . f ( x ) 2 2 2 2 
 f()() x x f x x
 1 1 1 1 1
 , do fc(1) 0 
 2 2 .dx 2 x c
 f()() x x f x x 3
 1 2xx2 1
 Nên ta có fx() 
 f( x ) x 2 x2 1
 2 2 2 2 2
 x1 d (1 2 x ) 12 1 1
 Khi đó I f() x dx dx ln12 x 2ln3ln3 ln3 
 22 
 1 11 2xx 4 1 1 2 41 4 4
 Câu 7
 Cho hàm số liên tục, không âm trên và thỏa mãn với 
 và . Tính tích phân 
 f( x ). f ( x ) uu 
Nhận xét: từ gt ta có 2x , biểu thức vế trái có dạng u2 1 . từ đó ta có 
 2 2 
 fx( ) 1 u 1 
lời giải. 
 Lời giải 
 f( x ). f ( x ) 
Ta có fxfxxfx().()2.()10 22 2 xfx ()12 x 
 2 
 fx( ) 1 
 f2( x ) 1 2 xdx f 2 ( x ) 1 x 2 c . Do fc(0) 0 1 nên ta có 
 2
 fx2()1 x 2 1 fx 2 ()1 x 2 1 fxxx 2 () 2 2 2 fxxx () 2 2 
 1 1 1
(vì f (0) 0 không âm trên R ). Khi đó I fxdx( ) xx22 2 dx xx 2 dx 
 0 0 0
 1
 11 1 2 1
 x2 2(2). d x 2 x 2 2 x 2 2 3322 
 20 2 30 3
5 | Giải tích 12| 
 Câu 10 
 Cho hàm số có đạo hàm trên và thỏa mãn với . 
 Biết , tính tích phân . 
 Lời giải 
 3 22x 3 2 3 2
Ta có 3().fxe f( x ) x 1 03().(). fxfxe 2 f ( x ) 2. xe x 1 e f ( x ) 2. xe x 1 
 fx2 () 
 3 2 2 2
 ef( x ) 2 xe x 1 dx e x 1 d ( x 2 1) e x 1 c . Do
 32
 f(0)1 eecc 0 ef( x ) e x 1 fxx 3 ()1() 2 fxx 3 2 1 
 7
 7 71 7 3 45
Khi đó I xfxdx.() xx .32 1. dx 3 x 2 1.(1) dx 2 x 2 1 3 x 2 1 
 0 02 0 80 8
 Câu 11 
 Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn với . Biết 
 , tính tích phân 
Nhận xét:từ gt ta có x 1 f ( x ) x 1 . f ( x ) 1, vế trái là biểu thức có dạng 
 u . v u . v uv , từ đó ta có lời giải 
 Lời giải 
Ta có fxxfx() 1.()1 x 1() fxxfx 1.()1 xfx 1() 1 
 77
 x 1 f ( x ) dx x 1 f ( x ) x c , vì f(5) 6. 5 c c 2 
 66
 x 2
 x 1 f ( x ) x 2 f ( x ) . Khi đó 
 x 1
 1
 1 1x 21 1 
I f() x dx . dx 1 . dx x ln11ln2 x 
 0 0xx 11 0 0
Nhận xét: với ux()là biểu thức cho trước thì ta có uxfx().() uxfx ().() uxfx (). () 
 Đặt v()() x u x ta được uxfx().() vxfx ().() uxfx (). () (*). Ngược lại mọi biểu thức có 
dạng v( x ). f ( x ) u ( x ). f ( x ) ta có thể biến đổi đưa về dạng h x  u1( x ). f ( x ) .Khi đó ta có bài toán 
tổng quát cho ví dụ 5 như sau: 
 Cho A( x ); B ( x ) ; gx()là các biểu thức đã biết. Tìm hàm số fx thỏa mãn 
 A()()()()() x f x B x f x g x (**) 
7 |