Chuyên đề Phương pháp chứng minh phản chứng - Đại số 10

 ĐẠI SỐ 10 
 CHỦ ĐỀ 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 
1. Mở đầu về phươn pháp chứng minh phản chứng 
 Phương pháp chứng minh phản chứng được tiến hành theo hai bước sau 
 Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh là sai ( phủ định lại mệnh đề cần chứng minh) 
 Bước 2: Từ điều giả sử ta suy ra một số tính chất hoặc quan hệ mới, mà những tính chất mới 
 này mâu thuẫn với điều đã cho hoặc trái với tính chất đã biết. 
 Ví DỤ 1 
Chứng minh rằng mộVít tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ một đỉnh là 
tam giác cân tại đỉnh đó. 
 Lời giải 
 A
 D
 B E C
Giả sử tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác và không cân tại A. 
Không mất tính tổng quát xem như AC AB . 
Trên AC lấy D sao cho AB AD . 
Gọi L là giao điểm của BD và AH . 
Khi đó AB AD, BAL LAD và AL chung nên ABL ADL 
Do đó AL LD hay L là trung điểm của BD 
Suy ra LH là đường trung bình của tam giác CBD 
 LH// DC điều này mâu thuẫn vì LH, DC cắt nhau tại A 
Vậy tam giác ABC cân tại . 
 Ví DỤ 2 
Chứng minh bằng phươngVí pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax2 bx c 0 vô 
nghiệm thì a và c cùng dấu. 
 Lời giải 
Giả sử phương trình vô nghiệm và a , c trái dấu. Với điều kiện , trái dấu có ac,0 suy ra 
 b224 ac b 4( ac ) 0 
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều này mâu thuẫn với giả thiết phương trình vô nghiệm. 
Vậy phương trình vô nghiệm thì , phải cùng dấu. 
2. Các dạng bài toán: 
Dạng 1: Từ điều giả sử suy ra mẫu thuẫn với giả thiết đã cho 
 Ví DỤ 3 
 Ví ĐẠI SỐ 10 
BC chung, BE = CF, BF > CE nên CB11CB(Mâu thuẫn) 
TH2: CB, chứng minh hoàn toàn tương tự như trên. 
Do đó BC. Vậy tam giác ABC cân tại A. 
Dạng 2: Từ điều giả sử suy ra mẫu thuẫn với tính chất đã biết. 
 Ví DỤ 6 
Cho a,b,c ℝ .ChứVíng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là đúng 
a 2 b2 2bc;b2 c 2 2ca;c 2 a 2 2ab . 
 Lời giải 
Giả sử không có bất đẳng thức nào trong 3 bất đẳng thức sau là đúng, nghĩa là 
 . 
 a 2 b2 2bc;b2 c 2 2ca;c 2 a 2 2ab 
 2a2 2b2 2c2 2bc 2ca 2ab 
 (a b)2 (b c)2 (c a)2 0(vô lí) 
Vậy phải có ít nhât một trong 3 bất đẳng thức sau là đúng 
 . 
 Ví DỤ 7 
Chứng minh rằng: NVíếu bm 2 c n thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 
x2 bx c 0 và x2 mx n 0 . 
 Lời giải 
 b2 4c 0
Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm, khi đó ta có 
 2
 m 4n 0
 Cộng vế theo vế ta có: b22 m 4 c n 0 
 b22 m 2bm 0 b m 2 0 ( vô lý vì b m 2 0 ) 
 Ví DỤ 8 
Cho a,b,c là các số thVíực thuộc khoảng 0;1 . Chứng minh ít nhất một trong các bất đẳng thức sau 
 1 1 1
là đúng a1b ;b1c ;c1a . 
 4 4 4
 Lời giải 
 1
 ab 1 
 4
 1
Giả sử tất cả các bất đẳng thức trên đều sai khi đó bc 1 . 
 4
 1
 ca 1 
 4
 1
Nhân theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a 1 a b 1 b c 1 c (1) (1). 
 64
Mặt khác Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ĐẠI SỐ 10 
 Lời giải 
 a 0
 Ta cần chứng minh: Nếu abc 0 thì b 0 . 
 c 0
 a 0
 Giả sử với 3 số bất kì mà trong 3 số có ít nhất một số dương ta có b 0 abc 0, điều này mâu thuẫn 
 c 0
 với giả thiết (Tích của 3 số là một số dương). 
 Vậy nếu tích của 3 số bất kì là một số dương thì trong 3 số có ít nhất một số dương. 
 Câu 4: 
Chứng minh rằng: NếVíu nh ốt 5 con thỏ vào 4 cái chuồng thì có một chuồng chứa nhiều hơn 1 con 
thỏ. 
 Lời giải 
 Giả sử nhốt 5 con thỏ vào 4 cái chuồng mà tất các chuồng đều chứa không quá 1 con thỏ, nghĩa là mỗi 
 chuồng chứa tối đa 1 con thỏ. Khi đó 4 cái chuồng chứa được tối đa 4 con thỏ, điều này mâu thuẫn với giả 
 thiết nhốt 5 con thỏ vào 4 cái chuồng. 
 Vậy nếu nhốt 5 con thỏ vào 4 cái chuồng thì có một chuồng chứa nhiều hơn 1 con thỏ. 
 Câu 5: 
Chứng minh rằng: MộVít tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn 60. 
 Lời giải 
 Cách 1: 
 Aˆ 60
 Ta cần chứng minh: Nếu tam giác ABC không đều thì Bˆ 60 . 
 ˆ
 C 60
 Aˆ 60
 Giả sử có tam giác không đều và cả ba góc của tam giác đều không nhỏ hơn hay Bˆ 60
 ˆ
 C 60
 ABCˆˆ ˆ 180 , 
 Trường hợp 1: ABCˆˆ ˆ 180  điều này mâu thuẫn với định lý tổng ba góc trong một tam giác nên 
 trường hợp này vô lý. 
 Trường hợp 2: ABCˆˆ ˆ 180  khi đó ABCˆˆ ˆ 60  hay tam giác đều, điều này mâu thuẫn với 
 giả thiết tam giác không đều. 
 Vậy một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn . 
 Cách 2: 
 Giả sử có tam giác không đều và cả ba góc của tam giác đều không nhỏ hơn . ĐẠI SỐ 10 
 Giả sử phương trình ax2 bx c 0 vô nghiệm b2 4ac 0 (1) 
 2 2
 2 b b 4ac
 f x ax bx c a x 
 2a 4a
 2
 2 b 
 af x a x 0 ,  x ( vì 0 ), điều này mẫu thuẫn với giả thiết là tồn tại số thực 
 2a 4
 sao cho af 0 
 Vậy phương trình có nghiệm. 
 Câu 9: 
Cho 6 số tự nhiên khácVí 0 nhỏ hơn 108. Chứng minh rằng: có thể chọn được ba trong 6 số đó chẳng 
hạn a,b,c sao cho a bc,b ca và c ab . 
 Lời giải 
 Giả sử trong 6 số không tồn tại bộ ba số a, b, c thỏa và (1) 
 Khi đó gọi 6 số đó là : 1 a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 108 
 Vì a2 a 1 1 a 2 2 
 Ta có a3 a 2 2 a 3 3 
 Từ (1), a4 a 3 a 2 6 , a5 a 4 a 3 18 và a6 a 5 a 4 108 ( mâu thuẫn với giả thiết là a6 108 ) 
 Vậy trong 6 số nguyên dương nhỏ hơn 108 luôn chọn được ba số a,b,c thỏa và . 
 Câu 10: 
Cho tam giác ABC cóVí BAC 1050 , đường trung tuyến BM và phân giác CD cắt nhau tại K sao 
cho KB = KC. Tính các góc của tam giác ABC. 
 Lời giải 
 Kẻ AH vuông góc với BC. 
 Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có AM = CM = HM (vì M là trung điểm AC). 
 Suy ra MHĈ = MCĤ = 2KCB̂ = 2KBĈ (Vì KB = KC). 
 Mà MHĈ = KBĈ + HMB̂ nên KBĈ = HMB̂ . Do đó tam giác HBM cân tại H. 
 Như vậy HM = HB. 
 • Nếu HA > HB. Suy ra BAĤ 60o. 
 Do đó AMĤ = 180o – 2CAĤ < 60o. 
 HA < HM HA < HB. Mâu thuẫn. 
 • Nếu HA < HB. Hoàn toàn tương tự suy ra vô lý. 
 Vậy HA = HB. 
 Từ đó ta có ABĈ = 45o, BAĈ = 105o, ACB̂ = 30o.