Chuyên đề Phép nghịch đảo và ứng dụng - Bồi dưỡng HSG Toán hình THCS

 PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
 Nguyễn Văn Thảo – THPT Chuyên Bắc Giang
A. Lời nói đầu
 Phép biến hình là một công cụ hết sức quan trọng trong việc giải quyết các 
vấn đề của hình học. Trong chuyên đề này, tôi xin trình bày một số ứng dụng của 
phép nghịch đảo, đây là phép biến hình khá đặc biệt trong chương trình Toán phổ 
thông (Nó không bảo tồn tích đồng dạng của các hình). 
 Về nội dung, tôi cố gắng hệ thống lại các tính chất và các dạng toán, ví dụ 
điển hình trong ứng dụng của phép nghịch đảo. Những ví dụ sẽ được trình bày từ 
dễ đến khó (theo quan điểm của tác giả), giúp bạn đọc phần nào thấy được vẻ đẹp 
quyến rũ của phép nghịch đảo nói riêng và hình học nói chung. Phần cuối là một số 
bài tập giúp bạn đọc trải nghiệm và thử sức mình. Hi vọng chuyên đề sẽ để lại chút 
ấn tượng đẹp trong long bạn đọc!
B. Nội dung
I. Lý thuyết
 I.1. Định nghĩa
 Cho điểm O cố định và một số thực k khác 0. Phép biến hình f biến mỗi 
điểm M thành M’ sao cho: OM.OM ' k được gọi là phép nghịch đảo cực O 
phương tích k.
 I.2. Các tính chất
 I.2.1. Tính chất 1
 Phép nghịch đảo f biến M, N (M, N, O không thẳng hàng ) lần lượt thành 
M’, N’ thì M, N, M’, N’ cùng thuộc một đường tròn.
 I.2.2. Tính chất 2
 Phép nghịch đảo f bảo tồn góc của hai đường. (hay f là phép biến hình bảo 
giác). 
 1 Khi gặp các bài toán chứng minh liên quan đến độ dài đoạn thẳng, ta thường 
sử dụng hệ thức (1) để đưa biểu thức cần chứng minh về một hệ thức mới, đơn 
giản hơn hệ thức ban đầu.
Ví dụ 1 (Mathlins.ro). Cho tứ giác ABCD có BAD + BCD = 900. Chứng minh 
rằng 
 (AB.CD)2 + (AD.BC)2 = (AC.BD)2.
Lời giải
 A'
 A
 B'
 D B
 C
 C'
Xét phép nghịch đảo cực D phương tích k
Gọi ảnh của A,B,C lần lượt là A’, B’, C’. Ta có
Tứ giác ABB’A’ và BCC’B’ nội tiếp nên 
 A’BD = BAD; DB’C’ = BCD
Suy ra A’B’C’ = 900 suy ra
 A’C’2 =A’B’2 + B’C’2
 2 2 2
 AC.k 2 AB.k 2 BC.k 2 
 DA.DC DA.DB DB.DC 
 3 Ví dụ 3. Cho ba đường tròn cùng đi qua A. Một đường thẳng đi qua A, cắt ba 
 PQ
đường tròn đó lần lượt tại ba điểm P, Q, R khác A. Chứng minh rằng không 
 PR
đổi.
Lời giải
Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích AB2. 
 Q
 P A R
 P' R' Q'
 B
 b a
 c
Khi đó các đường tròn đã cho lần lượt biến thành các đường thẳng cố định a, b, c 
(như hình vẽ).
Gọi ảnh của P, Q, R lần lượt là P’, Q’, R’ lần lượt nằm trên a, b, c. 
 AR ' Q'R '
Ta có B(A, Q’, R’, P’) = : không đổi. 
 AP' Q'P'
Mà 
 AB2 AB2 AB2.QP AB2.QR
 AP' ; AR' ;Q'P' ;Q'R' 
 AP AR AQ.AP AQ.AR
Từ đó suy ra
 5 Ta có APB – C = AB’P - AB’C’ = PB’C’
 Tương tự có APC - B = PC’B’
Do đó tam giác PB’C’ cân tại P hay PB’ = PC’
Mặt khác, do P là ảnh của P nên ta có
 k 2PB k 2PC
 PB' ; PC ' 
 AP.AB AP.AC
 AB AC
Từ đó suy ra 
 PB PC
Vậy có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2 (IMO SL 1997). Cho tam giác A 1A2A3 không cân ngoại tiếp đường tròn 
tâm I. Ci, i = 1, 2, 3 là đường tròn nhỏ hơn đi qua I tiếp xúc với AiAi+1 và AiAi+2. Bi 
là giao điểm thứ hai của C i + 1 và Ci +2. Chứng minh rằng tâm các đường tròn ngoại 
tiếp các tam giác A1B1I, A2B2I, A3B3I thẳng hàng.
Lời giải
Vì các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A 1B1I, A2B2I, A3B3I cùng đi qua I nên 
yêu cầu bài toán tương đương với các đường tròn đó còn có một điểm chung khác 
nữa.
Xét f là phép nghịch đảo cực I phương tích k bất kì (Bạn đọc tự vẽ hình)
Kí hiệu X’ = f(X)
 ' '
Ta có ảnh của Ci là đường thẳng Bi 1Bi 2
Ví dụ 4 (Singapore 2010). Cho CD là một dây cung của đường tròn (T 1). Đường 
kính AB vuông góc với CN tại N, (AN > NB). Đường tròn (T 2) tâm C, bán kính CN 
cắt (T1) tại P, Q. PQ cắt CD tại M, và AC tại K. Đường thẳng NK cắt (T 2) tại điểm 
thứ hai là L. Chứng minh rằng PQ  AL.
Lời giải
 7 A
 P N
 D
 I
 E F
 B
 M C
Xét phép nghịch đảo f cực I phương tích r (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC)
Khi đó f biến đường tròn Euler của tam giác MNP (là đường tròn ngoại tiếp tam 
giác DEF) thành đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi tâm đường tròn Euler 
của tam giác MNP là J. Khi đó I, J, O thẳng hàng
Mặt khác I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP nên H, I, J thẳng hàng
Từ đó suy ra H, I, O thẳng hàng.
 II.3. Bài toán về góc và sự tiếp xúc của các đường cong
 Đây cũng là dạng toán đặc trưng nhất cho ưu thế của phép nghịch đảo. Bởi 
vì phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa hai đường cong. 
 Qua phép nghịch đảo: 
 - Hai đường thẳng song song có thể biến thành: hai đường thẳng song song, 
hai đường tròn tiếp xúc nhau hoặc một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc 
nhau.
 - Hai đường tròn tiếp xúc nhau biến thành: hai đường thẳng song song, hai 
đường tròn tiếp xúc nhau hoặc một đường tròn và một đường thẳng tiếp xúc nhau.
 9 Tương tự P’E’ // AD 
Từ đó suy ra D’AC’ = B’P’E’
Từ P’E’ // AD’ suy ra B’E’P’ = AD’E’ = D’AC’ = B’P’E’
Suy ra tam giác B’E’P’ cân tại B’ B’E’ = B’P’ = B’A
Suy ra tam giác B’AP’ cân tại B’
Suy ra
 2BAP = 2B’AP’ = 1800 - AB’P’
 = 1800 - AB’C’ – C’B’P’ 
 = 1800 - AB’C’ – B’C’A = BAC
Vây có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 2. Cho p là nửa chu vi của tam giác ABC. E, F là hai điểm trên AB sao cho 
CE = CF = p. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF tiếp xúc với 
đường ròn bàng tiếp góc C của tam giác ABC.
Lời giải
 E
 D
 A
 C
 B
 G
 F
Gọi (T) là đường tròn bang tiếp góc C
Ta có CE = CF = CD = CG = p.
 11 Gọi R, S là giao của (T) và (MNP) suy ra f: R, S X,Y
 AB
Mặt khác phép biến hình g là tích của phép vị tự tâm A, tỉ sổ và phép đối 
 AD
xứng qua đường phân giác trong góc A, biến tam giác ADE thành tam giác ABC.
Suy ra g: R Y, S X BAX = BAR = CAS = CAY
Vậy có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4 (APMO 2014). Cho hai đường tròn (T 1) và (T2) cắt nhau tại A, B. M là 
trung điểm cung AB của (T 1) và M nằm trong (T2). Dây cung MP của đường tròn 
(T1) cắt (T 2) tại Q. l p là tiếp tuyến của (T 1) tại P, l q là tiếp tuyến của (T 2) tại Q. 
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi AB, l p, l q tiếp xúc với 
đường tròn (T2).
 A Y
Lời giải
 O2
 M
 T O1
 Q
 B
 Y'
 P C
 D
 E
Gọi DEF là tam giác tạo bởi ba đường thẳng lp, lq và AB. 
 13 D
 B
 F
 C
 E A
 X N O
 M
Gọi X là giao điểm thứ hai của CD và (O) suy ra AX là đường kính của (O).
E là trực tâm tam giác ADX.
Xét phép nghịch đảo f cực D phương tích DA.DB.
Ta có 
 f: A B, C X, E N
 f: (O) (O) f: F M
Do đó f: (BFE) (AMN), (CFD) MX
Mà MX tiếp xúc (AMN) suy ra (BFE) tiếp xúc (CFD).
 II.4. Bài toán về quỹ tích, đường, điểm cố định
Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay đổi 
của (O). Gọi M, N lần lượt là giao điểm thứ hai của SA, AB. Chứng minh rằng MN 
luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
 15 F
 B
 A
 B1
 D A1 O
 C1
 C
 E
Gọi O, r lần lượt là tâm và bán kính của (T 2). A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của 
EF, FD, DE.
Xét phép nghịch đảo f cực O, phương tích r2
 f: A1 A, B1 B, C1 C
Do đó f biến đường tròn Euler của tam giác DEF thành (ABC) và ngược lại suy ra 
đường tròn Euler của tam giác DEF cố định suy ra tâm K của nó cố định
Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cố định suy ra G thuộc OK và 
 GO
 cố định. Do đó G cố định.
 GK
Nhận xét: ta cũng có thể chứng minh trực tâm tam giác DEF cố định.
III. Bài tập
Bài 1 (Serbi 2010). Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M là trung điểm BC, D, E, F lần 
lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C của tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam 
giác ABC, S là trung điểm AH, G là giao của EF và AH, N là giao của đoạn AM và 
(BCH). Chứng minh rằng HMA = GNS.
 17