Chuyên đề Phép đối xứng tâm, phép quay - Toán 11

 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa.
Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M ' 
sao cho I là trung điểm của MM ' được gọi là phép đối xứng tâm I .
Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là Ð .
   I
Vậy ÐI M M ' IM IM ' 0
Nếu ÐI H H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình H .
2. Tính chất phép đối xứng tâm.
• Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
• Biến một đường thẳng thành đường thẳng.
• Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.
• Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
• Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm.
Trong mặt phẳng Oxy cho I a;b , M x; y , gọi M ' x '; y ' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I 
 x ' 2a x
thì 
 y ' 2b y
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT PHÉP ĐX TÂM
Câu 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
 A. Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
 B. Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
 C. Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
 D. Có phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.
Câu 2: Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?
 A. Hình vuông. B. Hình tròn. C. Hình tam giác đều. D. Hình thoi. 
Câu 3: Một hình H có tâm đối xứng khi và chỉ khi:
 A. Tồn tại một phép đối xứng tâm biến hình H thành chính nó.
 B. Tồn tại một phép đối xứng trục biến hình H thành chính nó.
 C. Hình H là hình bình hành
 D. Tồn tại một phép biến hình biến H thành chính nó.
Câu 4: Cho tam giác ABC không cân. M , N là trung điểm của AB, AC. O là trung điểm là điểm 
MN. A’ đối xứng của A qua O . Tìm mệnh đề sai:
 A. AMA’N là hình bình hành
 B. BMNA’là hình bình hành
 C. B; C đối xứng nhau qua A’
 D. BMNA’là hình thoi
Câu 5: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
 A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
 B. Nếu IM IM thì ĐI M M . 
 C. Kẻ OM//O’A, M O ; MA cắt (O’) tại N
 D. Trên OA kéo dài về phía A, lấy IA=OA. Đường tròn (I), bán kính bằng bán kính (O) cắt (O’) tại 
N.
Câu 16: Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?
 A. Không có. B. Một. C. Hai. D. Vô số. 
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn C : x – 3 2 y 1 2 = 9 qua phép đối xứng 
tâm O 0;0 là đường tròn : 
 A. C : x – 3 2 y 1 2 9 . B. C : x 3 2 y 1 2 9 .
 C. C : x – 3 2 y –1 2 9 . D. C : x 3 2 y –1 2 9 .
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(xo ; yo ) . Gọi M x; y là một điểm tùy ý và M x '; y ' là 
ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Khi đó biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I là:
 x ' 2xo x x ' 2xo x x 2xo x ' x xo x '
 A. . B. . C. . D. .
 y ' 2yo y y ' 2yo y y 2yo y ' y yo y '
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn C : x2 y2 1 qua phép đối xứng tâm I 1;0 . 
 A. C : x – 2 2 y2 1. B. C : x 2 2 y2 1.
 C. C : x2 y 2 2 1. D. C : x2 y – 2 2 1.
Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x –1 2 y – 3 2 16. Giả sử qua phép đối xứng 
tâm I điểm A 1;3 biến thành điểm B a;b . Ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng tâm I là :
 A. C : x – a 2 y – b 2 1. B. C : x – a 2 y – b 2 4 .
 C. C : x – a 2 y – b 2 9. D. C : x – a 2 y – b 2 16 .
Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy . Phép đối xứng tâm O 0;0 biến điểm M –2;3 thành điểm:
 A. M –4;2 . B. M 2; –3 . C. M –2;3 . D. M 2;3 .
Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy . Phép đối xứng tâm I 1; –2 biến điểm M 2;4 thành điểm:
 A. M –4;2 . B. M –4;8 . C. M 0;8 . D. M 0; –8 .
Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy . Phép đối xứng tâm I 1;1 biến đường thẳng d : x y 2 0 thành 
đường thẳng nào sau đây:
 A. d : x y 4 0 . B. d : x y 6 0 . C. d : x y – 6 0 . D. d : x y 0 .
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy . Phép đối xứng tâm I –1;2 biến đường tròn 
 C : x 1 2 y – 2 2 4 thành đường tròn nào sau đây:
 A. C : x 1 2 y – 2 2 4. B. C : x –1 2 y – 2 2 4.
 C. C : x 1 2 y 2 2 4. D. C : x – 2 2 y 2 2 4 .
Câu 18: Cho đường thẳng d : x 2y 6 0 và d ': x 2y 10 0 . Tìm phép đối xứng tâm I biến d 
thành d ' và biến trục Ox thành chính nó.
 A. I 3;0 B. I 2;1 C. I 1;0 D. I 2;0 
Câu 19: Tìm tâm đối xứng của đường cong C có phương trình y x3 3x2 3 .
 A. I 2;1 B. I 2;2 C. I 1;1 D. I 1;2 
Câu 20: Tìm ảnh của đường thẳng d :3x 4y 5 0 qua phép đối xứng tâm I 1;2 .
 A. d ':3x 4y 7 0 B. d ': x 4y 7 0
 C. d ':3x y 7 0 D. d ':3x 4y 17 0
Câu 21: Cho hai đường thẳng d1 :3x y 3 0 và d2 : x y 0 . Phép đối xứng tâm I biến d1 thành 
d1 ':3x y 1 0 và biến d2 thành d2 ': x y 6 0 . 
Câu 30: Cho 2 đường tròn C : x2 y2 1 và C’ : x 4 2 y 2 2 1. Tìm tọa độ của tâm đối 
xứng biến C : thành C’ 
 A. I 2;1 B. I 2; 1 C. I 8;4 D. I 8; 4 
Câu 31: phương trình đường thẳng (D) qua A, cắt (C) và (d) tại M, N sao cho AM=AN.
 1 7
 A. y x và y 2 B. y 3x 6 và y 2
 3 3
 1 7
 C. y 3x 6 và y x `D. y 2 và y 2x 4
 3 3 
Câu 6: Hình nào sau đây có tâm đối xứng:
 A. Hình thang. B. Hình tròn. C. Parabol. D. Tam giác bất kì. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Hình tròn có tâm đối xứng chính là tâm của hình tròn đó.
Câu 7: Khẳng định nào sau đây đúng về phép đối xứng tâm:
 A. Nếu OM OM thì M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O .
   
 B. Nếu OM OM thì M là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O .
 C. Phép quay là phép đối xứng tâm.
 D. Phép đối xứng tâm không phải là một phép quay.
Hướng dẫn giải:
Chọn  B.  
+ OM OM thì O là trung điểm của đoạn thẳng MM do đó M là ảnh của M qua phép đối 
xứng tâm O .
 Vậy B. đúng.
Câu 8: Hình nào sau đây có tâm đối xứng (một hình là một chữ cái in hoa):
 A. Q. B. P. C. N. D. E. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Hình chữ N có tâm đối xứng là điểm chính giữa của nét gạch chéo.
Câu 9: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
 A. Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
 B. Nếu IM’ IM thì ĐI M M’
 C. Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với đường thẳng 
đã cho.
 D. Phép đối xứng tâm biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Câu 10: Cho góc xOy và điểm M nằm bên trong góC. Dựng đường thẳng qua M và cắt Ox, Oy tại 
A, B sao cho MA MB . Khi đó : 
 A. AB vuông góc OM
 B. AB qua M và tam giác OAB cân tại A
 C. AB qua M và tam giác OAB cân tại B
 D. Dựng đường thẳng là ảnh Ox qua ĐM. cắt Oy tại B. BM cắt Ox tại A. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
Câu 11: Cho 2 đường tròn O và O’ cắt nhau tại A . Dựng đường thẳng d qua A cắt O và O’ 
lần lượt tại B và C sao cho AB AC
 A. d qua A và song song với OO’
 B. B là giao điểm của O và O" với O’’ ĐA O’ . AB cắt O’ tại C. 
 C. d qua AO
 D. d qua AO '
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Câu 12: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Trên AB, CD lấy E, F sao cho AE CE, E không là 
trung điểm của AB. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của AF và DE, BF và CE. Tìm mệnh đề sai:
 A. E, F đối xứng nhau qua O
 B. I, J đối xứng nhau qua O
 C. OAE OCF 
DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ 
Câu 1: Ảnh của điểm M 3; –1 qua phép đối xứng tâm I 1;2 là:
 A. 2; 1 . B. –1; 5 . C. –1; 3 . D. 5; –4 . 
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
 x ' 2a x 1
Ta có: ÑI M M .
 y ' 2b y 5
Vậy M –1; 5 .
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2 . Trong các đường thẳng sau đường 
thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O ?
 A. x –2 . B. y 2 . C. x 2 . D. y –2 . 
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Gọi M x; y d , M x ; y là ảnh của M qua phép đối xứng tâmO . 
 x x
Khi đó ta có: M x; y .
 y y
Do M d x 2. 
Vậy d : x 2 .
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x y 4 0 . Hỏi trong các đường thẳng 
sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?
 A. 2x y – 4 0 . B. x y –1 0 . 
 C. 2x – 2y 1 0 . D. 2x 2y – 3 0 . 
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Qua phép đối xứng tâm đường thẳng d sẽ biến thành đường thẳng d song song hoặc trùng với nó. 
Khi đó vectơ pháp tuyến của d và d cùng phương nhau. Trong các đáp án chỉ có đáp án C là thỏa.
Tập hợp tâm đối xứng đó nằm là đường thẳng cách đều d và d có phương trình là : 4x 4y 7 0 .
Câu 4: Cho điểm I 1;1 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I .
 A. d ': x y 3 0 B. d ': x 2y 7 0
 C. d ': 2x 2y 3 0 D. d ': x 2y 3 0
Hướng dẫn giải:
Cách 1. Lấy điểm M x; y d x 2y 3 0 * 
 A. d : x y 4 0 . B. d : x y – 4 0 . C. d : x – y 4 0 . D. d : x – y – 4 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
+ Giả sử phép đối xứng tâm I 1;2 biến điểm M x; y d thành điểm M x ; y ta có:
 x 2.1 x 2 x x 2 x 
 M 2 x ;4 y .
 y 2.2 y 4 y y 4 y 
+ M d nên ta có: 2 x 4 y – 2 0 x y 4 0 .
 Vậy d : x y – 4 0 .
Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn C : x – 3 2 y 1 2 = 9 qua phép đối xứng 
tâm O 0;0 là đường tròn : 
 A. C : x – 3 2 y 1 2 9 . B. C : x 3 2 y 1 2 9 .
 C. C : x – 3 2 y –1 2 9 . D. C : x 3 2 y –1 2 9 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D. 
+ C có tâm I 3; 1 bán kính R 3.
+ C là ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng tâm O 0;0 nên đường tròn C có tâm 
I 3;1 bán kính R 3 .
 Vậy C : x 3 2 y –1 2 9 .
Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm I(xo ; yo ) . Gọi M x; y là một điểm tùy ý và M x '; y ' là 
ảnh của M qua phép đối xứng tâm I . Khi đó biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I là:
 x ' 2xo x x ' 2xo x x 2xo x ' x xo x '
 A. . B. . C. . D. .
 y ' 2yo y y ' 2yo y y 2yo y ' y yo y '
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
 x x 2xo x ' 2xo x
+ I(xo ; yo ) là trung điểm của MM nên có: .
 y y 2yo y ' 2yo y
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , ảnh của đường tròn C : x2 y2 1 qua phép đối xứng tâm I 1;0 . 
 A. C : x – 2 2 y2 1. B. C : x 2 2 y2 1.
 C. C : x2 y 2 2 1. D. C : x2 y – 2 2 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
+ C có tâm O 0;0 bán kính R 1.
+ C là ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng tâm I 1;0 nên đường tròn C có tâm 
O 2;0 bán kính R 1.
 Vậy C : x – 2 2 y2 1.
Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn C : x –1 2 y – 3 2 16. Giả sử qua phép đối xứng 
tâm I điểm A 1;3 biến thành điểm B a;b . Ảnh của đường tròn C qua phép đối xứng tâm I là :
 A. C : x – a 2 y – b 2 1. B. C : x – a 2 y – b 2 4 .