Chuyên đề Phép cộng và phép trừ đa thức một biến Toán 7

 CHUYÊN ĐỀ 26. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN 
PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 
Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta có thể thực hiện theo một trong hai cách sau: 
Cách 1: Thực hiện theo cách cộng, trừ đa thức đã học. 
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức theo cùng lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi 
đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở 
cùng một cột). 
PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI. 
Dạng 1. Cộng trừ đa thức một biến 
I. Phương pháp giải: 
Bước 1: Viết phép tính AB . 
Bước 2: Bỏ dấu ngoặc, nhóm các hạng tử cùng bậc rồi thu gọn. 
Bước 3: Thực hiện phép tính. 
II. Bài toán. 
* Nhận biết 
Bài 1. Cho hai đa thức P( x )= x4 + 2 x 3 + x − 2; Q ( x ) = − 2 x 4 − x 3 + x 2 + 1 . Tính tổng của hai đa thức 
theo 2 cách. 
 Lời giải: 
Cách 1: 
 P()()( x+ Q x = x4 + 2 x 3 + x − 2)(2 + − x 4 − x 3 + x 2 + 1) 
 =x4 +2 x 3 + x − 2 − 2 x 4 − x 3 + x 2 + 1
 =(x4 −2 x 4) + (2 x 3 − x 3 ) + x 2 + x +( − 2 + 1)
 = −x432 + x + x + x −1 
Cách 2: 
 P( x )= x43 + 2x + x − 2
 +
 Q( x )= − 2x4 − x 3 + x 2 + 1
 P( x )+ Q ( x ) = − x4 + x 3 + x 2 + x − 1
Bài 2. Cho hai đa thức: 
 P( x) =23 x32 − x + x ; Q( x)= x32− x +21 x + 
Tính P( x) +− Q( x); P( x) Q( x) . 
 Lời giải: 
 P( x) + Q( x) =(2 x3 − 3 x 2 + x) +( x 3 − x 2 + 2 x + 1) 
 = 2x3− 3 x 2 + x + x 3 − x 2 + 2 x + 1 
 =3x32 − 4 x + 3 x + 1 
 P( x) − Q( x) =(2 x3 − 3 x 2 + x) −( x 3 − x 2 + 2 x + 1) 
 = 2x3− 3 x 2 + x − x 3+ x 2 − 2 x − 1 
 =x32 −2 x − x − 1. 
Bài 3. Cho hai đa thức: 
 P( x) =2 x4 + 2 x 3 − 3 x 2 + x + 6; Q( x) = x432 − x − x +21 x + 
 Tính P( x) +− Q( x); P( x) Q( x) 
 Lời giải: 
 1 Bài 8. Cho hai đa thức F( x )= x5 − 3 x 4 + x 2 − 5 và G( x )= 2 x4 + 7 x 3 − x 2 + 6 . Tính F()() x− G x rồi 
sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến. 
 Lời giải: 
Ta có 
 FxGxxxx()()− =−+−−( 542 3 527) ( xxx 432 +−+=−+−−−+− 6) xxx 542 3 527 xxx 432 6 
 =x5 −5 x 4 − 7 x 3 + 2 x 2 − 11 
Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến ta được −11 + 2x2 − 7 x 3 − 5 x 4 + x 5 . 
Bài 9. Cho P( x )= 5 x4 + 4 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1 và Q( x )= − x4 + 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 5 . Tính P()() x+ Q x rồi 
tìm bậc của đa thức thu được. 
 Lời giải: 
Ta có PxQx()()54321+ = xxxx4 +−+−+−+−+− 3 2 xxxx 4 2345 3 2
 ( ) ( ) 
 =5x4 + 4 x 3 − 3 x 2 + 2 x − 1 − x 4 + 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x − 5 
 =4x4 + 6 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 6 
Bậc của đa thức P( x )+ Q ( x ) = 4 x4 + 6 x 3 − 6 x 2 + 6 x − 6 là 4 . 
 1
Bài 10. Cho P( x )= − 3 x4 − 6 x + − 6 x 4 + 2 x 2 − x và Q( x )= − x4 − 3 x 3 − 5 x 2 + 2 x 3 − 5 x + 3. 
 2
Tính rồi tìm bậc của đa thức thu được. 
 Lời giải: 
Ta có 
 41 4 2 4 3 2 3
 PxQx()()36+ =−−+−+ xx 62 xxx −+−−−+−+( xxxxx 35253) 
 2
 1
 =−−+−3x4 6 x 6 x 4 + 2 x 2 −−−− x x 4 3 x 3 5 x 2 + 2 x 3 −+ 5 x 3 
 2
 7
 = −10x4 − x 3 − 3 x 2 − 12 x + 
 2
 7
Bậc của đa thức P( x )+ Q ( x ) = − 10 x4 − x 3 − 3 x 2 − 12 x + là 4 . 
 2
* Vận dụng 
Bài 11. Cho hai đa thức: 
 P( x) =2 x4 + 3 x 3 + 3 x 2 − x 4 − 4 x + 2 − 2 x 2 + 6 x 
Q( x) = x4 +3 x 2 + 5 x − 1 − x 2 − 3 x + 2 + x 3 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Tính P()()()( x+− Q x; P x Q x) . 
 Lời giải: 
a) Ta có: 
 =(2x4 − x 4) + 3 x 3 +( 3 x 2 − 2 x 2 ) +( − 4 x + 6 x) + 2 
 =x4 +3 x 3 + x 2 + 2 x + 2 ; 
 =x4 + x 3 +(3 x 2 − x 2 ) +( 5 x − 3 x) +( 2 − 1) 
 =x4 + x 3 +2 x 2 + 2 x +1. 
b) Ta có : 
 P()()x +Qx =( x4+ 3 x 3 + x 2 + 2 x + 2) + ( x 4 + x 3++ 2x 2 2x + 1) 
 3 =x3 −3 x 2 + x − 3 − x 3 + 2 x 2 − 14 x − 1 = −xx2 −13 − 4 ; 
 N( x) =− G( x) F( x) =( −x3 +2 x 2 − 14 x − 1) −( x 3 − 3 x 2 + x − 3) 
 = −x3 +2 x 2 − 14 x − 1 − x 3 + 3 x 2 − x + 3 = −2x32 + 5 x − 15 x + 2 
Bài 14. Cho hai đa thức: 
 A( x) = x5 +5 − 8 x 4 + 2 x 3 + x + 5 x 4 + x 2 − 4 x 3 
 B( x) =(3 x5 + x 4 − 4 x) −( 4 x 3 − 7 + 2 x 4 + 3 x 5 ). 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Tính A( x) + B( x); A( x) − B( x) 
 Lời giải: 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. 
 A( x) = x5 +(5 x 4 − 8 x 4) +( 2 x 3 − 4 x 3) + x 2 + x + 5 
 A( x) = x5 −3 x 4 − 2 x 3 + x 2 + x + 5. 
 B( x) =(3 x5 + x 4 − 4 x) −( 4 x 3 − 7 + 2 x 4 + 3 x 5 ). 
 B( x) =3 x5 + x 4 − 4 x − 4 x 3 + 7 − 2 x 4 − 3 x 5 
 B( x) =(3 x5 − 3 x 5) +( x 4 − 2 x 4) − 4 x 3 − 4 x + 7 
 B( x) = − x43 −4 x − 4 x + 7 . 
b) Tính A( x) + B( x); A( x) − B( x) 
 AxBxxxxxx( ) +( ) =−−++++−−−+( 53 4 2 3 2 5) ( xxx 4 4 3 4 7) 
 AxBxxx( ) +( ) =−−+++−−−+53 4 2 xxx 3 2 5 x 4 4 x 3 4 x 7 
 AxBxx( ) +( ) =−+−5(3 xx 4 4) ( 2 xxxxx 3 + 4 3) ++−++ 2 ( 4) ( 5 7) 
 A( x) + B( x) = x5 −4 x 4 − 6 x 3 + x 2 − 3 x + 12 . 
 AxBxxxxxx( ) −( ) =−−+++−−−−+( 53 4 2 3 2 5) ( xxx 4 4 3 4 7) 
 AxBxxx( ) −( ) =−−++++++−53 4 2 xxx 3 2 5 x 4 4 x 3 4 x 7 
 AxBxxxx( ) −( ) =+−+5( 43 4) ( 4 xxxxx 3 − 2 3) ++++− 2 ( 4) ( 5 7)
 A( x) − B( x) = x5 −2 x 4 + 2 x 3 + x 2 + 5 x − 2 . 
Bài 15. Cho hai đa thức: 
 P( x) =(4 x + 1 − x2 + 2 x 3) −( x 4 + 3 x − x 3 − 2 x 2 − 5) 
Q( x) =3 x4 + 2 x 5 − 3 x − 5 x 4 − x 5 + x + 2 x 3 − 1 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Tính P( x) +− Q( x); P( x) Q( x) 
 Lời giải: 
a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm,dần của biến. 
 P( x) =4 x + 1 − x2 + 2 x 3 − x 4 − 3 x + x 3 + 2 x 2 + 5 
 P( x) = − x4 +36 x 3 + x 2 + x + 
Q( x) =3 x4 + 2 x 5 − 3 x − 5 x 4 − x 5 + x + 2 x 3 − 1 
 5 P( x) +2 Q( x) =+( 5 x3 + x 2 − x + 3) 2.( x 3−+ 2 x 2 + 3 x 2) 
 =5x3 + x 2 − x + 3 + 2 x 3 − 4 x 2 + 6 x + 4 
 =7x32 −3+ x 5 x + 7 
 P( x) −4 Q( x) =−( 5 x3 + x 2 − x + 3) 4.( x 3−+ 2 x 2 + 3 x 2) 
 P( x) − 4 Q( x) =− 5 x3+− x 2 x+ 3−− 4 x 3+ 8 x 2 12 x 8 
 P(xQ) − 4 (x) =+xx329x −−13 5 
Bài 19. Cho ba đa thức: 
 P( x) =5 x32 − 7 x + x + 7; Q( x) =7 x32 − 7 x + 2 x + 5; H( x) =2 x3 + 4 x + 1. 
Tính 2P( x) −+ Q( x) H( x) . 
 Lời giải: 
 2PxQxHx( ) −( ) +( ) = 2.( 5 xxx3 −++−−+++++ 7 2 7) ( 7 xxx 3 7 2 2 5) ( 2 xx 3 4 1) 
 2PxQxHx( ) −( ) +( ) = 10142147725241 x3 −++−+−−+++ xx 2 xxx 3 2 xx 3 
 2P( x) − Q( x) + H( x) = 5 x32 − 7 x + 4 x + 10 . 
Bài 20. Cho hai đa thức: 
 P( x) =2 x2 ( x − 1) − 5( x + 2) − 2 x( x − 2) ; Q( x) = x2 (2 x − 3) − x( x + 1) −( 3 x − 2). 
a) Thu gọn và sắp xếp P( x), Q( x) theo lũy thừa giảm dần của biến. 
b) Tính K( x) =+ P( x) Q( x). 
 Lời giải: 
a) Thu gọn và sắp xếp P( x), Q( x) theo lũy thừa giảm dần của biến. 
 P( x) =2 x3 − 2 x 2 − 5 x − 10 − 2 x 2 + 4 x 
 P( x) =2 x32 − 4 x − x − 10 ; 
Q( x) = x2 (2 x − 3) − x( x + 1) −( 3 x − 2) 
Q( x) =2 x3 − 3 x 2 − x 2 − x − 3 x + 2 
Q( x) =2 x32 − 4 x − 4 x + 2 . 
b) Tính 
 K( x) =(2 x3 − 4 x2 − x − 10) +( 2 x3 − 4 x2 − 4 x + 2) 
 K( x) =2 x3 − 4 x2 − x − 10 + 2 x3 − 4 x2 − 4 x + 2 
 K( x) = 4 x32 − 8 x − 5 x − 8 . 
Dạng 2: Tìm biểu thức, tính giá trị biểu thức 
I. Phương pháp giải: 
Hoàn toàn tương tự bài toán tìm đa thức đã học, ta cũng áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc 
cộng trừ đa thức một biến để tìm đa thức M chưa biết. 
II. Bài toán. 
* Nhận biết 
Bài 1. Tìm đa thức Hx() biết F()()() x−= H x G x và F( x )= x2 + x + 1; G ( x ) = 4 − 2 x 3 + x 4 + 7 x 5 . 
 Lời giải: 
Ta có Fx()()()()()()− Hx = Gx Hx = Fx − Gx . 
Mà nên 
 7 5
 H( x) = −3 x2 + x − 
 2
Vậy 
Bài 4. Cho 2 đa thức F( x) =4 x + 3 x24 − 3 x + 2và G( x) = −10 x5 + 14 + 4 x − 3 x 4 + 10 x 5 . 
Tìm đa thức Hx( ) , biết H( x) += G( x) F( x) . 
 Lời giải: 
Ta có : G( x) = −10 x5 + 14 + 4 x − 3 x 4 + 10 x 5 =( −10x5 + 10 x 5) − 3 x 4 + 4 x + 14 = −3xx4 + 4 + 14 
 F( x) =4 x + 3 x24 − 3 x + 2 = −3x42 + 3 x + 4 x + 2 . 
Ta có : 
 H( x) −3 x4 + 4 x + 14 = − 3 x 4 + 3 x 2 + 4 x + 2 
 H( x) = −3 x442 + 3 x + 3 x + 4 x − 4 x + 2 − 14 
 H( x) =−3 x2 12 . 
Bài 5. Cho hai đa thức: P( x) =2 x32 + 7 x − x − 2021 và Q( x) = −7 x23 − 2 x + 14 x − 2022. 
 Tìm đa thức Nx biết P x−= N x Q x . 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 Lời giải: 
Ta có: 
 P( x) −= N( x) Q( x) 
 N( x) =− P( x) Q( x) 
 =(2x3 + 7 x 2 − x − 2021) −( − 7 x 2 − 2 x 3 + 14 x − 2022) 
 =2x3 + 7 x 2 − x − 2021 + 7 x 2 + 2 x 3 − 14 x + 2022 
 =4x32 + 14 x − 15 x + 1 
Vậy N( x) =4 x32 + 14 x − 15 x + 1. 
* Thông hiểu 
Bài 6. Cho các đa thức: A( x )= 3 x + 6 x32 − 2 x − 1; B( x )= 5 + 3 x − 6 x32 + 3 x . 
a) Tính A()() x+ B x , sau đó sắp xếp kết quả theo luỹ thừa giảm dần của biến x . 
b) Tìm đa thức Cx(), biết: A()()() x+= C x B x . 
 Lời giải: 
a) Ta có: 
 A()() x+ B x =(3x + 6 x3 − 2 x 2 − 1)(53 + + x − 6 x 3 + 3) x 2 
 =3x + 6 x3 − 2 x 2 − 1 + 5 + 3 x − 6 x 3 + 3 x 2 
 =(3x + 3 x ) + (6 x3 − 6 x 3 ) + ( − 2 x 2 + 3 x 2 ) + ( − 1 + 5) 
 =64xx +2 + . 
Sắp xếp kết quả theo luỹ thừa giảm dần của biến x là xx2 ++64 
b) Vì A()()() x+= C x B x nên 
C()()() x=− B x A x 
 =(53 +x − 6 x3 + 3)(3 x 2 − x + 6 x 3 − 2 x 2 − 1) 
 =5 + 3x − 6 x3 + 3 x 2 − 3 x − 6 x 3 + 2 x 2 + 1 
 =(51)(3 + +x − 3)(6 x + − x3 − 6)(3 x 3 + x 2 + 2) x 2 
 =6 − 12xx32 + 5 
 9