Chuyên đề Phép cộng các phân thức đại số Toán 8

 PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức 
Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên 
mẫu thức. 
2. Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau 
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân 
thức có cùng mẫu thức vừa tìm được. 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA 
Dạng 1. Cộng xác phân thức đại số thông thường 
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số nêu trong phần Tóm 
tắt lý thuyết. 
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau: 
 x2 4x 4
a) với x 2; 
 6x 12 6x 12
 3a 72a 2
b) với a 0 và b 0 . 
 5a2b5a2b
Bài 2. Cộng các phân thức sau: 
 11y 63y 6 1
a) với y ; 
 4y2 14y2 1 2
 mn 3 n7mn 3 n
b) với m 0 và n 0 . 
 2m23n2m 2n3
Bài 3. Thực hiện phép cộng các phân thức sau: 
 mm4mn
b) với m 2n ; 
 m 2nm 2n4n2 m2
Bài 8. Thực hiện các phép tính sau. 
 x2 231
a) với x 1; 
 x3 1x2 x 1 1 x
 r 132r2 1 r
b) với r 0 và r s. 
 r2 rs s2 r2r2 rs
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức tổng các phân thức đại số 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Thực hiện phép cộng các phân thức đại số tương tự Dạng 1 và Dạng 2 
Bước 2.Thay giá trị của biến vào phân thức và tính 
Bài 9. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 
 x2 2 x 5 50 5x
 tại x = -2 
 5x 25 xx x 5 
 224x
Bài 10. Cho biểu thức A với x 0 và x 1. 
 x2 x1 x2 x1 x3
a) Rút gọn biểu thức A 
b) Tính giá trị của biểu thức tại x = 2. 
Dạng 4. Giải toán đố có sử dụng phép cộng các phân thức đại số 
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước: 
Bước 1. Thiết lập các biểu thức theo yêu cầu của đề bài; 
Bước 2. Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số đã nêu trong phần Tóm tắt lý thuyết. 
Bài 11. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc 11600 m3 
đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x m3/ 
 14y 8mn 4
a) Ta được: ; b) Ta được: . 
 4y2 1 2m23nmn 2
Bài 3. 
a) Gợi ý: u2 – 4 = (u – 2)(u + 2). 
b) Mẫu chung = 8x3y2. 
 4x2 8x 12y 2xy 5
Rút gọn thu được . 
 8x3y2
Bài 4. 
a) Gợi ý: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1); x2 – 2x + 1 = (x – 1)2; 
Mẫu chung = (x + 1)(x – 1)2; 
 3x2 x 2
Rút gọn thu được . 
 (x 1)(x 1)2
b) Gợi ý: 4p2 – q = (2p – q)(2p + q); 
8p3 + q3 = (2p + q)(4p2 – 2pq + q2); 
Mẫu chung = (2p – q)(4p2 – 2pq + q2); 
 4p3 q3 6p2q 3pq2 2 pq q2
Rút gọn thu được . 
 (2p q )(2p q )(4p2 2pq q2 )
Bài 5. 
 x 2 x 2 (x 1)2
 a) Gợi ý: Rút gọn thu được x 1; 
 1 xx 1 x 1
 5y 2 5y 2
b) Gợi ý: y2 – 4 = (y – 2)(y + 2) và ; 
 4 y2y2 4
 y 21
Rút gọn được . 
 (y 2).(y 2)y 2
Bài 6. 
 x3 10x2 25xx (x 5)2 x 5
Bài 9. Rút gọn được . 
 5x(x 5) 5x(x 5) 5
Thay x = -2 thu được giá trị biểu thức là 0,6. 
Bài 10. 
 2
 a) Rút gọn được . 
 x(x 1)(x2 x 1)
 1
b) Thay x = 2 vào biểu thức thu gọn được giá trị . 
 7
Bài 11. 
a) Gợi ý công thức 
Khối lượng công việc = thời gian làm việc x năng suất 
Các biểu thức thu được là 
 5000
* (ngày); 
 x
* Thời gian làm phần còn lại = (khối lượng công việc còn lại) / (năng suất mới), được biểu 
 6600
thức (ngày) 
 x 25
 5000 6600
* Tổng thời gian (ngày); (3) 
 xx 25
b) Thay x = 250 vào biểu thức (3) được 44 ngày. 
Bài 12. 
a) Công thức chuyển động: s = v.t 
(s: quãng đường; v: vận tốc; t: thời gian). 
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng; 
Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng; 
 Bài 6: Thực hiện phép tính: 
 2x 13 a2 b2 2a ba 1227 x 5
a) b) c) 
 x 2x2 4x 2 a 22 b ab b 1 9x 18 7218 x2 12x 24
Bài 7: Thực hiện phép tính: 
 5b 3a 14a 2 52x 34x2 3 x2 2x2x 1
a) b) c) 
 9a2b5ab315 a3b 2x2x 18x2 4x x3 1x2 x 1x 1
Bài 8: Thực hiện phép tính: 
 11 x 2x 132x2 1 2x x4
a) b) c) x3 x2 x 1 
 x2 6x 96x x2 9x2 9 2x2 x14 x2 2x2 x 1 x
Bài 9: Thực hiện phép tính: 
 433 123
a) b) 
 y x z x y x y z y z x z x2 3x 2x2 12x 35x2 7x 10
Bài 10: Cho ba số a;b;c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ 
thuộc vào a;;bc : 
 bc ac ab
 a b a c b a b c c a c b 
 2x2 3x 12 ABC
Bài 11: Tìm các số A;;BC để: 
 x 3 3 x 3 3 x 3 2 x 3
 Lời giải 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
 x 4 10 8xx 4108 x 7x 147 x 2 x 2
a) 
 14 14 14 14 14 2
 7x 228 xy 7 x 228 xy 7 x 8xyx 7 8y 7 8 y
b) 
 24xy 24 xy 24 xy 24 xy 24 xy 24 y
 3x y6x 4y3x y 6x 4y9x 3y 3 3x y 
c) 3 
 3x y3x y3x y3x y3x y
 572 x5 x 2 7 2x 3x 3
a) 
 x 2x2 4x2 4x2 4
 2x 92 2x 922 x 3 2x 31
b) 
 94 x2 2x 34x2 94x2 92x 3
 x4yx4yx2 4y2 x 2y
c) 
 2y2 xy x2 2xy y 2y x x x 2y xy 2y x xy
 12x 512x 52 x 1 x 2x 5 x2 3x 2
d) 
 x2 x2x2 2x x 1 2 x2 1 2x x2 1 2x x2 1 
Bài 5: Tìm x biết: 
 23
a) 0 (với x 3) 
 x 3x2 9
 232 x 3 3 2x 3
Ta có: 
 x 3x2 9x2 9x2 9
 233
Do đó 0 2x 3 0 x (thỏa mãn x 3). 
 x 3x2 92
 3
Vậy x . 
 2
 23x 2 1
b) (với x ) 
 9x2 6x 1 1 9x2 13 x 3x 1 2 3
 23x23x213 x 3x 1 3x 9x2 3x 2
Ta có: 
 9x2 6x 119 x2 3x 1 2 13 x 1 3x 13 x 13 x 2 13 x 1 3x 2
 23x 2
Do đó: 9x2 3x 2 2 9x2 3x 0 
 9x2 6x 1 1 9x2 13 x 3x 1 2
 1
 33x x 1 0 x 0 hoặc x 
 3
 1
So sánh với điều kiện x ta suy ra x 0 . 
 3
Bài 6: Thực hiện phép tính: 
 2x 132x2 12 x 2x 1 32x2 1 2x
b) 
 2x2 x14 x2 2x2 xx 2x 1 2x 12 x 1 x 2x 1 
 2x 1 2 32x2 .x 2x 1 2 8x 1 4x2 
 8 
 x 2x 12 x 1 x 4x2 1 
 4222
 x4 x4 x2 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1
c) x3 x2 x 1 
 1 x1 x1 x1 x
Bài 9: Thực hiện phép tính: 
 433 4 y z 3 z x 3 y x 
a) 
 y x z x y x y z y z x z y x z x y z 
 y z 1
 . 
 y x z x y z y x z x 
 123123
 b) 
 x2 3x 2x2 12x 35x2 7x 10 x 1 x 2 x 5 x 7 x 2 x 5 
 111111116
 . 
 x 1x 2x 5x 7x 2x 5x 1x 7 x 1 x 7 
Bài 10: Cho ba số a;b;c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ 
thuộc vào a;;bc : 
 bc ac ab bc ac ab
 a b a c b a b c c a c b a b a c a b b c a c b c 
 bc b c ac a c ab a b bc b c ac a b b c ab a b 
 a b a c b c a b a c b c 
 b c bc ac a b ab ac a b b c a c 
 1 
 a b a c b c a b a c b c 
 2x2 3x 12 ABC
Bài 11: Tìm các số A;;BC để: 
 x 3 3 x 3 3 x 3 2 x 3
 2
 ABC A B x 3 C x 3 Cx2 B 6C x A 3B 9C
Xét vế phải: 
 x 3 3 x 3 2x 3 x 3 2 x 3 2