Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử Toán Lớp 8

 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
A. LÝ THUYẾT: 
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. 
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của 
những đa thức 
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. 
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. 
4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp. 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: 
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 2x3 6 x 2 4 x b) 3xy2 9 xy 2 12 xy 2 2 
c) 2xyx y xy x d) x2 4 yxy 2 2 
Giải 
a) Ta có: 2x3 6 x 2 4 xxx 2 2 3 x 2 
b) Ta có: 3xy2 9 xy 2 12 xy 2 2 3 xyx 3 y 4 xy 
c) Ta có: 2xyxy xyx 2 xyxy xxy 
 xxy 2 yx 
 2
d) Ta có: x2 4 yxyx 2 2 2 2 y xy 2 
 xyxy2 2 xy 2 xyxy 2 2 1 
 x2 yx 2 y 1 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 3
a) x 2 2 x b) 3xy 4 y 3 x 4 
c) x2 4 xy 3 y 2 d) xy2 2 5 xy 5 
Giải 
 3 3
a) Ta có: x 2 2 xx 2 x 2 
 2
 xx2 2 1 xx 2 2 1 x 2 1 
Lưu ý: Với một số bài toán chưa tường minh để áp dụng hằng đẳng thức thì ta phải thực hiện 
“thêm, bớt” một số hạng tử để xuất hiện dạng áp dụng hằng đẳng thức. 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 1
a) x2 x b) 2x3 12 x 2 24 x 16 
 4
 3 3
c) xy xy c) 2x4 2 x 2 2 
Giải 
 2
 21 2 1 1 1 
a) Ta có: xx x2 x x 
 4 2 4 2 
b) Ta có: 2xxx3 12 2 24 16 2 xxx 3 6 2 12 8 
 3
 2 xx3 3. 2 .2 3.4. x 2 3 2 x 2 
 3 3
c) Ta có: xy xy 
 x33 xy 2 3 xy 2 y 3 x 3 3 xy 2 3 xy 2 y 3 
 6xy2 2 y 3 2 yx 3 2 y 2 
d) Ta có: 2xx4 2 2 2 2 xx 4 2 1 2 xxx 4 2 2 1 2 
 2
 2 x2 1 x 2 2 xxx 2 1 2 1 x 
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x4 4 b) x3 6 x 2 16 
 1 1
c) a2 b 2 d) x2 2 xy 2 2 y 
 36 4
Giải 
 2
a) Ta có: x4 4 xx 4 4 2 4 4 xx 2 2 4 4 x 2 
 x24 2 xx 2 4 2 xxxxx 2 2 4 2 2 4 
b) Ta có: xx3 6 2 16 xxx 3 6 2 12 8 12 x 24 
 3 2
 x2 12 xxx 2 2 2 12 xxx 2 2 4 8 
 2 2
 12 1 2 1 1 1 1 1 1 
c) Ta có: a b a b a b . a b 
 36 4 6 2 6 2 6 2 
d) Ta có: x2 2 xy 2 2 y 
 2x2 9 6 xx 2 2 9 6 x 
 2xx2 6 9 2 xx 2 6 9 
b) Ta có: xx8 98 4 1 xx 8 2 4 1 96 x 4 
 2
 x41 16 xx 2 4 1 64 xxx 4 16 2 4 1 32 x 4 
 2
 x41 8 x 2 16 xx 2 4 1 2 x 2 
 2 2
 xx48 2 1 16 xx 2 2 1 
 2 2
 xx48 2 1 4 xx 3 4 
 4xxxx4 4 3 8 2 4 1 xxxx 4 4 3 8 2 4 1 
c) Ta có: xx7 21 xxxx 7 2 1 
 xx 6 1 xx 2 1 
 xx 3 1 x 3 1 xx 2 1 
 xx 1 xx2 1 x 3 1 xx 2 1 
 2 3 
 xx1 xx 1 x 1 1 
 xx2 1 xxxx 5 4 2 1 
d) xx7 51 xxxx 7 5 2 xx 2 1 
 xx 3 1 x 3 1 xx 2 3 1 xx 2 1 
 xx21 x 1 xxxx 4 2 1 xx 2 1 xx 2 1 
 2 5 4 2 3 2 
 xx1 xxxx xx 1 
 xx2 1 xxxx 5 4 3 1 
Lưu ý: Các đa thức có dạng x3m 1 x 3 n 2 1. Ví dụ như: x7 x 2 1; x7 x 5 1; x8 x 4 1; 
x5 x 1; x8 x 1;  đều có nhân tử chung là x2 x 1 
Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x2 2 x 2 yy 2 b) 3x3 xy 12 xy 2 2 y 2 
c) x3 x 2 xyy 3 y 2 d) 16x4 8 x 2 y 2 1 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 4x2 9 y 2 4 xy 6 b) xy3 1 3 xxy 2 3 2 1 y 3 
 2 2
c) axay2 2 7 x 7 y d) xx 1 xx 5 5 x 1 
Giải 
a) Ta có: 4xyxyxy2 9 2 4 6 4 2 9 2 4 xy 6 
 2323xyxy 223 xy 23232 xyxy 
b) Ta có: xy3 1 3 xxy 2 3 2 1 y 3 
 x3 y3 xy 2 3 xy 2 xy 3 x 3 3 xy 2 3 xy 2 y 3 xy 
 xy3 xy xyxy 2 1 
 xyxy 1 xy 1 
c) Ta có: axay2 27 x 7 y axay 2 2 7 x 7 y 
 a2 x y 7 x y x y a 2 7 
 2 2
d) Ta có: xx 1 xx 5 5 x 1 
 xx 12 5 x 1 2 xx 5 x 1 2 x 5 xx 5
 x5 x 12 xxxx 52 3 1
Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) xx 4 x 6 x 10 128 b) x4 6 x 3 7 x 2 6 x 1 
Giải 
a) Ta có: xx 4 x 6 x 10 128 
 xx 10 x 4 x 6 128 
 x210 xx 2 10 x 24 128 (*) 
Đặt x2 10 x 12 t , khi đó phương trình (*) trở thành: 
 tt 12 12 128 t2 144 128 ttt 2 16 4 4 
 xxxx210 8 2 10 16 xxxx 2 8 2 10 8 
b) Giả sử x 0 ta có: 
 xyz444 xyz 4442 xy 22 2 yz 22 2 zx 22 
 2 xy2 2 yz 2 2 zx 2 2 
 2
bc 2 x 2 yz 2 2 xyz 
 x2 y 2 z 2 x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 zx 
 2 xy yz zx 
Do đó: 
 2
(1) 2 ab 2 bc 2 
 4xy22 4 yz 22 4 zx 22 4 xy 22 4 yz 22 4 zx 22 8 xyz 2 8 xyz 2 8 xyz 2 
 8xyzx y z 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 
 3 3 3 2 2
a) xy yz zx b) abc abc 4 c2 
Giải 
a) Đặt x y a , y z b , z x c a b c 0 khi đó ta có: 
 3 3 3
 xy yz zx abc3 3 3 
 3
 a b 3 a2 b 3 ab 2 c 3 
 2
 a b c a b a b c c2 3 a 2 b 3 ab 2 3 ab a b 
 3 xyyzxyyz 3 xyyzxz 
 2 2
b) Ta có: abc abc 4 c2 
 2
 abc abc2 cabc 2 c 
 2
 abc ab3 cabc abcabcab 3 c 
 abca 2 2 b 2 c 2 abcabc 
Dạng 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp 
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x2 4 x 3 b) 6x2 11 x 3 
c) x3 2 x 2 5 x 4 d) x2 4 y 2 2 x 4 xy 4 y 
Giải 
34133xx2 xxx 2 13 xx 1 x 1 x 131 x 
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x3 4 x 2 11 x 8 b) 2x3 5 x 2 4 
c) 6a2 6 ab 11 a 11 b d) m3 7 m 2 6 m 
Giải 
a) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình, do đó 
nhân tử chung là x 1 
Ta có: xx3 4 2 11 x 8 xxxxx 3 2 3 2 3 8 8 
 xx2 1 3 xx 1 8 x 1 xxx 1 2 3 8 
b) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy x 2 là nghiệm của phương trình, do đó 
nhân tử chung là x 2 
Ta có: 2xx3 5 2 4 2 xxxxx 3 4 2 2 2 2 4 
 2xx2 2 xx 2 2 x 2 x 2 2 xx 2 2 
c) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy a b là nghiệm của phương trình, do đó 
nhân tử chung là a b 
Ta có: 6a2 6 ab 11 a 11 b 6 a a b 11 a b 6 a 11 a b 
d) Nhận xét: Thực hiện nhẩm nghiệm ta thấy m 6 hoặc m 1 là nghiệm của phương 
trình, do đó nhân tử chung là m 6 
Ta có: m3 7 m 2 6 mm 3 6 mm 2 2 6 m 
 mm2 6 mm 6 mmm 2 6 mm 1 m 6 
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) x 1 x 2 x 3 x 4 8 b) x4 4 x 3 2 x 2 4 x 1 
Giải 
a) Ta có: x 1 x 2 x 4 x 5 8 
 x1 x 4 x 2 x 5 8 
 xx23 4 xx 2 3 10 8 (*) 
Đặt tx 2 3 x 7 , khi đó phương trình (*) trở thành: 
 tt 3 3 8 t2 9 8 ttt 2 1 1 1 
Vậy x 0 và x 3 thỏa mãn điều kiện bài toán. 
 2
b) Ta có: 4x2 x 1 0 
 2xx 1 2 xx 1 0 
 x 1
 x 1 0 
 x1 3 x 1 0 1 
 3x 1 0 x 
 3
 1
Vậy x 1 và x thỏa mãn điều kiện bài toán. 
 3
c) Ta có: 2xxx3 2 3 2 3 0 2 xx 2 1 3 x 2 1 0 
 xx2 1 2 3 0 2 x 3 0 (do x2 1 0 với mọi x ) 
 3
 x 
 2
 3
Vậy x thỏa mãn điều kiện bài toán. 
 2
d) Ta có: xx2 34860 x xx 2 342340 x 
 xx2 2 3 4 0 3 x 4 0 (do x2 2 0 với mọi x ) 
 4
 x 
 3
 4
Vậy x thỏa mãn điều kiện bài toán. 
 3
Bài 2: Tìm x biết: 
a) x2 2018 x 2017 0 b) xx3 8 2 8 x 
Giải 
a) Ta có: x2 2018 x 2017 0 xxx 2 2017 2017 0 
 xx 1 2017 x 1 0 xx 1 2017 0 
 x 1 0 x 1
 x 2017 0 x 2017
Vậy x 1 và x 2017 thỏa mãn điều kiện bài toán. 
b) Ta có: xx3 8 2 8 xxx 2 8 x 8 0 
 xx8 2 1 0 x 8 0 (do x2 1 0 với mọi x ) 
 x 8