Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử - Bồi dưỡng HSG Toán 9

 CHUYÊN ĐỀ - PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 I. DẠNG TÍCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương 
của hệ số cao nhất 
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì 
f(x) có một nhân tử là x + 1
 f(1) f(-1)
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì và đều là số nguyên. Để 
 a - 1 a + 1
nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x) 
= (x – 2)(3x – 2)
Ví dụ 2: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = 1; 2; 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của f(x) 
nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 
2
Cách 1: 
x3 – x2 – 4 = x3 2x2 x2 2x 2x 4 x2 x 2 x(x 2) 2(x 2) = x 2 x2 x 2 
Cách 2: x3 x2 4 x3 8 x2 4 x3 8 x2 4 (x 2)(x2 2x 4) (x 2)(x 2)
 2 2
 = x 2 x 2x 4 (x 2) (x 2)(x x 2)
Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: 1, 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có 
nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
 1
Ta nhận thấy x = là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
 3
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 
 = x2 (3x 1) 2x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)(x2 2x 5)
 Trang 1 2 5 4 2 3 2 2 5 4 3
= (x + x + 1)[(x – x + x – x) + (x – x ) + 1] = (x + x + 1)(x – x + x – x + 1) 
Ghi nhớ: 
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ;
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
III. DẠNG ĐẶT BIẾN PHỤ:
Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng
 (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
Giả sử x 0 ta viết 
 6 1 1 1 
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 – + ) = x2 [(x2 + ) + 6(x - ) + 7 ]
 x x2 x2 x
 1 1 
Đặt x - = y thì x2 + = y2 + 2, do đó
 x x2
 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
A = x (y + 2 + 6y + 7) = x (y + 3) = (xy + 3x) = [x(x - ) + 3x] = (x + 3x – 1) 
 x
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
 = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 
Ví dụ 3: A = (x2 y2 z2 )(x y z)2 (xy yz+zx)2
 2 2 2 2 2 2 2
= (x y z ) 2(xy yz+zx) (x y z ) (xy yz+zx)
Đặt x2 y2 z2 = a, xy + yz + zx = b ta có 
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2 y2 z2 + xy + yz + zx)2
Ví dụ 4: B = 2(x4 y4 z4 ) (x2 y2 z2 )2 2(x2 y2 z2 )(x y z)2 (x y z)4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại có: a – b2 = - 2( x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;
B = - 4( x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) + 4 (xy + yz + zx)2 
 = 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 4x2 y2 4y2 z2 4z2 x2 8x2 yz 8xy2 z 8xyz2 8xyz(x y z)
Ví dụ 5: (a b c)3 4(a3 b3 c3 ) 12abc
 Trang 3 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
 2 2
= acx + (3c - a)x + bdy + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3 
 ac 12
 a 4
 bc ad 10 
 c 3
 3c a 5 
 b 6
 bd 12 
 d 2
 3d b 12
 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP: 
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
 1) x3 - 7x + 6
 10) 64x4 + y4
 2) x3 - 9x2 + 6x + 16
 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6
 3) x3 - 6x2 - x + 30
 12) x3 + 3xy + y3 - 1
 4) 2x3 - x2 + 5x + 3
 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4
 14) x8 + x + 1
 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
 8 4
 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 15) x + 3x + 4 
 8) 4x4 - 32x2 + 1 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 
 17) x4 - 8x + 63
 Trang 5