Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử - Bồi dưỡng HSG Toán 8

 CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ
Phương pháp: 
 p
- Đa thức f x có nghiệm hữu tỉ thì có dạng trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước 
 q
dương của hệ số cao nhất
- Nếu f x có tổng các hệ số bằng 0 thì f x có một nhân tử là x 1
- Nếu f x có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f x có một nhân tử là x 1
 f (1) f ( 1)
- Nếu a là nghiệm nguyên của f x và f (1) 0; f ( 1) 0 ; đều là số nguyên. Để 
 a 1 a 1
nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do. 
1. Đối với đa thức bậc hai: ax2 bx c
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx
- Tính ac rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số ac a1c1 a2c2 ....
- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn ac a1c1 với a1 c1 b 
- Tách bx a1x c1x
- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp.
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x2 8x 4 b. 3x2 8x 4 c. x2 11x 8
d. x2 5x 24 e. x2 5x 4
 Lời giải
a) Ta có 3.4 12 2.6 , mà 2 6 8 nên ta được 3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x 2 x 2 
b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 
Ta có 3x2 8x 4 3x2 6x 2x 4 3x x 2 2 x 2 x 2 3x 2 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 
Ta có 3x2 8x 4 4x2 8x 4 x2 x 2 3x 2 
c) Ta có x2 11x 28 x 4 x 7 
 1 Ta nhận thấy nghiệm của f x nếu có thì x 1, 2 4. Chỉ có f 2 0 nên x 2 là nghiệm 
của f x nên f x có một nhận tử là x 2. Do đó ta tách f x thành các nhóm có xuất hiện 
một nhân tử là x 2
Cách 1: x3 x 2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 x 2 x2 x 2 
Cách 2: x3 x 2 4 x3 8 x 2 4 x3 8 x2 4 x 2 x2 x 2 
 Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x3 x2 4 b. x3 5x2 8x 4
 Lời giải
a. Ta có các ước của 4 là: 1; 2; 4
Nhận thấy x 2 là nghiệm của đa thức vậy đa thức có 1 nhân tử là x 2 x 2
 x3 2x2 x2 4 (x 2)(x2 x 2)
 
 0
Hoặc (x3 8) (x2 4) (x 2)(x2 x 2)
b. Nhận thấy x 1 là nghiệm của đa thức nên có 1 nhân tử là x 1
 (x3 x2 ) (4x2 4x) (4x 4) (x 1)(x 2)2
*) Chú ý: 
+ Nếu f x có tổng các hệ số bằng 0 thì f x có một nhân tử là x 1
+ Nếu f x có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử 
bậc lẻ thì f x có một nhân tử là x 1
 Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 2x2 7x 5 b. x4 x3 x 1 
 3 3 2
c. x 19x 30 d. x 4x 7x 10 
e. 2x4 5x3 5x2 5x 3
 Lời giải
a. Ta có: 2 + 5 = 7 nên đa thức có 1 nhân tử là x 1. 
Vậy ta có 2x2 7x 5 (x 1)(6x 5)
b. Ta có tổng các hệ số bằng 0 và tổng chẵn cũng bằng tổng lẻ nên có nhân tử x2 1
 3 Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12
 Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x = 2, hay có 1 nhân tử là: x - 2
Ta có: 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 
 6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 = a 2 a 3 2a 1 3a 2 
 Bài 11: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4
 Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có: x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 
= x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 = x 1 2 x 2 2
*) Trường hợp đặc biệt: Đa thức không có nghiệm nguyên.
 n n 1
Xét đa thức Pn (x) a n x an 1x ... a1x a0 (an ...a0 Z,n 1)
 p an q
+) Nếu Pn x 0 có nghiệm x p;q 1 
 q a0  p
 Bài 12: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 3x3 7x2 17x 5 b. 9x4 15x3 43x2 22x 40
c. 6x4 x3 19x2 31x 30
 Lời giải
a. Các ước của 5 là: 1; 5 . Nhận thấy đa thức không có nghiệm nguyên, ta đi tìm nghiệm hữu 
tỷ của đa thức
 p p U ( 5) 1 1
 x ta thấy nghiệm của đa thức là x nên có nhân tử x hay 3x 1
 q q U (3) 3 3
Vậy 3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5 (3x 1)(x2 2x 5)
 2
b. Ta thấy đa thức có 1 nhân tử là x 3x 2
 3
 9x4 15x3 43x2 22x 40 (3x 2)(3x3 7x2 19x 20)
 5 Nên ta làm như sau:
 4 3 2 2 2 6 1 2 2 1 1 
 x 6x 7x 6x 1 x x 6x 7 2 x x 2 6 x 7 
 x x x x 
 1 1
Đặt x t x2 t 2 2
 x x2
Đa thức trở thành : x2 t 2 2 6t 7 x2 t 2 6t 9 x2 t 3 2
 2 2 2
 2 1 2 x 1 3x 2 2
Thay t trở lại ta được : x x 3 x (x 3x 1)
 x x 
 2
Vậy x4 6x3 7x2 6x 1 x2 3x 1 
 Bài 5: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 6x2 11x 6
 Lời giải
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
 x3 6x2 11x 6 x 1 x 2 x 3 
 Bài 6: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 3 x 5 x 7 15
 Lời giải
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống 
nhau : x 1 x 7 x 3 x 5 15 x2 8x 7 x2 8x 15 15
Đặt x2 8x t t 7 t 15 15 t 2 22t 105 15 t 2 22t 120
 t 10 t 12 x2 8x 10 x2 8x 12 = x2 8x 10 x 6 x 2 
 Bài 7: 
Phân tích đa thức thành nhân tử 3x3 7x2 17x 5
 Lời giải
 1
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là x , nên có nhân tử là : (3x - 1)
 3
nên ta có :3x3 7x2 17x 5 3x3 x2 6x2 2x 15x 5
 7 Lời giải
 x4 2004x2 2004x x 2004 x4 x 2004 x2 x 1 
 x x3 1 2004 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2004 x2 x 1 
 x2 x 1 x2 x 2004 
 Bài 13: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 x 2001.2002
 Lời giải
Ta có: x2 x 2001 2001 1 x2 x 20012 2001 x2 20012 x 2001 
 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 
 Bài 14: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a4 7a3 37a2 8a 12
 Lời giải
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x 2 , hay có 1 nhân tử là x 2
Ta có: 6a4 7a3 37a2 8a 12 (6a4 12a3 ) (19a3 38a2 ) a2 2a 6a 12 
 6a3 a 2 19a2 a 2 a a 2 6 a 2 a 2 6a3 19a2 a 6 = a 2 a 3 2a 1 3a 2 
 Bài 15: 
Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 6x3 13x2 12x 4
 Lời giải
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có: x4 6x3 13x2 12x 4 x4 x3 5x3 5x2 8x2 8x 4x 4 
= x3 x 1 5x2 x 1 8x x 1 4 x 1 x 1 x3 5x2 8x 4 
= x 1 2 x 2 2
3. Đối với đa thức nhiều biến
Tương tự như phân tích đa thức dạng: ax2 bx c 
 Bài 16: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. 2x2 5xy 2y2 b. 2x2 5xy 3y2
 9 B. PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
 Bài 1: 
Phân tích thành nhân tử A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 2abc
 Lời giải
A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 2abc a(a2 2ab b2 ) (ab2 a2b) (ac2 bc2 )
 c(a b)2 ab(a b) c2 (a b) (a b)(b c)(c a)
 Bài 2: 
Phân tích thành nhân tử A a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 3abc
 Lời giải
A (ab2 a2b abc) (ac2 a2c abc) (bc2 b2c abc) (a b c)(ab bc ca)
 Bài 3: 
Phân tích thành nhân tử: A abc (ab bc ca) a b c 1
 Lời giải
A (abc bc) (ab b) (ac c) (a 1) (a 1)(b 1)(c 1)
 Bài 4: 
Phân tích thành nhân tử: A 8abc 4(ab bc ca) 2(a b c) 1
 Lời giải
A (8ab 4bc) (4ab 2b) (4ac 2c) (2a 1) (2a 1)(2b 1)(2c 1)
 Bài 5: 
Phân tích thành nhân tử: A a(b3 c3 ) b(c3 a3 ) c(a3 b3 ) abc(a b c)
 Lời giải
Ta có: A (a2 b2 c2 )(ab bc ca)
 11